[数学][期末]湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]湖北省武汉市黄陂区2023-2024学年高一下学期期末质量检测试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以的虚部是.
故选：A.
2. 已知，，若，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，解得.
故选：C.
3. 已知一组样本数据，，…，（）的方差为1.2，则，，⋯，的方差为（ ）．
A. 5B. 6C. 25D. 30
【答案】D
【解析】数据的方差为1.2，
，，……的方差为：．
故选：D.
4. 平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据三角形中位线知：.
故选：C.
5. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，
则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面，
因为上、下底面边长分别为2和4，所以，
故，，
，因为棱与底面所成的角为，则，
故，则，
故该正四棱台的体积为.
故选：A.
6. 袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设1个红球为，2个白球分别为，2个黑球分别为，则从袋子中任取2个球包含：
，
共10个基本事件，
其中取到红球，包含，共4个基本事件，
则取出的2个球都是红球的概率.
故选：B.
7. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，，则∠C＝（ ）
A. 60°B. 75°C. 60°或120°D. 15°或75°
【答案】D
【解析】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，，，
利用正弦定理：，整理得，
所以B＝60°或120°，
当B＝60°时，C＝75°，当B＝120°时，C＝15°．
故选：D．
8. 已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接，
则，
因为在中，，，，点M为AB中点，
所以，则为等边三角形，
所以，，
将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形，
，，，，
因为平面平面，且平面，，
平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为，
在直角三角形中， ，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了户家庭十月份的用电量（单位：），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 图中的值为B. 样本的第百分位数约为
C. 样本平均数约D. 样本平均数小于样本中位数
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意，，解得，，
故A正确；
对于B，因为用电量在以下的频率为，
用电量在以下的频率为，
所以样本的第分位数在区间内，
设样本的第分位数为，则，解得，
即样本的第分位数约为，故B正确；
对于C，样本的平均数为
，
故C正确；
对于D，因为用电量在以下的频率为，
用电量在以下的频率为，
所以样本的中位数在区间内，
设样本的中位数为，则，解得，
所以样本的中位数约为，
因为，所以样本的中位数样本的平均数，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知O是坐标原点，平面向量，，，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A. ；
B. ．
C. 若，则A，B，C三点共线
D. 若，则面积的最大值是
【答案】BCD
【解析】由，，得，
对于A，，A错误；
对于B，，而与都是非零向量，则，B正确；
对于C，由，得，则，
于是，即，又有公共点，因此A，B，C三点共线，C正确；
对于D，由，得，当与都不重合时，，
点在以线段为直径的圆上，当与之一重合时，符合题意，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆，而，点到距离的最大值为，
因此面积的最大值是，D正确.
故选：BCD.
11. 已知正方体的棱长为2，点E是线段上的动点，点F是线段的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A 直线和直线始终异面
B. 直线与直线始终垂直
C. 直线与平面所成的角为，则的最大值为
D. 三棱锥B-DEF的体积为定值
【答案】BD
【解析】如图，设，则G为的中点，
选项A，当E与G重合时，点均在平面内，故直线和直线均在平面内，即二者共面，故A错误；
选项B，因为平面，所以是在平面内的射影，
因为及三垂线定理，所以，同理有，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故B正确；
选项C，因平面平面，
所以直线EF与平面所成的角，即为直线EF与平面所成的角，
即，所以，故C错误；
选项D，因为，点E在直线上，所以点E到直线的距离为定值，则为定值，
又F到面的距离h也为定值，所以也为定值，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是关于x的方程（）的一个根，则实数________.
【答案】
【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以为方程的另一个根，
所以由韦达定理可得，，解得.
故答案为：.
13. 甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为________．
【答案】
【解析】甲得分超过乙得分的事件，即得2分，乙得0分的事件，其概率为，
所以甲得分不超过乙得分的概率为.
故答案为：.
14. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则λ的取值范围是________
【答案】
【解析】因为，由正弦定理可得，
则，在中，可得或，
所以或（舍去），则，
在锐角中，，解得，
由正弦定理可得
，
因为，则，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品数分别为400，600，400．现采用分层随机抽样的方法从中抽取7个产品进行质量检验．
（1）应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取多少个？
（2）从7个产品中随机抽取2个产品．设M为事件“抽取的2个产品来自同一工厂”，求事件M发生的概率
解：（1）依题意，从甲工厂抽取的产品个数是，
从乙工厂抽取的产品个数是，
从乙工厂抽取的产品个数是，
所以应从甲、乙、丙三个工厂的产品中分别抽取2个，3个，2个.
（2）甲工厂抽取的2个产品记为，乙工厂抽取的3个产品记为，
丙工厂抽取的2个产品记为，
从7个产品中随机抽取2个产品，样本空间
，
共21个样本点，
事件，共5个样本点，
所以事件M发生的概率.
16. 已知，，，且.
（1）求点P的坐标；
（2）求实数t的值；
（3）求的值.
解：（1）依题意，设，
因为，，
所以，
则，解得，
所以点的坐标为.
（2）因为，
所以，
，
又，所以，解得.
（3）因为，
所以，
则，，
所以.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，其中S为的面积.
（1）求角A；
（2）若，求周长的取值范围.
解：（1）因为，，，
所以，则，即，
又，所以.
（2）的周长为，
因为，即，
因为，所以，
所以，则，即，
又，所以，即，
所以的周长的取值范围为.
18. 甲、乙两篮球俱乐部举行篮球赛，约定第一场在甲俱乐部的主场比赛，第二场在乙俱乐部的主场比赛，交替更换场地进行，先连续获胜两场的队伍直接获胜，否则先获得3场胜利的球队获胜．已知甲俱乐部在主场获胜的概率是，乙俱乐部在主场获胜的概率是，
（1）求比赛恰好四场结束的概率；
（2）求甲俱乐部获胜的概率．
解：（1）若比赛恰好四场结束，则可能甲胜或乙胜，且均为胜负胜胜，
若甲胜，则概率为；
若乙胜，则概率为；
所以比赛恰好四场结束的概率.
（2）若甲俱乐部获胜，则甲可能两场、三场、四场和五场获胜，
若两场获胜，其概率；
若三场获胜，则负胜胜，其概率为；
若四场获胜，由（1）可知其概率为；
若五场获胜，则胜负胜负胜或负胜负胜胜，
其概率为；
所以甲俱乐部获胜的概率.
19. 如图，四棱锥中，PC垂直平面ABCD，，∥，，，E是线段PB上的动点．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若∥平面，求点E的位置．
解：（1）取的中点，连接，
由题意可知：∥，，则平行四边形，
且，可知为矩形，则，
可得，即，则，
因为平面ABCD，平面ABCD，
则，
且，平面，可得平面，
且平面，所以.
（2）由（1）可知：，，
且，平面，可得平面，
且平面，所以，
可知二面角的为，
且，可得，
所以二面角的正弦值.
（3）设，连接，
若∥平面，且平面，平面平面，
则∥，可得，
又因为∥，则，可得，
所以点E为线段的三等分点，且.