初中数学湘教版八年级上册4.1 不等式精品同步达标检测题

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这是一份初中数学湘教版八年级上册4.1 不等式精品同步达标检测题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.x≥3的最小值是a，x≤−5的最大值是b，则a+b=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是( )
A. x>−1B. x≥−1C. x<−1D. x≤−1
3.已知a是负数，下列关于x的不等式组无解的是( )
A. x>ax>0B. x>ax<0C. x0D. x4.不等式x>1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.(2023·北京朝阳区二模)已知药品A的保存温度要求为0℃～5℃，药品B的保存温度要求为2℃～7℃，若需要将A，B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为( )．
A. 0℃～2℃B. 0℃～7℃C. 2℃～5℃D. 5℃～7℃
6.关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是( )
A. x>−2B. x<−2C. x>2D. x≠−2
7.把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若________.依题意，设有x名同学，可列不等式8(x+5)>12x.则横线上的条件应该是( )
A. 每人分8本，则剩余5本
B. 每人分8本，则恰好可多分给5个人
C. 每人分5本，则剩余8本
D. 其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本
8.如图，该数轴表示的不等式的解集为( )
A. x>−2B. x≤3C. −29.关于x的不等式mx−n>0的解集是x<13，则关于x的不等式(n−m)x>(m+n)的解集是( )
A. x<−52B. x>−53C. x<−2D. x>−2
10.不等式的解集x≥1在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若关于x、y的二元一次方程组3x+y=1+a,x+3y=3的解满足x+y<2，则a满足的不等式为．
12.“小丽上周每天睡眠时间不少于8小时，她上周五的睡眠时间是t小时”，用不等式表示其数量之间的关系为_________．
13.下表中结出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax+by=3的解，则不等式组xn的解集为______．
14.关于x的不等式组x>m−1,x>m+2的解集是x>−1，则m= ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知定义在0,+∞上的函数fx=x+1x．
(1)判断函数fx在1,+∞上的单调性，并用定义给出证明；
(2)解关于x的不等式f2x<52．
16.(本小题8分)
先阅读绝对值不等式|x<6和|x|>6的解法，再解答问题．
①因为|x|<6，从数轴上(如图1)可以看出只有大于−6而小于6的数的绝对值小于6，所以|x|<6的解集为−6②因为|x|>6，从数轴上(如图2)可以看出只有小于−6的数和大于6的数的绝对值大于6.所以|x|>6的解集为x<−6或x>6．
(1)|x|<2的解集为______，|x|>5的解集为______；
(2)不等式|x+1|+|x−3|>4的解集是______．
(3)若|x−3|−|x+4|≤a对任意的x都成立，则a的取值范围是______．
17.(本小题8分)
数学来源于生活，生活中处处有数学.用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．
(1)糖水实验一：
①现有b克糖水，其中含有a克糖(b>a>0)，则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为ab.加入m(m>0)克水，则糖水的浓度为______；
②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”；
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”______；并通过计算说明该不等式成立．
18.(本小题8分)
整式5(m−15)的值为P．
(1)当m=3时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的正整数值．
19.(本小题8分)
在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1.已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．
(1)写出a所满足的不等式；
(2)数−3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
20.(本小题8分)
阅读下列材料：我们知道|x|表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x−0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为|x1−x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．
例如：解方程|x|=6．
解：∵|x|=|x−0|=6，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为±6，即该方程的解为x=±6．
【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
我们定义：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|m”(m为非负数)的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．

由图1可以得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<−1或x>1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是−3≤x≤3．
例如：解不等式|x−1|>2．
解：如图2，首先在数轴上找出|x−1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为−1，3，则|x−1|>2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x<−1或x>3．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x−5|=3的解为______．
(2)不等式|x|≥4的解集是______．
(3)不等式2|x+2|+1<9的解集是______．
(4)不等式|x+1|+|x−3|>4的解集是______．
(5)若|x−3|−|x+4|≤a对任意的x都成立，则a的取值范围是______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查的是不等式的意义和代数式的求值.根据不等式的意义确定a和b的值，再将其代入代数式计算即可．
【解答】
解：∵x≥3，
∴最小值为x=3，
即a=3，
∵x≤−5，
∴最大值为x=−5，
即b=−5，
∴a+b=3−5=−2．
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．
【解答】解：∵−1处是空心圆点，且折线向右，
∴这个不等式可能是x>−1．
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a是负数，即a<0，
A、x>ax>0的解集为：x>0，不符合题意；
B、x>ax<0的解集为aC、x0的解集为无解，符合题意；
D、x故选：C．
根据不等式组解集的确定方法分别求出各不等式组的解集即可．
本题考查了不等式的求解问题，解题的关键是熟知求不等式组的解集应遵循的原则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
4.【答案】C
【解析】【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：x>1在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故选C．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，能正确画出数轴，正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵药品A的保存温度要求为0℃～5℃，药品B保存温度要求为2℃～7℃，
∴将A，B两种药品放在一起保存，保存温度要求为2℃～5℃．
故选：C．
需要将A，B两种药品放在一起保存，保存温度正好是B药品保存温度的最低度数和A药品保存温度的最高度数．
此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂A药品保存温度和B药品保存温度的要求．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式解集的表示方法是解题关键．根据不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“<”，“>”表示，大于向右，小于向左．
【解答】
解：由数轴，得
x>−2，
故选A．
7.【答案】B
【解析】略
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集有关知识，根据数轴直接写出不等式的解集即可．
【解答】
解：由数轴可知：该不等式的解集为−2⩽x<3．
故选：D．
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，先解关于x的不等式mx−n>0，得出解集，再根据不等式的解集是x<13，从而得出m与n的关系，解得不等式的解．
【解答】
解：因为关于x的不等式mx−n>0的解集是x<13，
所以m<0，且nm=13，
解得m=3n，
所以n<0，
则关于x的不等式(n−m)x>m+n，
可化为：(n−3n)x>3n+n，
所以−2nx>4n，
因为n<0，
所以−2n>0，
则x>−2．
故选D．
10.【答案】B
【解析】解：x≥1表示数轴上1右边的部分，且1处是实心点，
故选：B．
x≥1表示数轴上1右边的部分，且1处是实心点，据此来判断．
本题主要考查了不等式解集在数轴上的表示方法，熟练掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．
11.【答案】1+a4<2
【解析】3x+y=1+a,①x+3y=3,②
①+②，得4x+4y=4+a，则x+y=1+a4．
根据题意，得1+a4<2．
12.【答案】t≥8
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，关键是用数学符号表示文字语言．
根据“不少于”即“≥”列式即可．
【解答】
解：根据题意，得t≥8．
故答案是：t≥8．
13.【答案】−3【解析】解：将x=1，y=1；x=2，y=−1代入ax+by=3中得：
a+b=32a−b=3，
解得：a=2b=1，
∴原方程为2x+y=3，
当y=3时，m=0；当x=3时，n=−3，
∴x<0x>−3的解集为−3故答案为：−3根据题意列出方程组，求出ab的值，再将相关数据代入方程求出mn的值，进而求出不等式组的结集．
本题考查不等式的解集和二元一次方程的解，正确代入数据进行计算是解题关键．
14.【答案】−3
【解析】因为m+2>m−1，所以m+2=−1，所以m=−3．
15.【答案】(1)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(1,+∞)，且x1f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)+x2−x1x1x2
=(x1−x2)(1−1x1x2)=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2，
因为x1，x2∈(1,+∞)，且x1所以x1−x2<0，xx2>1，x1x2−1>0，从而f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，同理可证f(x)在(0,1]上单调递减．
令u=2x，则u∈(0,+∞)，且f(u)<52，注意到f(12)=f(2)=52，
所以12因为y=2x在R上单调递增，所以−1所以不等式f(2x)<52的解集是(−1,1)．
【解析】略
16.【答案】−25 x<−1或x>3 a≥7
【解析】解：(1)由题意，∵|x|<2，
∴−2∵|x|>5，
∴x<−5或x>5．
故答案为：−25．
(2)由题意，从数轴上看，当−1≤x≤3时，|x+1|+|x−3|取最小值为4，
∴当x<−1或x>3时，|x+1|+|x−3|>4．
∴不等式|x+1|+|x−3|>4的解集是x<−1或x>3．
故答案为：x<−1或x>3．
(3)方程|x−3|−|x+4|=a的解，即到3的距离和到−4的距离之差为a的点对应的数，
则|x−3|−|x+4|≤a的解集分三种在−4左侧，在−4和3之间，在3右侧的取值范围，
①当x<−4时，不等式|x−3|−|x+4|=3−x+x+4=7，
②当−4≤x≤3时，不等式|x−3|−|x+4|=3−x−x−4=−1−2x，又−4≤x≤3，−6≤−2x≤8，−7≤−1−2x≤7，
③当x>3时，不等式|x−3|−|x+4|=x−3−x−4=−7，
综上，a≥7．
故答案为：a≥7．
(1)依据题意，由|x|<2，从而−25，则x<−5或x>5，即可判断得解；
(2)依据题意，从数轴上看，当−1≤x≤3时，|x+1|+|x−3|取最小值为4，故当x<−1或x>3时，|x+1|+|x−3|>4，即可判断得解；
(3)依据题意，方程|x−3|−|x+4|=a的解，即到3的距离和到−4的距离之差为a的点对应的数，从而|x−3|−|x+4|≤a的解集分三种在−4左侧，在−4和3之间，在3右侧的取值范围，再分x<−4、−4≤x≤3和x>3三种情形讨论，即可判断得解．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、绝对值、有理数大小比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
17.【答案】ab+m ab>ab+m ab【解析】解：(1)①由题意得：ab+m，
故答案为：ab+m；
②由题意得：ab>ab+m，
故答案为：ab>ab+m；
(2)ab证明：ab−a+mb=a−a−mb=−mb，
∵b>a>0，m>0，
∴−mb<0，
∴ab故答案为：ab(1)①根据题意列式表示；
②根据题意列式表示；
(2)根据作差法比较大小．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是截图的关键．
18.【答案】解：(1)根据题意得：P=5(3−15)=5×145=14．
(2)由图可知：P≤9，
即5(m−15)≤9，
解得m≤2．
∵m为正整数，
∴m=1，2．
【解析】(1)把m=3代入代数式中进行计算便可；
(2)根据数轴列出m的不等式进行解答便可．
本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第(2)题关键是根据数轴列出m的不等式．
19.【答案】解：(1)根据题意得：|a−1|<3，
得出−2(2)由(1)得：到点B的距离小于3的数在−2和4之间，
∴在−3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．
【解析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
本题考查了数轴上两点之间的距离为两个数差的绝对值，以及解不等式，难度适中．
20.【答案】x1=8，x2=2 x≥4或x≤−4 −63 a≥7
【解析】解：(1)方程|x−5|=3的解为：x1=8，x2=2．
(2)
根据数轴，方程|x|=4的解为：x=±4，即到0的距离为4的点对应的数为−4，4，
则|x|≥4的解集为到0的距离大于4的点对应的所有数，
所以原不等式的解集为x≤−4或x≥4．
(3)2|x+2|+1<9，
2|x+2|<8，
|x+2|<4，
根据数轴，方程|x+2|=4的解为：x1=2，x2=−6，即到−2的距离为4的点对应的数为2，−6，
则2|x+2|+1<9的解集为到−2的距离小于4的点对应的所有数，
所以原不等式的解集为−6(4)
根据数轴，方程|x+1|+|x−3|=4的解，即到−1和3的距离为4的点对应的数为在−1和3之间的数都符合，
则|x+1|+|x−3|>4的解集为在−1左边和3右边所有的数，
所以原不等式的解集为x<−1或x>3．
(5)方程|x−3|−|x+4|=a的解，即到3的距离和到−4的距离之差为a的点对应的数，
则|x−3|−|x+4|≤a的解集分三种在−4左侧，在−4和3之间，在3右侧的取值范围，
①当x<−4时，不等式|x−3|−|x+4|=3−x+x+4=7，
②当−4≤x≤3时，不等式|x−3|−|x+4|=3−x−x−4=−1−2x，又−4≤x≤3，−6≤−2x≤8，−7≤−1−2x≤7，
③当x>3时，不等式|x−3|−|x+4|=x−3−x−4=−7，
所以a≥7．
(1)根据|x|表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离进而作答，
(2)依题意在数轴上找出|x|=4绝对值的解，再根据数轴找出不等式|x|≥4的解集，
(3)先将不等式变换成|x+2|<4依题意在数轴上找出|x+2|=4绝对值的解，再根据数轴找出不等式|x+2|<4的解集，进而求出不等式2|x+2|+1<9的解集，
(4)先在数轴上找出方程|x+1|+|x−3|=4的解，再根据数轴找出不等式|x+1|+|x−3|>4的解集，
(5)分类讨论去绝对值，分三种情况：x<−4，4≤x≤3，x>3，进而作答
根据题意新定义绝对值不等式先在数轴上找出绝对值的解，再根据数轴找出不等式的解集，解题的关键是根据数轴理解绝对值不等式的含义作答．x
m
1
2
3
y
3
1
−1
n