湘教版八年级上册2.3 等腰三角形精品同步训练题

这是一份湘教版八年级上册2.3 等腰三角形精品同步训练题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，AC=CD=DA=BC=DE，则∠BAE是∠BAC的( )
A. 4倍B. 3倍C. 2倍D. 1倍
2.如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过D作DE/​/AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为( )
A. 20°
B. 140°
C. 20°或140°
D. 40°或140°
3.若△ABC是等腰三角形，∠A=36°，则∠C的度数是( )
A. 72°或108°B. 36°或72°C. 108°或36°D. 36°或72°或108°
4.如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=( )
A. a+b2B. a−b2C. a−bD. b−a
5.如图，▵ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是( )
①▵ABD≌▵CAE； ②∠BFE=60∘；③△AFB∽△ADF；④若ADAC=13，则AFBF=12
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
6.若P是等边三角形ABC内一点，PA2+PB2=PC2，且PC=2PA，则∠BPC的度数为 ( )
A. 75°B. 90°C. 120°D. 135°
7.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为( )
A. 9B. 8C. 6D. 12
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则PB+PE的最小值和下列线段长度相等的是( )．
A. BCB. CEC. ADD. AC
9.如图，∠MAN是一钢架，且∠A=15°.为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管CD，DE，EF，…，添加的钢管长度都与AC相等，则最多能添加的钢管的根数为 ( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.下列三角形：①有两个角等于60∘；②有一个角等于60∘的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D为直线BC上异于B，C的一点，若△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为 ．
12.如图，∠BAC是一个钢架结构，要使该钢架更加牢固，需在其内部从左至右顺次焊上长度相等的钢条，在AB，AC足够长的情况下，若最多只能焊上7根，且AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，则∠BAC度数的最大值为 (结果保留整数)．
13.如图，P是射线ON上一动点，∠O=30°，则当∠A的度数为 时，△AOP为等腰三角形．
14.如图，过D，A，C三点的圆的圆心为点E，过B，E，F三点的圆的圆心为点D.如果∠A=63°，那么∠B= ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE/​/AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
16.(本小题8分)
已知：如图，▵ABC中，AB=AC，AB>BC．

(1)利用尺规作图，作▵ABC中AC边上的高BD(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：∠CBD=12∠A．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，若AE=1，求CE的长．
18.(本小题8分)
问题情境：
已知在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，D为直线BC上的动点(不与点B，C重合)，点E在直线AC上，且AE=AD，设∠DAC=n．
(1)如图①，若点D在BC边上，n=36°，求∠BAD和∠CDE的度数；
(2)拓广探索：如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
(3)当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．
19.(本小题8分)
如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为_________．
20.(本小题8分)
如图，在△MBC中，点D是BC的中点，MB=MC，连接MD，E为MC上一点，∠CBE=45°，BE交MD于点F，若MB=13，BC=10，求MF的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是掌握等边三角形的性质.由题意得出△ACD是等边三角形，△BCA和△ADE均为等腰三角形，再结合三角形外角的性质得出∠BAC=∠DAE=30∘，∠BAE=120∘，即可求解．
【解答】
解： ∵AC=CD=DA=BC=DE，
∴△ACD是等边三角形，△BCA和△ADE均为等腰三角形，
∴∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=60°，∠ADC=∠E+∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE=30∘，∠BAE=∠CAD+∠BAC+∠DAE=120∘，
∴∠BAE=4∠BAC，
故选A．
2.【答案】D
【解析】解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F′点，连接DF，DF′，则DE=DF=DF′，
∴∠DFF′=∠DF′F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB=∠DEB，
∵DE//AB，∠ABC=40°
∴∠DEB=180°−40°=140°，
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°，
故选：D．
以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F′点，连接DF，DF′，则DE=DF=DF′，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB，结合平行线的性质可求解∠DFB=140°，当点F位于点F′处时，由DF=DF′可求解∠DF′B的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质与判定，证明∠DFB=∠DEB是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：①当AB=AC时，
∵∠A=36°，
∴∠C=∠B=72°．
②当CA=CB时，
∵∠A=∠B=36°，
∴∠C=108°．
③当BA=BC时，
∴∠C=∠A=36°，
综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC−AD=a−b，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
5.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得AB=CA,∠BAD=∠ACE=60∘，则有▵ABD≌▵CAE，然后可得∠CAE=∠ABD，进而根据三角形外角的性质及相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵▵ABC是等边三角形，
∴AB=CA,∠BAD=∠ACE=60∘，
∵AD=CE，
∴▵ABD≌▵CAESAS，故①正确；
∴∠CAE=∠ABD，AE=BD，
∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠CAE+∠BAF=∠BAD=60∘，故②正确；
∵∠AFB>∠ADB，
∴△AFB∽△ADF不成立，故③错误；
过点E作EH/​/BD，交AC于点H，
∴△CEH∽△CBD，
∵ADAC=13，
∴ADDC=12,CECB=13，
∴CHCD=EHBD=CECB=13，
∴CD=3CH,DH=2CH，
∴AD=32CH，
∴ADDH=34=AFFE，
∴AFAE=37=AFBD，
∵EH//BD，
∴▵ADF∽▵AHE，
∴FDEH=AFAE=37，即FD=37EH=17BD，
∴BF=BD−DF=67BD，
∴AFBF=37BD67BD=12；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选B．
6.【答案】B
【解析】提示：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°，使BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处，所以BM=BP，MC=PA，∠PBM=60°.连接MP，则△BPM是等边三角形，所以PB=PM.因为PA2+PB2=PC2，所以MC2+PM2=PC2，所以△PMC是直角三角形，∠CMP=90°.因为PC=2PA，所以PC=2MC，所以∠CPM=30°.又因为∠BPM=60°，所以∠BPC=90°．
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【解答】
解：如图，连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
9.【答案】C
【解析】如图，因为AC=CD，所以∠CDA=∠A=15°，所以∠DCE=∠CDA+∠A=30°.因为CD=DE，所以∠DEC=∠DCE=30°，所以∠EDF=∠DEC+∠A=45°.因为DE=EF，所以∠EFD=∠EDF=45°，所以∠GEF=∠EFD+∠A=60°.因为EF=FG，所以∠EGF=∠GEF=60°，所以∠GFH=∠EGF+∠A=75°.因为FG=GH，所以∠GHF=∠GFH=75°，所以∠MGH=∠GHF+∠A=90°.因为等腰三角形的底角小于90°，所以最多能添加的钢管为CD，DE，EF，FG，GH，共5根．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查等边三角形的判定，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【解答】
解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选D．
11.【答案】30°或37.5°或52.5°
【解析】略
12.【答案】12°
【解析】提示：设∠BAC=x.因为AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，所以∠A=∠AP2P1=x，所以∠P2P1P3=2x，所以∠P3P4P2=3x，…，∠P7P8P6=7x.所以7x