2024宣城高二下学期期末考试数学含解析

这是一份2024宣城高二下学期期末考试数学含解析，共22页。试卷主要包含了 已知角的终边过点，则， 在中，内角的对边分别为， 下列叙述错误的是， 中，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 设，向量，则是（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也必要条件
4. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
6. 已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述错误的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 在空间中，已知直线，满足，则
C. 直线与圆相交
D. 抛物线的焦点坐标为
10. 中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若为重心，则
C. 若点满足，则
D. 若，则点的轨迹一定通过的内心
11. 已知函数，若，则（ ）
A. 上单调递减B. 在上单调递增
C. 中最大是D. 中最小的是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若二项式展开式的常数项为160，则实数__________.
13. 如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______．
14. 已知偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有四个零点，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，设，求前项和.
16. 如图，在四棱锥中，平面，且，分别为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取50份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于30分的整数）分成七段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求出频率分布直方分图中的值，并估计这50份样本成绩的中位数；
（2）在这50份样本答卷中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取11份，再从这11份中随机抽取3份，记为3份中成绩在的份数，求的分布列和数学期望.
18. 已知椭圆的离心率，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
19. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.
（1）判断点分别是函数的“几度点”，不需要说明理由；
（2）证明：点是的“0度点”；
（3）当实数满足什么条件时，点是函数的“3度点”.
宣城市2023—2024学年度第二学期期末调研测试
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元二次不等式求出集合A,再求交集即可.
【详解】因为，所以,
所以,
所以.
故选：D.
2. 已知复数，则（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出，故.
【详解】，
故.
故选：C
3. 设，向量，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】和分布求出m范围，再用充分必要条件章节知识判断即可.
【详解】，则；，则.
则推不出，但是可以推出.
故是的必要必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，对已知进行弦化切，即可求出答案.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以.
故选：D
5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.
【详解】
如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
6. 已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.
【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且，
运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道，
即，解得，故离心率为：.
故选：C.
7. 在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，利用面积公式和余弦定理可得，再利用正弦定理求外接圆的半径和面积.
【详解】因为，且，即，
则，整理可得，
且，可得，
所以外接圆的半径，面积为.
故选：A.
8. 已知均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】设切点为，根据导数的几何意义可求出，即得，继而根据“1”的巧用，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，
而，故，解得，
故，均为正实数，
故，
当且仅当，结合，即得时等号成立，
故的最小值是10，
故选：C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述错误的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 空间中，已知直线，满足，则
C. 直线与圆相交
D. 抛物线焦点坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，举出反例；C选项，求出圆心到直线的距离，与半径比较后得到C正确；D选项，焦点坐标在轴上.
【详解】A选项，命题“”的否定是“”，A错误；
B选项，在空间中，已知直线，满足，则，或异面，相交，B错误；
C选项，圆的圆心为，半径为，
圆心到平面的距离，
故与圆相交，C正确；
D选项，抛物线的焦点坐标为，D错误.
故选：ABD
10. 中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若为重心，则
C. 若点满足，则
D. 若，则点的轨迹一定通过的内心
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据可确定角为钝角，则一定为钝角三角形，可判定A；
根据向量的加法运算可确定B；根据向量的数量积以及向量模的运算可判断C;
根据单位向量、共线向量的概念可判断D．
【详解】选项A：若，则，因此角为钝角，但一定为钝角三角形，故A正确；
选项B：若为的重心，设边的中点为，
则，故B正确；

选项C：如图所示，设的中点为，若点满足，则点为外心，
于是有．又，
则
，故C错误；
选项D：因为分别表示方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线一致．
若，则的方向与的角平分线一致，
所以点的轨迹一定通过的内心，故D正确；
故选：ABD．
11. 已知函数，若，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递增
C. 中最大的是D. 中最小的是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AB，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间进行判断，对于CD，利用函数的单调性比较大小即可.
【详解】对于AB，的定义域为，
由，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以当或时，，
所以在和上递减，
所以A正确，B错误，
对于CD，因为在上递增，且，
所以，所以
因为，所以，
因为在上递减，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以中最大的是，最小的是，所以CD正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是对函数正确求导，由导数的正负求出函数的单调区间，考查计算能力，属于较难题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若二项式的展开式的常数项为160，则实数__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入已知求参即可.
【详解】二项式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中常数项为，.
故答案为：1.
13. 如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分类计数原理以及排列数进行计算求解.
【详解】解：由题意得：
若只有2，4区域种的花相同，则有种种法；
若只有3，5区域种的花相同，则有种种法；
若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，由分类加法计数原理知共有种不同的种法.
故答案为：
14. 已知偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有四个零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】判断函数周期，作出其图象，继而将原问题转化为函数，在内的图象有四个交点问题，列出需满足的不等式，求得答案.
【详解】由题意知偶函数满足，即，
故2为函数的周期；
结合当时，，
可作出时的的图象如图：
在区间内，函数有四个零点，
可转化为函数，在内的图象有四个交点问题，
结合图象可知需满足，
即实数的取值范围是，
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，设，求的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式求，可得解；
（2）错位相减法求和.
【小问1详解】
设数列公差为，
则，解得：，
所以，；
【小问2详解】
由（1）知，
①，
②，
①—②
，
16. 如图，在四棱锥中，平面，且，分别为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）方法一：结合（1）可知平面，即可说明即为直线与平面所成的角，解三角形，即可求得答案；方法二，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
平面平面，则，
由，则；
又平面，
平面平面，
，
，且为的中点，
，
平面，
平面，又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
解法一：如图，连结，由（1）知平面，
所以，为直线在平面内的射影，且，
所以，即为直线与平面所成的角.
在直角梯形内，过作于，则四边形为矩形，
，在中，，
所以，，
而，在中，，
所以，
综上，直线与平面所成角的正弦值为.
解法二：在直角梯形内，过作于，则四边形为矩形，
，在中，，
所以，，
以点为原点，分别为轴，建系如图，
则.
由（1）知，平面，平面法向量可取为，
设直线与平面所成角为，则，
综上，直线与平面所成角的正弦值为.
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取50份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于30分的整数）分成七段：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求出频率分布直方分图中的值，并估计这50份样本成绩的中位数；
（2）在这50份样本答卷中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取11份，再从这11份中随机抽取3份，记为3份中成绩在的份数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1），
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1可得，即可利用中位数的计算公式求解，
（2）利用超几何概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解.
【小问1详解】
由.
又.
所以，估计这50份样本成绩的中位数为：.
【小问2详解】
因为三组的频率之比为，所以从三组中抽取的份数分别为.
由题意可取，
且，
所以的分布列为：
所以.
18. 已知椭圆的离心率，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入方程得，结合离心率公式可得，可得椭圆方程.
（2）应用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离，基本不等式即可求解.
【小问1详解】
椭圆过点，得①，
，，即②，
由①②联立解得，则椭圆方程为
【小问2详解】
当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，
故直线的斜率存在，则设直线为：，
设，
联立，得，
则，即或，
，
则，
点到直线的距离为，
则，
令，则，
则，
当且仅当，即，即时等号成立，
故面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.
（1）判断点分别是函数的“几度点”，不需要说明理由；
（2）证明：点是的“0度点”；
（3）当实数满足什么条件时，点是函数的“3度点”.
【答案】（1）分别是函数的1度点，2度点，0度点
（2）证明见解析 （3）满足或时，点是函数的3度点
【解析】
【分析】（1）根据函数的新定义分别判断即可；
（2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；
（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解.
【小问1详解】
分别是函数的1度点，2度点，0度点.
【小问2详解】
，则曲线在点处的切线方程为.
要证点是的“0度点”，即证过恰能作的0条切线，即证关于的方程在无解.
设，则当时，在区间上单调递增.
当时，关于的方程在无解，即点是函数的一个0度点
【小问3详解】
，
对任意，曲线在点处的切线方程为
点为函数的一个3度点当且仅当关于的方程
恰有三个不同的实数解，即恰有三个不同的实数解
设，则点为函数的一个3度点当且仅当恰有三个不同的零点.
①当时，在上单调递增，只有一个零点，不合要求；
②当时，，
令得或，令得在和单调递增，单调递减.在时取得极大值，在时取得极小值，由函数图像可知，要使有三个不同零点，则
，即；
③当时，同理可得在和单调递增，在单调递减.在时取得极大值，在时取得极小值.由函数图像可知，要使有三个不同零点，则
，即.
综上，实数满足或时，点是函数的3度点.
【点睛】方法点睛：可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
0
1
2
3