新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题09立体几何学生版

这是一份新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题09立体几何学生版，共24页。
易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）
水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.
例．如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，
(1)判断平面四边形OABC的形状并求周长；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.
变形1．如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，求梯形的面积.
变形2．如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中．
(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形的各点分别一对应，如OB对应直观图中的）
变形3．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；
（2）在(1)中若，轴且，求原平面图形△ABC的面积．
1．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，

(1)画出它的原图形，
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
2．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.

3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．

(1)求原平面图形ABCD的面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
4．如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中.

(1)求原图形的面积；
(2)将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形与正方形的各点分别对应，如对应直观图中的）
5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知，且.

(1)求原平面图形的面积；
(2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的体积.
6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知，且∥．

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD并求面积；
(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
7．如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，．

(1)在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）；

(2)若四边形以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．
8．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．

9．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．

(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
10．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.
(1)画出平面四边形的平面图，并计算其面积；
(2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
11．在中，角所对边分别为，若.
(1)证明：为等边三角形；
(2)若（1）中的等边边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.
注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.
易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）
结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》
②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》
③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》
④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》
⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》
易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。
例 ．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是
A．若，则B．若，则
C．若相交，则相交D．若相交，则相交
变式1．在空间中，已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则B．若且，则
C．若，，，，则D．若，，则
变式2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ）
①若，，且∥，则∥；
②若，∥，且∥，则；
③若∥，，且，则∥；
④若，，且，则.
其中真命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
变式3．若，为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“” （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．已知不同直线a，b，不同平面α，β，γ，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题正确的为（ ）
A．若，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，则.
4．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，分别与，所成的角相等，则
D．若，，，且，则，，交于点
5．设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
7．已知平面平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A．存在直线平面，使得直线平面
B．存在直线平面，使得直线平面
C．存在直线平面，直线平面，使得直线直线
D．存在直线平面，直线平面，使得直线直线
8．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
9．若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
10．、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．、是异面直线，若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
易错点三： 忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同（异面直线成角问题）
常规方法：
第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条直线衔接出现三角形
第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长
第三步：利用余弦定理求出待求角
第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求
秒杀：
四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置，利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题
结论：在四面体中，若与所成的角为
四面体对棱夹角公式：
证明如下：
因为
所以
易错提醒：两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系.
例 ．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
变式1．如图，正方形的边长均为2，动点在线段上移动，分别为线段中点，且平面，则当取最大值时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
变式2．已知三棱锥中，平面，，，，，D为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
变式3．在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
1．在正方体中，若点是棱上的动点，点是线段（不含线段的端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在直线，使B．异面直线与所成的角可能为
C．直线与平面所成的角为D．平面平面
2．棱长为1的正方体 中，若点P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是（ ）

A．平面平面B．四面体的体积是定值
C．可能是钝角三角形D．直线与所成的角可能为
3．如图在长方体中，，， H是下底面矩形的中心，设异面直线与所成的角为，则=（ ）

A．B．C．D．
4．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该正方体外接球的体积为
B．若是棱中点，则异面直线AM与夹角的余弦值为
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
6．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（ ）

A．异面直线AC与所成的角为60°
B．直线与平面所成角为45°
C．二面角的正切值为
D．四面体的外接球的体积为
9．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，E为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正三棱柱中，若,则与所成角的大小为 （ ）
A．B．C．D．
11．棱长为2的正方体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
易错点四： 线面角与向量夹角转化不清等问题（求线面角）
线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
向量法：线面角
提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角
易错提醒：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cs|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.
例 ．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，分别是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若与平面所成角为，，求二面角的正弦值.
变式1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．

(1)若点是中点，证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
变式2．如图，三棱柱中，，底面，，．

(1)求点到平面的距离；
(2)若直线与距离为4，求与平面所成角的正弦值．
变式3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.

(1)证明：平面平面PAD.
(2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.
1．已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.

(1)求直线与平面所成的角的正切值；
(2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离.
2．如图，在体积为的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是边长为2的正三角形．
(1)求证：平面平面．
(2)求与平面所成角的正弦值．
3．如图，已知四棱锥中，平面，，，，为中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
4．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
5．如图，在四棱柱中，，，平面平面，.
(1)求证：平面；
(2)若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值.
6．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
7．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．

(1)求二面角的大小；
(2)求直线与平面所成角的大小．
8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线与平面所成角的余弦值.
9．如图，在四棱锥中，平面，，点是的中点．

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
10．如图，在正三棱柱中，，此三棱柱的体积为，P为侧棱上点，且，H、G分别为AB、的中点.
(1)求此三棱柱的表面积；
(2)求异面直线与所成角的大小；
(3)求与平面所成角的大小.
（了解一下）11．如图，在长方体中，已知，.
(1)若点是棱上的中点，求证：与垂直；
(2)求直线与平面的夹角大小.
易错点五：忽略二面角范围有重新的规定（求二面角）
二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1 图2 图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：向量法 二面角的平面角
提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，二面角不存在钝角之说.
易错提醒：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；规定两个平面所成二面角范围，则。
例 ．如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.

(1)求证：平面.
(2)求二面角的余弦值；
变式1．如图，在三棱锥中，平面，，.

(1)求点到平面的距离；
(2)设点为线段的中点，求二面角的正弦值.
变式2．在正方体中，设，分别为棱，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
变式3．如图1，为等边三角形，边长为4，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到的位置，且，如图2.

(1)设平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
1．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面为的中点..
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.

(1)证明平面；
(2)求异面直线与所成的角的正切值；
(3)求二面角的正切值.
3．如图，三棱柱的底面是等边三角形，，，D，E，F分别为，，的中点.
(1)在线段上找一点，使平面，并说明理由；
(2)若平面平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.
4．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
5．如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
6．如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．
(1)若的中点为，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．
7．如图，在梯形中，，，，，平面且.

(1)求直线到平面的距离；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为?
8．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面；
(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
9．如图，正方体中.
(1)求证：和为异面直线；
(2)求二面角的大小.
10．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，．

(1)求证：平面BCE；
(2)求二面角的正切值．
11．如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)取的中点，连接，求二面角的余弦值.