数学1.1 空间向量及其运算课堂检测

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1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
3．向量的投影
(1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
(2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型1 数量积的计算】
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【例1】（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AF→⋅CE→=（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【变式1-1】（2021秋•沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则GE→•GF→的值为（ ）
A．2a28B．a28C．2a24D．a24
【变式1-2】（2021秋•南海区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则a→⋅(b→+c→)的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【变式1-3】（2022春•南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则PM→⋅PN→的最大值为（ ）
A．4B．12C．8D．6
【题型2 向量的夹角及其应用】
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
【例2】（2021秋•定远县期末）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，设AB→=a→，AD→=b→，AA'→=c→，则＜A'B→，B'D'→＞等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【变式2-1】（2021秋•吉安期末）已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若|OB→|＝|OC→|，且cs＜OA→，OB→＞=cs＜OA→，OC→＞，则sin＜OA→，BC→＞的值为（ ）
A．1B．12C．32D．22
【变式2-2】（2020秋•洪泽县校级期末）空间四边形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠AOB=∠AOC=π3，则cs＜OA→，BC→＞的值是 ．
【变式2-3】（2021秋•玉林期末）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若AB→⋅AE→+AC→⋅AF→=7，则EF→与BC→的夹角的余弦值等于 ．
【题型3 利用数量积求向量的模】
求线段长度(距离)：
①取此线段对应的向量；
②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
③利用＝，计算出，即得所求长度(距离)．
【例3】（2020秋•秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（ ）
A．3B．3C．6D．6
【变式3-1】（2022春•宝山区校级期中）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（ ）
A．3B．2C．1D．3−2
【变式3-2】（2021秋•郑州期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为（ ）
A．3B．3C．6D．6
【变式3-3】如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且＜O2M→，O1N→＞=120°，则|MN→|等于（ ）
A．65B．52C．35D．5
【题型4 向量垂直的应用】
【例4】（2021秋•大连月考）已知a，b是异面直线，e1→，e2→分别为取自直线a，b上的单位向量，且a→=2e1→+3e2→，b→=ke1→−4e2→，a→⊥b→，则实数k的值为（ ）
A．﹣6B．6C．3D．﹣3
【变式4-1】（2022•浦东新区校级模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A．AD1→⋅B1C→B．BD1→⋅AC→C．AB→⋅AD1→D．BD1→⋅BC→
【变式4-2】若A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足AB→•AC→=AC→•AD→=AB→•AD→=0，则△BCD是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定
【变式4-3】（2021秋•扶余县校级期中）如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．PC→与BD→B．DA→与PB→C．PD→与AB→D．PA→与CD→ 定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).