人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算课后复习题

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考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）如图，在空间四边形ABCD中，AB→⋅CD→+AC→•DB→+AD→⋅BC→等于（ ）
A．﹣1B．1C．0D．不确定
2．（3分）若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足AB→•AC→=AC→•AD→=AB→•AD→=0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定
3．（3分）（2021秋•宣城期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P为B1C1的中点，则AC1→•BP→=（ ）
A．6B．﹣6C．2D．﹣2
4．（3分）已知单位向量b→与x，y轴的夹角分别为60度，60度，与z轴的夹角为钝角，向量a→=2j﹣k，则a→⋅b→=（ ）
A．1+2B．1−2C．1+22D．1−22
5．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有（ ）
A．AB→⋅A1C1→=2a2B．AB→⋅AC1→=2a2
C．AB→⋅AO→=12a2D．BC→•DA1→=a2
6．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（AA1→+AD→+AB→）2＝3AB→2；②A1C→•（A1B1→−A1A→）＝0；③AD1→与A1B→的夹角为60°，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（3分）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．|AB→+AC→+AD→|=|AB→+AC→−AD→|
B．|AB→+AC→+AD→|2=|AB→|2+|AC→|2+|AD→|2
C．(AB→+AC→+AD→)⋅BC→=0
D．AB→⋅CD→=AC→⋅BD→=AD→⋅BC→
8．（3分）（2021秋•北辰区期中）在四面体P﹣ABC中给出以下四个结论，则说法错误的是（ ）
A．若AD→=13AC→+23AB→，则可知BC→=3BD→
B．若Q为△ABC的重心，则PQ→=13PA→+13PB→+13PC→
C．若PA→•BC→=0，PC→•AB→=0，则PB→•AC→=0
D．若四面体P﹣ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|MN→|＝1
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•益阳期末）已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则（ ）
A．AB→⋅AC→=2B．EF→⋅FG→=1C．AB→⋅EG→=0D．GE→⋅GF→=1
10．（4分）（2021秋•武昌区校级月考）已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列四个数量积中结果为﹣a2的式子的有（ ）
A．2BA→⋅AC→B．2AD→⋅BD→C．2GF→⋅AC→D．2EF→⋅CB→
11．（4分）（2020秋•新泰市校级期中）定义空间两个向量的一种运算a→⊗b→=|a→|•|b→|sin＜a→，b→＞，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．a→⊗b→=b→⊗a→
B．λ（a→⊗b→）＝（λa→）⊗b→
C．（a→+b→）⊗c→=（a→⊗c→）+（b→⊗c→）
D．若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⊗b→=|x1y2﹣x2y1|
12．（4分）（2021秋•江岸区校级月考）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．(A1A→+A1D1→+A1B1→)2=3(A1B1→)2
B．A1C→⋅(A1B1→−A1A→)=0
C．向量AD1→与向量A1B→的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为|AB→⋅AA1→⋅AD→|
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋•海淀区期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1→⋅A1B1→= ．
14．（4分）（2021秋•临沂期中）已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则GE→⋅GF→等于 ．
15．（4分）（2021秋•金山区期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y=AB→•APi→，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为 ．
16．（4分）（2020秋•锦州期末）点P是棱长为26的正四面体表面上的动点，MN是该四面体内切球的一条直径，则PM→•PN→的最大值是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋•太原期末）如图，三棱锥O﹣ABC各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且OE→=λOC→，记OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→．
（1）用向量a→，b→，c→表示向量DE→；
（2）求DE的最小值．
18．（6分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D′中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA′＝60°．求：
（1）AA'→⋅AB→；
（2）AB′的长；
（3）AC′的长．
19．（8分）（2021秋•惠州期末）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）用a→，b→，c→表示AC1→，并求|AC1→|；
（2）求AA1→⋅BD→．
20．（8分）（2021秋•黑龙江期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的各棱长都为a．
（1）用向量法证明BD⊥PC；
（2）求|AC→+PC→|的值．
21．（8分）（2021秋•武汉期中）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D为棱BC上一点，且CD＝2BD，点M为线段AD的中点．
（1）以{AB→、AC→、AP→}为一组基底表示向量PM→；
（2）若AB＝AC＝3，AP＝4，∠BAC＝∠PAC＝60°，求PM→•AC→．
22．（8分）（2021秋•福田区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠BAA1＝∠DAA1=π3，AC1=26．
（1）求侧棱AA1的长；
（2）M，N分别为D1C1，C1B1的中点，求AC1→⋅MN→及两异面直线AC1和MN的夹角．