人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角测试题
展开一、单选题
1.如图,,直线交于点E,交于点F,过上一点M作,垂足为点N,若,则的度数为( )
A.B.C.D.
2.下列各命题中,是假命题的是( )
A.对顶角相等B.两直线平行,同位角相等
C.如果,那么D.三角形内角和等于
3.如图,中,、是的两条角平分线,与相交于,,( )
A.B.C.D.
4.如果三角形的三个内角度数比为1:1:2,则这个三角形为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.非等腰直角三角形D.等腰直角三角形
5.将两块大小相同的含60°角的直角三角板按如图所示放置,的直角边恰好平分的直角,则的度数为( )
A.B.C.D.
6.已知是锐角三角形,, 则的度数可以是( )
A.B.C.D.
7.如图,中,,,平分,则度数为( )
A.B.C.D.
8.若一个三角形的三个内角不相等,则最大的内角不能小于( )
A.60°B.45°C.90°D.120°
9.在中,,则此三角形是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
10.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“标准三角形”,其中α为“标准角”,如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°,那么这个“标准三角形”的最小内角度数为( )
A.30°B.45°C.50°D.60°
11.已知在中,,,则的度数是( )
A.B.C.D.
12.将一副三角板如图放置,使点A在DE上,BC∥DE,其中∠E=30°,则∠AFC的度数是( )
A.45°B.50°C.75°D.70°
二、填空题
13.如图,,,,则图中与相等的角共有 个.
14.如图,将△ABC沿DE、HG、EF翻折,三个顶点均落在点O处,若,则∠2的度数为 .
15.将直角三角尺(,)和直尺按如图所示的方式摆放,依次交于点且,那么的度数为 .
16.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠B= .
17.如图,,则 .
18.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,依此类推….已知∠A=α,则∠An的度数为 (用含n、α的代数式表示).
19.在△ABC中,在△ABC中,∠A-∠B=∠B-∠C =15°则∠A、∠B、∠C分别为 .
20.如图,将沿EF折叠,使点C落到点C'处,则 .(填“>”“<”或“=”)
三、解答题
21.如图,在△ABC中,BD交AC于点D,DE交AB于点E,,,,
(1)试计算∠BED的度数.
(2) EDBC吗?试说明理由.
22.【提出问题】已知如图1,是、的角平分线的交点,你能找到、的关系吗?
【分析问题】在解决这个问题时,某小组同学是这样做的:
先赋予几个特殊值:
当时,计算出;
当时,计算出;
当时,计算出;
由以上特例猜想与的关系为:.再证明这一结论:
证明:点是、的角平分线的交点.
;
又
【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题:
(1)如图2,若点是、的三等分线的交点,即,,猜测与的关系为________,证明你的结论.
(2)若点是、的四等分线的交点,即,,则与的关系为________.(直接写出答案,不需要证明)
(3)若点是、的等分线的交点,即,,则与的关系为________.(直接写出答案,不需要证明)
23.如图, 中平分,,,求的度数.
24.已知在中,、、的对边分别为a、b、c.
(1)化简代数式:______.
(2)若,,求的各内角度数.
参考答案:
1.B
【分析】本题考查平行线的性质,查垂直的定义,三角形内角和定理,解题的关键是熟练掌握相关知识并学会应用.根据垂直的定义可求得,利用三角形内角和定理求出再根据两直线平行,内错角相等即可求得的度数.
【详解】解:,
,
,
,
,
2.C
【分析】本题考查了假命题,对顶角,平行线的性质,绝对值,三角形的内角和,根据对顶角,平行线的性质,绝对值,三角形的内角和判断各个选项,即可得;掌握假命题,对顶角,平行线的性质,绝对值,三角形的内角和是解题的关键.
【详解】解:A、对顶角相等,是真命题,选项说法错误,不符合题意;
B、两直线平行,同位角相等,选项说法错误,不符合题意;
C、如果,那么或a与b互为相反数,选项说法正确,符合题意;
D、三角形内角和等于,选项说法错误,不符合题意;
3.A
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠BAC=150°,再由角平分线的定义求出,从而得到∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=105°,由此求解即可.
【详解】解:∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°,∠B=30°,
∴∠ACB+∠BAC=150°,
∵CD、AE是△ABC的两条角平分线,
∴ ,,
∴,
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=105°,
∴∠AFD=180°-∠AFC=75°,
4.D
【详解】解:∵三角形的三个内角度数比为1:1:2,∴设三角形的三个内角分别为:x,x,2x,∴x+x+2x=180°,解得:x=45°,∴三角形的三个内角度数分别为:45°,45°,90°,∴这个三角形为等腰直角三角形.故选D.
点睛:此题考查了三角形的内角和定理.解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1:1:2,设三角形的三个内角分别为:x,x,2x,利用方程思想求解.
5.A
【分析】根据三角形内角和定理即可求解.
【详解】解:∵恰好平分的直角,
∴,
又∵,
∴,
6.D
【分析】将∠B的度数依次代入ΔABC中,根据三角形的内角和为180°即可判断ΔABC是否为锐角三角形.
【详解】A.当∠B=时,,则∠C=180°-20°-45°=115°,显然不是锐角三角形,故错误;
B.当∠B=时,,则∠C=180°--45°=105°,显然不是锐角三角形,故错误;
C.当∠B=时,,则∠C=180°--45°=90°,显然不是锐角三角形,故错误;
D.当∠B=时,,则∠C=180°-20°-45°=75°,显然是锐角三角形,故正确;
7.D
【分析】根据三角形内角和定理得到,再根据平分,得到.
【详解】解:,,
,
平分,
,
8.A
【详解】试题分析:假设三角形的最大内角小于60°,根据三角形内角和定理即可解答.
假设三角形的最大内角小于60°,那么三角形的内角和就小于180°,与三角形内角和为180°相悖.
因此三角形中最大的内角不能小于60°.
9.B
【分析】设,则,,根据三角形内角和为进行列方程即可解答.
【详解】解:设,
∵,
∴,,
在中,,
即,
解得,
那么,,,
所以此三角形是直角三角形.
10.A
【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数,进而求出最小内角即可.
【详解】解:由题意得:α=2β,α=100°,则β=50°,
180°﹣100°﹣50°=30°,
11.A
【分析】根据三角形内角和定理得∠A+∠B=90°,进而即可求解.
【详解】解:∵,
∴∠A+∠B=90°,
又∵,
∴∠A+∠B+(∠A-∠B)=120°,
∴∠A=60°,
12.C
【分析】先利用平行线的性质得到∠BCE=∠E=30°,然后根据三角形外角性质计算∠AFC的度数.
【详解】解:∵BC∥DE,
∴∠BCE=∠E=30°,
∵∠B=45°,
∴∠AFC=∠B+∠BCF=45°+30°=75°.
故选C.
13.4
【分析】根据直角三角形中两锐角互余及角的和与差分别计算出各个角度,从而可得出答案.
【详解】∵,,
∴ .
∵,,
∴ .
∵,,
∴ ,
∴.
∴图中与相等的角共有4个,
14.或51度
【分析】根据翻折变换前后对应角不变,故∠B=∠HOG,∠A=∠DOE,∠C=∠EOF,,进而求出∠1+∠2,再由∠1 =129°即可求解.
【详解】解:∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折,三个顶点均落在点O处,
∴∠B=∠HOG,∠A=∠DOE,∠C=∠EOF,
∵,
∵∠HOG+∠EOF+∠DOE=,
∴∠1+∠2=﹣=,
∵,
∴.
15./135度
【分析】求,可先求,又知,在中,,,可求得大小,进而可求得大小.
【详解】解:∵直尺的两边平行,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
16.60°
【详解】∠B=180°×.
17.100°/100度
【分析】根据邻补角和为180°,以及∠2,∠3的比例,可求出∠2的度数,根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数,进而可求出∠4的度数.
【详解】解:∵,且,
∴,
∴,
∴
18.
【分析】由三角形的外角性质知:∠A=∠ACD-∠ABC,而
即 同理可得, 依此类推即可.
【详解】△ABC中,∵∠A=∠ACD−∠ABC,A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点,∠A=α,
∴
同理可得,
…
依此类推, 即∠An=
19.75, 60, 45
【分析】根据三角形内角和为180度,从而解方程即可求得.
【详解】∵∠A-∠B=∠B-∠C =15°, ∠A+∠B+∠C =180°,
∴∠C=45,∠B=60,∠A=75.
故答案是:75, 60, 45.
【点睛】考查了三角形内角和定理,能熟记定理的内容是解此题的关键,注意:三角形的内角和等于180°.
20.=
【分析】根据平角的性质得到和,然后利用三角形内角和定理对进行化简计算即可.
【详解】∵,,
∴,故答案为=.
21.(1)∠BED的度数为;(2)EDBC,理由见解析
【分析】(1)首先设∠ABC=2x,则∠A=3x,∠C=7x,然后根据三角形内角和定理得出每一个角的度数,根据△BDC的内角和定理得出∠DBC的度数,从而得出∠EBD和∠EDB的度数,从而求出∠BED的度数;
(2)根据∠ABC和∠BED的度数,结合平行线的判定定理即可得出结论.
【详解】解:设,
由三角形内角和定理得,解得,
,
,
,
,
,
;
(2).
理由如下:
由(1)知,
,
.
22.(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义.
(1)先根据三角形内角和定理求出,根据三等分线求出,根据三角形的内角和定理得出,代入求出即可;
(2)同(1)可得出结论;
(3)先根据三角形内角和定理求出,根据等分线求出,根据三角形的内角和定理得出,代入求出即可.
【详解】(1)解:猜测:;
由示例得,
、分别是、的三等分线,
,
,
即.
故答案为:;
(2)解:由示例得,
、分别是、的四等分线,
,
,
即.
故答案为:;
(3)解:,、分别是、的等分线,
,
.
故答案为:.
23.
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的定义,垂直的定义,由三角形的内角和可得,再由角平分线可求得,从而可得,结合,即可求的度数.
【详解】解:∵,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
24.(1)
(2),,
【分析】(1)根据三角形三边之间的关系,可得a+b>c,,则,,将绝对值符号去掉,再化简即可;
(2)把代入可得,根据三角形个的内角和为,列出方程,即可求解.
【详解】(1)解:∵a、b、c为三角形的三边,
∴a+b>c,,
∴,,
∴
.
故答案为:.
(2)解:∵,,
∴,
∵,
∴,
解得:,
∴,,
综上:,,.
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