人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和综合训练题

这是一份人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和综合训练题，共14页。

一、单选题
1．（2017届广东省南雄市第二中学九年级下学期模拟考试数学试题）一个正多边形的内角是135°，这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．8D．7
2．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（ ）
A．B．C．D．
3．一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1:3，则这个多边形为（ ）
A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形
4．正五边形每个外角的度数是（ ）
A．B．108°C．72°D．
5．七边形的内角和是（ ）
A．720ºB．900ºC．1080ºD．1260º
6．下列语句正确的是：①三角形中至少有两个锐角．②多边形的边数每增加一条则多边形的内角和增大180°．③十边形的外角和比九边形的外角和大180°．④直角三角形两个锐角互为余角．⑤在三角形的所有外角（每个顶点只取一个外角）中，锐角最多有2个．（ ）
A．①②④B．①②⑤C．②④⑤D．①④⑤
7．设A、B、C、D为平面上任意四点，如果其中任意三点不在同一直线上，则△ABC、△ABD、△ACD、△BCD中至少存在一个三角形的某个内角满足（ ）
A．不超过 15°B．不超过 30°C．不超过 45°D．以上都不对
8．若一个正n边形的每个外角为，则这个正n边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．14
9．正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
10．如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
11．如图，李明利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：某人从点A出发，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了48米，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
12．若一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为（ ）
A．三B．四C．五D．不能确定
二、填空题
13．从n边形一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将此n边形分为 个三角形，所以n边形内角和为 ．
14．若正多边形的内角和是外角和的倍，则这个正多边形的每个外角等于 ．
15．一个多边形的每一个内角都是其相邻外角的2倍，则这个多边形的边数是 ．
16．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为 ．
17．一个四边形中，它的最大的内角不能小于 ．
18．如图，在正五边形中，过点C作于点F，那么的度数为 ．
19．如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠AFJ＝20°，则∠CGH＝ °．
20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P= °．
三、解答题
21．某同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现了之后重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度?并求这个多边形是几边形．
22．（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
（2）若a，b，c分别为三角形的三边，化简 ：．
23．探究题
(1)若中，
①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ．
②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ．
(2)若中，
①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ．
②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度．
③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）
(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，

①如图4，若设，，则 ；
②如图5，若设，，请在图中画出，则 ；
③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由．
24．小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？
参考答案：
1．C
【详解】∵内角与外角互为邻补角，
∴正多边形的一个外角是180°-135°=45°，
∵多边形外角和为360°，
∴360°÷45°=8，则这个正多边形是正八边形．
2．D
【分析】本题主要考查了求多边形的内角和．根据多边形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：，
即正九边形内角和为．
3．D
【分析】一个外角与一个内角的比为1 : 3，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：多边形的内角和是：360°×3=1080°．
设多边形的边数是n，
则（n-2）•180=1080，
解得：n=8．
即这个多边形是正八边形．
4．C
【分析】多边形的外角和为，正多边形的每一个外角都相等， 用除以，即可得到正五边形的每个外角的度数．
【详解】多边形的外角和为，正多边形的每一个外角都相等，
所以正五边形的每个外角的度数为．
5．B
【详解】（7-2）×180=900，故选B
6．A
【分析】①根据三角形的内角和定理，可得答案；
②根据多边形的内角和，可得答案；
③根据多边形的外角和，可得答案；
④根据直角三角形的性质，可得答案；
⑤根据三角形的内角与外角的关系，可得答案．
【详解】①三角形中至少有两个锐角，①正确；
②多边形的边数每增加一条则多边形的内角和增大180°，故②正确；
③十边形的外角和与九边形的外角和一样大，故③错误；
④直角三角形两个锐角互为余角，故④正确；
⑤在三角形的所有外角（每个顶点只取一个外角）中，锐角最多有1个，故⑤错误．
7．C
【分析】假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于45°，从假设出发推出矛盾：四边形内角和大于360°矛盾.
【详解】解：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD中至少存在一个三角形的某个内角满足不超过 45°，证明如下：
证明：假设A、B，C、D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都大于45°，
则∠1>45°，∠2>45°，∠3>45°，∠4>45°，∠5>45°，∠6>45°，∠7>45°，∠8>45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6°+∠7+∠8>360°，
即四边形ABCD的内角和大于360°，与四边形内角和等于360°矛盾；
8．A
【分析】由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出n的值，此题得解．
【详解】解：∵一个正n边形的每一个外角都是，
∴，
9．D
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，设它的边数是，根据多边形内角和公式列方程求解即可．
【详解】解：设它的边数是，
由题意得：，
解得：，
10．C
【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：在五边形中，，
∴；
11．D
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用，求得边数，再根据多边形的外角和为，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：，
根据多边形的外角和为，
∴则他每次转动θ的角度为：，
12．D
【分析】任何多边形的外角和都等于360°，根据这一性质分析即可.
【详解】任何多边形的外角和都等于360°，根据这一性质分析即可.所以三角形、四边形、五边形都可能，故答案选D.
13． n−3
【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．根据多边形内角和定理，可得n边形内角和．
【详解】解：从n边形的一个顶点出发可以引（n−3）条对角线，它们将n边形分成（n−2）个三角形，这些三角形的内角和等于多边形内角和即n边形内角和为．
故答案为：①n−3，②，③．
14．
【分析】设多边形的边数为n，先由多边形的内角和和外角和的关系列出方程，求出多边形的边数，即可得到结论．
【详解】解：设多边形的边数为n．
根据题意得：
解得：n=8．
∴这个正多边形的每个外角
15．
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，假设多边形的边数是n，则每一个内角是，内角所对的外角为，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：假设多边形边数为n，则多边形的每一个内角是，
∴内角所对的外角为，
∵
解得：，
16．9
【分析】设正多边形的外角为x度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．
【详解】设正多边形的外角为x度，则内角为(5x−60)度
由题意得：
解得：
则正多边形的边数为：360÷40=9
即这个正多边形的边数为9
17．90°
【详解】试题分析：一个四边形的内角和360°，如果它的最大的内角小于90°，那么四个角的和就小于360°，所以不能小于90°
18．/18度
【分析】根据多边形的外角和及正多边形的性质求得的度数，再利用三角形的内角和即可求得答案．本题考查多边形的外角和，正多边形的性质及三角形的内角和，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
，
，
19．52
【分析】先计算出正五边形的各个内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．
【详解】解：正五边形的内角均为：540°÷5＝108°，
∴∠BFG＝180°﹣∠AFJ﹣∠GFJ＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
∴∠BGF＝180°﹣∠B﹣∠BFG＝180°﹣108°﹣52°＝20°，
∴∠CGH＝180°﹣∠BGF﹣∠FGH＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
20．20
【详解】解：依题意知，四边形ABCD内角和==360°
已知∠D+∠C=220°，
∴∠1+∠2+∠3=360°-220°=140°．
因为AP为∠DAB角平分线，
PB为∠ABC的外角平分线．所以∠1=∠2，∠4=∠5，
∴∠2==
易知△APB中，∠P=∠5-∠2=∠5-=20°，
21．这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18．
【分析】n边形的内角和是（n−2）•180°，多边形的内角一定大于0度，小于180度，比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数．
【详解】解：设少加的内角为x度，边数为n．
则（n−2）×180＝2750＋x，
即（n−2）×180＝15×180＋50＋x，
因此x＝130，n＝18．
答：这个内角的度数是130°，这个多边形的边数为18．
22．（1）它是八边形；（2）-a+b+3c
【分析】（1）根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可；
（2）根据三角形的三边关系可得a-ba，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】解：（1）设它是n边形，由题意得(n-2)×180°=3×360°，
解得n=8，
答：它是八边形；
（2）∵a，b，c分别为三角形的三边，
∴a-ba，即a-b-c<0，b-c-a<0，c-a+b>0，
∴原式=-a+b+c-b+c+a+c-a+b
=-a+b+3c．
23．(1)；
(2)
(3)；；当且仅当满足时不存在
【分析】（1）①由和的角平分线相交于点O得，，由三角形内角和定理得，，即可求得的值；
②由和的三等分线相交于点、得，，由三角形内角和定理得，，即可求得的值；
（2）①由（1）①求解步骤可得结论；
②由（1）②求解步骤可得结论；
③观察①②，即可得规律：若和的n等分线相交于点、、…、，则
（3）①先根据四边形内角和等于，得出，根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出，从而得出结论；
②仿照①的步骤求解即可；
③x，y满足时，的角平分线及外角的平分线平行，可知不存在．
【详解】（1）解：①∵和的角平分线相交于点O，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴；
②∵和的三等分线相交于点、，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
．
故答案为：；；
（2）①由（1）①得，
∵，
∴
②由（1）②得，
∵，
∴
③由①②可得，
∴若和的n等分线相交于点、、……、，
则用x表示
故答案为：，；
（3）①∵，
∴
，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴
故答案为：；
②如图，
∵，
∴
，
∴，
∴；
∵，，
∴．
故答案为：；
③当时，不存在，
如图，的角平分线及外角的平分线分别是和．
∵，
∴，
∴．
∵的角平分线及外角的平分线分别是和，
∴，
∴的角平分线及外角的平分线平行，
∴不存在，
∴当时，不存在．
24．这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．
【详解】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n﹣2）•180°＝1380°﹣α，
∵1380°＝7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，
∴同学多加的一个外角为120°，
∴这是7+2＝9边形的内角和，
答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°．