[数学][期末]内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]内蒙古自治区巴彦淖尔市2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】由题意，不同的取法种数为种.故选：C.
2. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，，故D错误．故选：C.
3. 若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】,
故选：D
4. 已知变量和的统计数据如下表：
若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ）
A. 5.75B. 7.5C. 7.55D. 8
【答案】A
【解析】，，
所以，即，
令，解得.
故选：A.
5. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，
则，
所以.
故选：C.
6. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长.
故选：A.
7. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A. 300种B. 210种C. 120种D. 60种
【答案】B
【解析】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有种，
乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法
第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，
第二种是乙、丙各安排2名有，
第三种是乙安排3名丙安排1名，
所以根据分步算法可得种.
故选：B
8. 若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，由，得．
设直线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，又，
由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1，
即的方程为．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，所以，且，
又，所以A正确，B错误；
，故，故C正确；
，
，故D错误.
故选：AC.
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 恰有一个极值点
B. 有最小值但没有最大值
C. 直线与曲线的公共点个数最多为4
D. 经过点只可作的一条切线
【答案】ACD
【解析】对于A，的定义域为，
，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故是唯一的极值点，故A正确；
对于B，函数在上的最小值为，
又因为当时，且，
当且时，，当且时，，
所以f(x)既无最小值也无最大值，故B错误；
对于C，由B选项作出函数的大致图象如图所示，
直线恒过点，
当足够大时，
直线与曲线有2个交点，
直线与曲线有2个交点，
则直线与曲线公共点个数最多为4，故C正确；
对于D，易知点不在的图象上，设切点为，
则，解得，
则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确.
故选：ACD.
11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
【答案】BCD
【解析】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；
，则，故B正确；
记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则______，展开式中的常数项为______．
【答案】① ②
【解析】因为二项式展开式中各项二项式系数的和为16，
所以，
解得，
展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的常数项为.
故答案为：；.
13. 已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则______________．（参考公式：决定系数）
【答案】0.96
【解析】因为．
故答案为：.
14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________.
【答案】-1
【解析】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为，
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，
，解得，所以，
得到切点，点到直线即的距离，
解得或3.
当时，过点和，过点和，
又，，所以与相交，不符合题意；
当时，令，则，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即恒成立，
所以与不相交，符合题意.
综上，.
故答案为：-1.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）求在上的最值.
解：（1）由，得.
因为的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，即，解得；
（2）由（1）可知，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
因为，
所以，
所以在上的最大值为，最小值为2.
16. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
解：（1）零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关.
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.
（2）由题意得抽取的8人中，男性人数为，
女性人数为.
当3人中有2名女性和1名男性时，，
当3人全部为女性时，，
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
17. 某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
（1）求甲在一年内考试失败的概率；
（2）求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
解：（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
故．
18. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围．
解：（1）由题意，函数定义域，
因为，
所以，
当时，，
所以在上单调递增；
当时，
令，则，解得，
令，则，解得，
所以在上单调递增，在单调递减，
当时，令，则，解得，
令，则，解得，
所以在上单调递减，在单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递减，在单调递增；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，
所以方程不可能有两个不同的实数解，不符合题意；
当时，在上单调递增，在单调递减；
令，得，所以，解得，
所以时，，时，，
且当时，，当时，，
所以函数的大致图象如图所示，

由图可知，方程仅有一个实数解，不符合题意；
当时，在上单调递减，在单调递增；
令，得，
所以，解得，
所以时，，时，，
且当时，，当时，，
所以函数的大致图象如图所示，

由图可知，若方程有两个不同的实数解，
则，
所以，即，
令，
所以，
所以函数在时单调递减，
又因为，
所以由，得，
即的取值范围为：.
19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．
（2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．
解：（1）由题可知任意，且，
即，解得．
因为，所以，即的取值范围为．
（2）（ⅰ）设，
则．
令，且，
则，则在上单调递增，
所以，即，
所以是上的“好函数”．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，，
令，则，
即．
故，
化简可得．
1
2
3
4
5
0.9
1.3
1.8
2.4
3.1
喜欢
不喜欢
合计
男
45
5
50
女
35
15
50
合计
80
20
100
0.05
0.025
0.01
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
2
3
4