[数学][期末]吉林省G6教考联盟2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版)
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这是一份[数学][期末]吉林省G6教考联盟2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版),共15页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔, 若 ,则, 下列说法中,正确的命题是等内容,欢迎下载使用。
本试卷共6页.考试结束后,将答题卡交回.
注意事项:1.答卷前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.答题时请按要求用笔.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分. 共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,
所以.故选:A.
2. 命题“,”的否定是( )
A. ,B. ,
C. ,D. ,
【答案】C
【解析】命题“,”的否定是“,”.故选:C.
3. 函数的图像为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为,
且,
函数为奇函数,A选项错误;
当时, ,函数单调递增,故BC选项错误.
故选:D.
4. 已知函数,则( )
A. 5B. 4C. D.
【答案】A
【解析】因为,
所以.
令,可得,解得.
故选:A.
5. 在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构成一般不动点定理的基石. 简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在一个点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列为“不动点”函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A,令,得,无解,
所以函数不是“不动点”函数,故A不正确;
对于B,令,不难看出是该方程的根,
所以是“不动点”函数,故B正确;
对于C,令,即.
令,则,
令,解得,
当时,,在单调递减,
当时,,在单调递增,
所以,
所以方程无解,
所以函数不是“不动点”函数,故C不正确;
对于D,令,得,
因为,
所以方程无解,
所以函数不是“不动点”函数,故D不正确.
故选:B.
6. 7名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作,每名研究人员必须去一个舱,且每个舱至少去1人,由于空间限制,每个舱至多容纳3人,则不同的安排方案共有 ( )种.
A. 720B. 1050C. 1440D. 360
【答案】B
【解析】由题意可知,7名研究员的安排可以是按人数为分为3组分到三个研究舱,
或者是按人数为分为3组分到三个研究舱,
按人数为分为3组分到三个研究舱,共有(种)安排方案,
按人数为分为3组分到三个研究舱时,共有 (种)安排方案,
故共有(种) 安排方案.
故选:B.
7. 已知正数 ,满足 ,则下列说法不正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令,则,
对于A,,
所以A正确,
对于B,因为在上递增,且,
所以,即,
即,所以,所以B正确,
对于C,因为
,
所以,所以C错误,
对于D,,
因为31312>41412>61612>1,所以,
所以,所以,
因为,所以,所以,
所以,
所以,所以D正确,
故选:C
8. 若 ,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意,,
对于两边取对数得,
构造函数,
则,
令,则,即在单调递增;
令,则,即在单调递减;
所以,即.
因为,
所以.
故选:D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 下列说法中,正确的命题是( )
A. 在两个随机变量的线性相关关系中,若相关系数 越大,则样本的线性相关性越强
B. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程 中, ,则
C. 在回归分析中,决定系数 的值越大,说明残差平方和越小
D. 以模型 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 ,将其变换后得到线性方程 ,则 的值分别是和0.3
【答案】BCD
【解析】对于A,相关系数的绝对值越大,样本的线性相关性越强,故A错误;
对于B,回归直线方程中,,故B正确;
对于C,在回归分析中,相关指数越大,残差平方和越小,回归效果就越好,故C正确;
对于D,,两边取对数,可得,则,
,,所以,故D正确.
故选:BCD.
10. 下列命题是真命题的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若正实数满足,则的最小值为6
【答案】BD
【解析】对于A项,当时,满足,但没有意义,故A项为假命题;
对于B项,因为,
所以,当且仅当,故B项为真命题;
对于C项, ,
因为,所以,但的符号不确定,
若取,则,
此时,
即,故C项为假命题;
对于D项,若正实数满足,
则, 解得,同理,
则
,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为6,故D项为真命题.
故选:BD.
11. 已知定义在上的函数满足,且若,则( )
A. B. 的对称中心为
C. 周期函数D.
【答案】ACD
【解析】因为,
所以,所以,即,
所以是周期为4的周期函数,则C正确;
令,得,
则,从而,故A错误;
因为,所以,所以,
所以的图象关于直线对称,
的对称中心为错误,则B错误;以上求得的周期为4,
且其图象关于直线及对称,
则直线及均为图象的对称轴,
从而,得,
即,则,
故
,故D正确.
故选:ACD.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 的展开式的常数项为________.(用数字作答)
【答案】
【解析】的展开式通项为,
令,
解得,
所以,展开式中的常数项为.
故答案为:.
13. 已知函数,对于任意两个不相等的实数,都有不等式成立,则实数取值范围为_________.
【答案】
【解析】因为对于任意两个不相等的实数,都有不等式成立,
所以函数在上单调递减,
又因为当时,,
作出的图象,如图所示:
由此可得函数在和上单调递减,
又因为当时,,且函数在上单调递减,
所以,解得.
故答案为:.
14. 有个编号分别为1,2,…,的盒子,第1个盒子中有3个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球,现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子,再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子,以此类推,从第个盒子中取到黑球的概率是_________.
【答案】
【解析】记事件表示从第,2,,个盒子里取出白球,
则,,
所以,
,
进而可得,,
所以,
又,,,
所以是首项为,公比为的等比数列,
所以,即,
故从第个盒子中取到黑球的概率是为:.
故答案为:.
四、解答题:本大题共5小题,共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知幂函数图像关于轴对称,且在上单调递增.
(1)求值及函数的解析式;
(2)若,求实数的取值范围.
解:(1)由幂函数在上单调递增知, ,解得,
又,则.
当或时,,不符合的图像关于轴对称,故舍去.
当时,,图像关于轴对称,符合题意.
综上所述,.
(2)由(1)得,为偶函数,且在上单调递增,
因为,所以,
两边平方,得,
化简得,
解得或,
故实数的取值范围为.
16. 设函数,其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(1)求的值;
(2)求函数的极值.
解:(1)的定义域为,且,
因为曲线在点处的切线垂直于轴,
所以,即,解得.
(2)由(1)可得,
则f'x=1x+14x2-54=-5x2+4x+14x2=-x-15x+14x2x>0,
令,解得;令,解得,
则在上单调递增,在上单调递减,
故有极大值,无极小值.
17. 目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一. 当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩,只有笔试成绩高于70分的考生才能进入面试环节.
(1)利用正态分布的知识,估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中,进入面试的人数(结果只保留整数);
(2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为,设这3名考生中通过面试的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据:若,则,,.
解:(1)由题意可知,
则
,
则共,即人进入面试.
(2)由题意可知,随机变量的可能取值有,
甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为,
则,,
,
,
故随机变量的分布列为:
故.
18. 在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况,在校内随机抽取了100名学生,其中男生和女生人数之比为,现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”,不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人,“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.
(1)将上面的列联表补充完整,并依据小概率值 的独立性检验,分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关;
(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐,且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐,若星期二选择了①号套餐,则星期四选择①号套餐的概率为 ;若星期二选择了②号套餐,则星期四选择①号套餐的概率为,求甲同学星期四选择②号套餐的概率.
(3)用频率估计概率,从该校学生中随机抽取10名,记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为 ,求使 取得最大值时的值.
参考公式:,其中 .
解:(1)列联表见图,
零假设:假设食堂就餐与性别无关,
由列联表可得,
根据小概率的独立性检验推断不成立,
即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关
(2)记事件:小林同学星期三选择了①号套餐,
事件:小林同学星期五选择了②号套餐,
由全概率公式可得
(3)由题意可知,抽取的10名学生,
喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布,
且喜欢饭堂就餐的频率为,则,
且,
设
,若,即
即解得,
若即解得
所以当时,
当时,
因为
所以,
即使取得最大值的值为6.
19. 已知函数(是自然对数的底数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围;
②求证:.
解:(1)由题意可得,,
当时,,在上单调递增;
当时,由解得,
由解得,
所以,在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)①等价于有两个零点,
令,则,在时恒成立,
∴在时单调递增,
∴有两个零点,等价于有两个零点.
∵ ,
∴当时,,单调递增,不可能有两个零点;
当时,令,得,单调递增,
令,得,单调递减,
∴,
若,得,此时恒成立,没有零点;
若,得,此时有一个零点;
若,得,
∵,,
记,则,
记,则,
所以在上单调递增,
所以,
即,故在上单调递增,
所以,
即,
∴在,上各存在一个零点,符合题意,
综上,的取值范围为.
②因为,不等式两边同时取对数化简可得,
要证即证:,
即证,由(2)中①知,,
∴只需证.
∵,,∴,,
∴ ,只需证.
设,令, 则,∴只需证 , 即证 ,
令,,则 ,,
即当时, 成立.∴,即.
X
0
1
2
3
P
男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
不喜欢食堂就餐
10
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
喜欢食堂就餐
40
20
60
不喜欢食堂就餐
10
30
40
合计
50
50
100
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