初中数学湘教版八年级上册4.2 不等式的基本性质精品练习题

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这是一份初中数学湘教版八年级上册4.2 不等式的基本性质精品练习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知不等式5x+2≥3(x−1)，则x的取值可能是( )
A. x≥−52B. x≤−52C. 1≤x≤3D. −3≤x≤3
2.若m>n，则下列结论正确的是( )
A. m+3>n+3B. m−4−5nD. 6m<6n
3.根据不等式的性质，下列变形正确的是( )
A. 由a>b，得ac2>bc2B. 由ac2>bc2，得a>b
C. 由−12a>2，得a<2D. 由2x+1>x，得x>1
4.若mA. m−n>0B. m−9>n−9C. m+n<2nD. −m4<−n4
5.若a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. ac>bcB. ac2>bc2
C. a(a+b)>b(a+b)D. a(a−b)>b(a−b)
6.若m>n，则下列各式中正确的是( )
A. m+27.下列说法正确的是( )
A. 若aC. 若−2a>−2b，则a>bD. 若a>b，则ac28.已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论错误的是( )
A. 若a>0，c=0，则b<0B. 若a>c，则b−a>c−a2
C. 若a>b，则b9.已知非负实数a，b，c满足a−12=b−23=3−c4，设S=a+b+c，则S的最大值为( )
A. 112B. 152C. 274D. 314
10.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是( )
A. |c|>|a|B. −c>aC. ac2>bc2D. a−c二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若a>b，则ac2_______bc2．
12.举反例说明命题“如果a>b，那么ac>bc”是假命题，则a= ，b= ，c= ．
13.若x(m−2)y，则m的取值范围是．
14.如图的框图表示解不等式3−5x>4−2x的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
观察下列式子：
第1个式子：f(1)=122<11×2=11−12;
第2个式子：f(2)=132<12×3=12−13;
第3个式子：f(3)=142<13×4=13−14;
第4个式子：f(4)=152<14×5=14−15;
⋯⋯
根据上述规律，解决下列问题：
(1)写出第5个式子： ;
(2)写出第n(n为正整数)个式子：，并说明：f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)<1．
16.(本小题8分)
将下列不等式化成“x>a”或“x(1)x−3<−5；
(2)2x≥6x−2．
17.(本小题8分)
“武汉梦时代”为全球最大的纯商业体，总建筑面积约79.94万平方米，该商业体有甲、乙两商场，甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按85%收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元的部分按90%收费，已知a>b，顾客累计购物金额为x元(顾客只能选择一家商场)．
(1)若a=200，b=160．
①当x=300时，到甲商场实际花费______元，到乙商场实际花费______元；
②若x>200，那么当x= ______时，到甲或乙商场实际花费一样；
(2)经计算发现：当x=120时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当x=200时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出a，b的值；
(3)若x=180时，到甲或乙商场实际花费一样，a<180，b<180且160≤a+b≤235，请直接写出a−b的最大值______．
18.(本小题8分)
下列命题中哪些是真命题，哪些是假命题，假命题的举出反例说明。
①若a>b，则a−b>0;
②若a>b，则ac2>bc2;
③若ac>bc，则a>b;
④若ac2>bc2，则a>b．
19.(本小题8分)
阅读下列材料：
问题：已知x−y=2，且x>1，y<0，试确定x+y的取值范围
解：∵x−y=2，∴x=y+2，
又∵x>1，∴y+2>1，∴y>−1，又∵y<0，∴−1∴−1+2①+②得−1+1请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知x−y=5，且x>−2，y<0，
①试确定y的取值范围；
②试确定x+y的取值范围；
(2)已知x−y=a+1，且x<−b，y>2b，若根据上述做法得到3x−5y的取值范围是−10<3x−5y<26，请求出a、b的值．
20.(本小题8分)
[阅读材料]根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a−b>0，则a>b;若a−b=0，则a=b;若a−b<0，则a[尝试应用]请运用此方法比较下列式子的大小：4+3a2−2b+b2与3a2−2b+1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据不等式的性质解答即可得到答案．
【解答】解：5x+2≥3(x−1)，
去括号得，5x+2≥3x−3，
两边同时减3x、减2得，2x≥−5，
不等号两边同时除以2得，x≥−52．
故选：A．
【点评】此题考查的是不等式性质，注意在运用不等式性质3时，不要出错，是基础题目．
2.【答案】A
【解析】【分析】本题考查了不等式的性质；解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
根据不等式得性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的整式，不等号方向改变，解答即可．
【详解】A．m>n，两边同时加3得m+3>n+3；故本选项符合题意；
B.m>n，两边同时减去4得m−4>n−4，原式不等号变方向，错误，故本选项不符合题意；
C.m>n，两边同时乘−5得−5m<−5n，原式不等号没有改变方向，错误，故本选项不符合题意；
D.m>n，两边同时乘6得6m>6n，原式不等号改变方向，错误，故本选项不符合题意
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的性质，解答本题的关键是掌握不等式的基本性质；根据不等式的基本性质逐个选项进行分析，即可求解．
【解答】
解：A选项，若c=0，则变形不成立，故A不正确；
B选项，由ac2>bc2知c2>0，根据不等式的性质2可知B正确；
C选项，不等式两边同时乘−2，可得a<−4，故C不正确；
D选项，不等式两边同时加上(−x−1)，得x>−1，故D不正确．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据不等式的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：A、若mB、若mC、若mD、若m−n4，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查对不等式的性质，有理数的乘方、乘法等知识点的理解和掌握，能熟练地利用这些性质进行判断是解此题的关键．
当c=0时，根据有理数的乘方，乘法法则即可判断A、B；根据不等式的性质即可判断C、D．
【解答】
解：A、因为a>b，当c=0时，可得ac=bc，故本选项错误；
B、因为a>b，当c=0时，可得ac2=bc2，故本选项错误；
C、整理可得a2+ab>ab+b2，即a2>b2，若−1>−2，而a2>b2不成立，故本选项错误；
D、整理可得a2−ab>ab−b2，可得a−b>0，故本选项正确．
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：A、在不等式m>n的两边同时加上2，不等号方向不变，即m+2>n+2，故本选项不符合题意．
B、在不等式m>n的两边同时减去3，不等号方向不变，即m−3>n−3，故本选项不符合题意．
C、在不等式m>n的两边同时乘−5，不等号方向改变，即−5m<−5n，故本选项符合题意．
D、在不等式m>n的两边同时除以6，不等号方向不变，即m6>n6，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】
解：A、若aB、若ac2C、若−2a>−2b，则aD、若a>b，则ac2>bc2(c≠0)，故D不符合题意；
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：∵c=0，
∴a+2b=0．
又∵a>0，
∴b<0，故A选项的结论正确;
∵a+2b=3c，
∴a+2b−3a=3c−3a，
∴b−a=3(c−a)2．
若a>c，则c−a<0，
∴3(c−a)2∴b−a∵a>b，
∴a+2b>b+2b，即a+2b>3b，
∴3c>3b，
∴b∵a+2b=3c，
∴a−c=2c−2b，
∴a−c2=c−b，故D选项的结论正确．
故选B．
本题考查了等式的性质，不等式的性质，正确记忆等式的性质、不等式的性质并正确变形做出判断是解题关键．由各个选项条件，根据不等式的性质依次判断即可．
9.【答案】C
【解析】解：设a−12=b−23=3−c4=k，则a=2k+1，b=3k+2，c=3−4k，
∴S=a+b+c=(2k+1)+(3k+2)+(3−4k)=k+6．
∵a，b，c为非负实数，
∴2k+1≥03k+2≥03−4k≥0，
解得：−12≤k≤34．
∴当k=−12时，S取最小值，当k=34时，S取最大值．
∴S最小值=−12+6=512，S最大值=34+6=634．
故选：C．
设a−12=b−23=3−c4=k，则a=2k+1，b=3k+2，c=3−4k，可得S=k+6；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得最大值．
本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设设a−12=b−23=3−c4=k 是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵|a|>|c|，
故A不符合题意；
∵a>0，c<0，且|a|>|c|，
∴a>−c，
故B不符合题意；
∵b>a，c2>0，
∴ac2故C不符合题意；
∵a∴a−c故D符合题意；
故选：D．
根据绝对值的意义可判断A；根据不等式的基本性质可判断BCD．
本题考查了实数与数轴，绝对值，不等式的基本性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
11.【答案】≥.
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，解题关键在于掌握不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变，注意考虑c=0的情况.根据不等式的基本性质即可解答．
【解答】
解：∵c2≥0，a>b，
当c2>0时，ac2>bc2，
当c2=0时，ac2=bc2，
∴ac2≥bc2．
故答案为≥．
12.【答案】5
0
0

【解析】【分析】本题考查了命题、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
根据假命题的定义、不等式的性质即可得．
【详解】解：要使得命题“如果a>b，那么ac>bc”是假命题，
则由不等式的性质得：只需c不是正数即可，
∴a=5，b=0，c=0．
故答案为：5，0，0(答案不唯一)．
13.【答案】m<2
【解析】解析 ∵x(m−2)y，∴m−2<0，∴m<2．
【分析】
本题主要考查不等式的基本性质.根据不等式的基本性质解答即可．
【解答】
解： ∵x(m−2)y，
∴m−2<0，
∴m<2．
14.【答案】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变(或不等式的基本性质3)
【解析】解：∵“系数化为1”这一步时，−3为负数，
∴依据是不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变(或不等式的基本性质3)．
故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变(或不等式的基本性质3)．
根据不等式的基本性质3判断即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
15.【答案】(1)解：f(5)=162<15×6=15−16．
(2)解：f(n)=1(n+1)2<1n(n+1)=1n−1n+1
证明：f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n)<1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1=nn+1<1．
【解析】【分析】
本题考查了有理数混合运算，数字的变化规律以及不等式的性质.根据已知式子找出其中的规律是解题的关键。
(1)根据已知规律列式即可；
(2)根据已知规律写出第n个式子，再仿照已知条件进行证明即可．
【解答】
解：(1)第1个式子：f(l)=122<11×2=11−12，
第2个式子：f(2)=132<12×3=12−13，
第3个式子：f(3)=142<13×4=13−14，
第4个式子：f(4)=152<14×5=14−15，
则第5个式子：f(5)=162<15×6=15−16，
故答案为：f(5)=162<15×6=15−16．
(2)根据(1)可得：第n(n为正整数)个式子为：f(n)=1(n+1)2<1n(n+1)=1n−1n−1．
故答案为：f(n)=1(n+1)2<1n(n+1)=1n−1n−1．
16.【答案】解：(1)两边同时加上3，得x<−5+3，
即x<−2；
(2)两边同时加上−6x，得−4x≥−2，
两边都除以−4，得x≤12．
【解析】结合不等式的性质进行求解即可．
本题考查的知识点是不等式的性质、求一元一次不等式的解集是关键．
17.【答案】285 286 280 40
【解析】解：(1)①由题意得到甲商场的实际花费：200+(300−200)×85%=285元，
到乙商场的实际花费：160+(300−160)×90%=286元；
故答案为：285；286；
②若x>200，到甲商场的实际花费：200+(x−200)×85%=0.85x+30，
到乙商场的实际花费：160+(x−160)×90%=0.9x+16，
∵甲或乙商场实际花费一样，
∴0.85x+30=0.9x+16，解得x=280，
故答案为：280；
(2)由题意得y甲=a+(x−a)×85%=0.85x+0.15a，
y乙=b+(x−b)×90%=0.9x+0.1b，
将x=120时，y乙=120−1=119，代入y乙=0.9x+0.1b得，
119=0.9×120+0.1b，解得b=110，
由当x=200时，y甲=y乙，
得.085×200+0.15a=0.9×200+0.1×110，
解得a=140；
(3)将x=180，代入y甲=0.85x+0.15a，y乙=0.9x+0.1b，使y甲=y乙，
得0.85×180+0.15a=0.9×180+0.1b，
整理得b=32a−90，
∴a+b=a+32a−90=52a−90，
∵160≤a+b≤235，
∴160≤52a−90≤235，
解得100≤a≤130，
∴a−b=a−(32a−90)=−12a+90，
∵−12<0，
∴a−b随a的增大而减小，
∴当a=100时，a−b有最大值−12×100+90=40．
故答案为：40．
(1)①利用题中的等量关系计算即可；②利用①中的关系计算即可；
(2)建立关于a、b的方程组计算即可；
(3)根据x=180时，甲乙商场费用一样计算出a与b的关系，再代入到160≤a+b≤235中，求出a的取值范围，即可求出a−b的最大值．
本题考查了列代数式，正确表示两个商场实际花费是求解本题的关键．
18.【答案】解：①若a>b，则a−b>0，故①是真命题；
②若a>b，当c=0时，则ac2=bc2，故②是假命题；
③若ac>bc，当c<0时，则a ④若ac2>bc2，则a>b，故④是真命题．
【解析】根据不等式的基本性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握不等式的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)①∵x−y=5，
∴x=y+5，
∵x>−2，
∴y+5>−2，
∴y>−7，
∵y<0，
∴−7②由①得−7∴−2即−2∴−7−2∴x+y的取值范围是−9(2)∵x−y=a+1，
∴x=y+a+1，
∵x<−b，
∴y+a+1<−b，
∴y<−a−b−1，
∴−y>a+b+1，
∵y>2b，
∴−y<−2b，
∴a+b+1<−y<−2b①，
∴10b<5y<−5a−5b−5，
∵2b+a+1∴2b+a+1∴6b+3a+3<3x<−3b②，
∴11b+8a+8<3x−5y<−13b，
∴①+②得：5b+5a+5+6b+3a+3<3x−y<−10b−3b，
∵3x−y的取值范围是−10<3x−5y<26，
∴11b+8a+8=−10−13b=26，
解得： a=0.5b=−2．
【解析】(1)①根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得y的取值；
②由①得−7(2)根据题意求得a+b+1<−y<−2b，2b+a+1本题考查了一元一次不等式的性质，仔细阅读材料，理解解题过程是解答本题的关键．
20.【答案】解：∵(4+3a2−2b+b2)−(3a2−2b+1)
=4+3a2−2b+b2−3a2+2b−1
=b2+3
∵b2≥0，
∴b2+3>0，
∴(4+3a2−2b+b2)−(3a2−2b+1)>0，
∴4+3a2−2b+b2>3a2−2b+1．

【解析】本题是探究比较两个式子大小的方法：作差法.要想比较两个式子的大小，可以将两个式子作差，根据差的正负判断两个式子的大小关系.我们用式子4+3a2−2b+b2减去3a2−2b+1，得到b2+3，根据b2+3恒大于0，故判断出4+3a2−2b+b2>3a2−2b+1．