新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题15排列组合教师版

这是一份新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题15排列组合教师版，共58页。试卷主要包含了思路，解题步骤等内容，欢迎下载使用。
易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）
相邻问题
技巧总结
相邻问题
1、思路：对于相邻问题，一般采用“捆绑法”解决，即将相邻的元素看做是一个整体，在于其他元素放在一起考虑.如果设计到顺序，则还应考虑相邻元素的顺序问题，再与其他元素放在一起进行计算.
2、解题步骤：
第一步：把相邻元素看作一个整体（捆绑法），求出排列种数
第二步：求出其余元素的排列种数
第三步：求出总的排列种数
易错提醒：排列组合实际问题主要有相邻问题和不相邻问题。（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）；
（2）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；
例、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
易错分析：本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相邻”理解为“甲、乙、丙3人互不相邻”的情况，使结果中遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况．
正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即，故选B．
易错警示：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素
变式1：加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（ ）种加工方法．
A．24B．32C．48D．64
解：工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性故选：A
变式2：中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种B． 种C． 种D． 种
解：首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.故选：C
变式3：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．10种B．12种C．16种D．24种
解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；
如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A
1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
【答案】B
【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.
【详解】甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，
所以共有种不同的排法．
故选：B.
2．六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种B．72种C．120种D．144种
【答案】D
【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.
【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的两人排列有种，
再排丙和丁有种，故共有种排法.
故选：D.
3．把二项式的所有展开项重新排列，记有理项都相邻的概率为，有理项两两不相邻的概率为，则（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据二项式的展开公式可得有5项有理项，4项无理项，从而可得、的值，再代入求解即可得答案.
【详解】解：，其中，，
当时为有理项，故有5项有理项，4项无理项，
故，，故.
故选:A．
4．A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（ ）
A．48B．96C．144D．288
【答案】C
【分析】根据相邻捆绑法和不相邻问题插空法即可由排列数计算求解.
【详解】由于A，B相邻，所以先将A,B看作一个整体捆绑起来与E,F进行全排列，
然后将C，D插入到已排好队的两两之间以及首尾的空隙中即可，
故共有,
故选：C
5．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．36种
【答案】C
【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.
【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；
当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，
有种站法，
所以一共有种不同的站法．
故选：C
6．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．18种B．36种C．72种D．144种
【答案】C
【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.
【详解】由题意可得，
故选:C
7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ）
A．144B．864C．1728D．2880
【答案】C
【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.
【详解】甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，
最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，
则所有不同站法的种数为．
故选：C
8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A和B不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120种B．240种C．360种D．480种
【答案】D
【分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即，然后求学员A和B相邻的排列数，两数相减即可.
【详解】一方面：若要求学员A和B相邻，则可以将学员A和B捆绑作为一个“元素”，此时一共有个元素，
但注意到学员A和B可以互换位置，所以学员A和B相邻一共有种排法.
另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为种排法.
结合以上两方面：学员A和B不相邻的不同的排法共有种排法.
故选：D.
9．某高铁动车检修基地库房内有共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车、高铁共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车停放在道的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件概型以及排列数的计算求得正确答案.
【详解】记“两动车相邻”，“动车停在道”，
则.
故选：C
10．班长邀请四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则两位同学座位相邻的概率是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先计算出四位同学参加圆桌会议的情况数，再计算出两位同学座位相邻的情况，从而计算出概率.
【详解】四位同学参加圆桌会议，共有种情况，
其中两位同学可坐在①②，②③，③④三个位置，并可进行互换位置，有种情况，
两位同学坐在其余两个位置，且可互换，有种情况，
故两位同学座位相邻的情况有种情况，
所以两位同学座位相邻的概率为.
故选：A
11．将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（ ）
A．4种B．8种C．12种D．48种
【答案】B
【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.
【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，
根据分步乘法原理得，有种不同的排法.
故选：B
12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（ ）
A．70种B．72种C．36种D．12种
【答案】C
【分析】相邻问题用捆绑法即可得解.
【详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，
则共有种排法.
故选：C
13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种
B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种
C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种
D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，
对于A中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有种排法，所以A正确；
对于B中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有种排法，所以B正确；
对于C中，全体排成一排，男生互不相邻，则有种排法，所以C正确；
对于D中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾
可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有种排法，
此时乙有种排法，共有种排法；
（2）当甲站在排尾时，甲只有一种排法，此时乙有种排法，
共有种排法，综上可得，共有种不同的排法，所以D错误.
故选：ABC.
14．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
【答案】BD
【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解；
【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误；
对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确；
对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误；
对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确；
故选：BD
15．甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有48种
B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种
C．甲乙不排在两端的不同排法有36种
D．甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种
【答案】BCD
【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.
【详解】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；
B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；
C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确；
D：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有种，所以本选项正确.
故选：BCD
16．某学校举行校园歌手大赛，共有4名男生，3名女生参加，组委会对他们的出场顺序进行安排，则下列说法正确的是（ ）
A．若3个女生不相邻，则有144种不同的出场顺序
B．若女生甲在女生乙的前面，则有2520种不同的出场顺序
C．若4位男生相邻，则有576种不同的出场顺序
D．若学生的节目顺序已确定，再增加两个教师节目，共有72种不同的出场顺序
【答案】BCD
【分析】选项A采用 “插空法”， 先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得；选项B由女生甲在女生乙的前面与女生甲在女生乙的后面各占一半，结合4男3女的全排列求解即可；选项C先将4位男生捆绑作为一个整体进行全排列，然后3位女生和这个整体全排列可得；选项D采用“插空法”，分两次插入老师节目即可.
【详解】若3个女生不相邻，则有种不同的出场顺序，A错误；
若女生甲在女生乙的前面，则有种不同的出场顺序，B正确；
若4位男生相邻，则有种不同的出场顺序，C正确；
若学生的节目顺序确定，再增加两个教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形成8个空，插入1个教师节目，有8种情况；
第二步，原7个学生节目和刚插入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教师节目，有9种情况，
所以这两位教师共有种不同的出场顺序，D正确.
故选：BCD.
17．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】AC
【分析】对于A，根据社区A必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B，根据同学甲必须选择社区A，有乙丙都有5种选择求解；对于C，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；
【详解】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故A正确；
对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故B错误；
对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），故C正确；
对于D，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有（种），故D错误.
故选：AC.
18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）
A．3名男生排在一起，有6种不同排法B．2名女生排在一起，有48种不同排法
C．3名男生均不相邻，有12种不同排法D．女生不站在两端，有108种不同排法
【答案】BC
【分析】利用捆绑法可判断A、B；利用插空法可判断C；利用分步计数法可判断D.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误；
对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有种，B正确；
对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有种，C正确；
对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误.
故选：BC
19．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种
【答案】ABC
【分析】A选项，使用捆绑法进行求解；B选项，分两种情况，最左端排甲和最左端排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；C选项，采用插空法进行求解；D选项，定序问题采用倍缩法进行求解.
【详解】A选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有种，A正确；
B选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有种，
若最左端排乙，则最右端只能从丙，丁，戊选出1人，其余三人与三个位置进行全排列，故有种选择，
综上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，B正确；
C选项，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，C正确；
D选项，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，D错误.
故选：ABC
20．(多选)把5件不同产品A，B，C，D，E摆成一排，则（ ）
A．A与B相邻有48种摆法
B．A与C相邻有48种摆法
C．A，B相邻又A，C相邻，有12种摆法
D．A与B相邻，且A与C不相邻有24种摆法
【答案】ABC
【分析】逐个分析每个选项正确与否即可
【详解】对于A选项：产品A与B相邻，把作为一个元素有种方法，
而A，B可交换位置，所以有种摆法.故A选项符合题意.
对于B选项：同A选项一样分析可知产品A与C相邻也有48种摆法. 故B选项符合题意.
对于C选项:当相邻又满足相邻，
首先将产品捆绑起来作为一个元素并把产品放在产品与之间，
注意到产品与可互换位置，所以首先排列有种摆法，
把组成的整体作为一个元素和剩下的两个元素进行排列，又有种摆法，
所以A，B相邻又A，C相邻，有种摆法.故C选项符合题意.
对于D选项：由A选项可知A与B相邻有48种摆法，
由C选项可知A，B相邻又A，C相邻有12种摆法，
因此A与B相邻，且A与C不相邻有种摆法.故D选项不符合题意.
故选：ABC.
21．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据排列组合，结合相邻问题，即可求解.
【详解】（方法1：间接法）：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为．
（方法2：直接法）：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有种站法，其余三名学生任意排列有种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12（种）．
或者，四名同学全排时，甲同学与老师相邻与甲同学与老师不相邻各占，故有．
故选:BCD．
易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”
（不相邻问题）
不相邻问题
技巧总结
1.思路：对于不相邻问题一般采用“插空法”解决，即先将无要求的元素进行全排列，然后将要求不相邻的元素插入到已排列的元素之间，最后进行计算即可
2.解题步骤：
①先考虑不受限制的元素的排列种数
②再将不相邻的元素插入到已排列元素的空当种（插空法），求出排列种数
③求出总的排列种数
易错提醒：处理相邻问题的基本方法是“捆绑法”，即把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个元素，然后与其余元素全排列，最后“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．处理不相邻问题的基本方法是“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后把有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．但应该注意插入的元素之间如果也有顺序，应先进行排列．
例、有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的总数．
（1）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；
（2）全体排成一行，其中男生必须排在一起．
错解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，所以共有种排法；
（2）将男生看成一个整体，与女生进行全排列即可，所以共有种排法．
错因分析：解决此类问题时将“在一起”的进行“捆绑”，与其他元素进行排列即可．错解中（1）忽略了将男女生所看成的两个整体进行排列，即忽略了“整体排列”；（2）忽略了将男生进行排列，即忽略了“内部排列”．
正解：（1）男、女生各站在一起，先把男女生各看成一个整体，分别全排列，最后两个整体全排列①，所以共有种排法；
（2）将男生看成一个整体，先进行内部排列，再与女生进行全排列即可②，所以共有种排法．
变式1：为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行，若主题班会、主题团日这两个阶段相邻，且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．10种B．12种C．16种D．24种
解：如果中心组学习在第一阶段，主题班会、主题团日在第二、三阶段，则其它活动有2种方法；主题班会、主题团日在第三、四阶段，则其它活动有1种方法；主题班会、主题团日在第四、五阶段，则其它活动有1种方法，则此时共有种方法；
如果中心组学习在第二阶段，则第一阶段只有1种方法，后面的三个阶段有种方法.
综合得不同的安排方案共有10种.故选:A
变式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
解：甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有种方法，
甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有种方法，
所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为，故选：A
变式3：某地元旦汇演有2男3女共5名主持人站成一排，则舞台站位时男女间隔的不同排法共有（ ）
A．12种B．24种C．72种D．120种
解：先排列2名男生共有种排法，再将3名女生插入到3名男生所形成的空隙中，共有种排法，
所以舞台站位时男女间隔的不同排法共有种排法，故选：A.
1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）
A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法
B．若女生互不相邻，那么一共有种排法
C．若甲不站最中间，那么一共有种排法
D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法
【答案】AC
【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.
【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；
选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；
选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；
选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确；
故选：AC.
2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）
A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序
B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序
C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序
D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法
【答案】AD
【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断.
【详解】A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，
所以符合题意的方法共有种，故A正确；
B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有种方法，再与其余4个节目全排列，
所以符合题意的方法共有，故B错误；
C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，
所以符合题意的方法有种，故C错误；
D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，
所以不同的选法共种，故D正确.
故选：AD.
3．现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A．个空位全都相邻的坐法有种
B．个空位中只有个相邻的坐法有种
C．个空位均不相邻的坐法有种
D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种
【答案】AC
【分析】对于A，用捆绑法即可；对于B，先用捆绑法再用插空法即可；对于C，用插空法即可；对于D，用插空法的同时注意分类即可.
【详解】对于A，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：种，故A对；
对于B，先排4个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，
和另一个空位插入5个学生中有种方法，
所以一共有种，故B错；
对于C，先排4个学生，4个空位是一样的，
然后将4个空位插入4个学生形成的个空位中有种，
所以一共有，故C对；
对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种，
空位两个两个相邻的有：，
空位只有两个相邻的有，
所以一共有种，故D错；
故选：AC.
4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．
A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种
【答案】BCD
【分析】根据相关的计数原理逐项分析.
【详解】对于A，将甲乙捆绑有 种方法，若戊在丙丁之间有 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有 种方法；
若丙丁相邻，戊在左右两边有 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有 种排法，
所以总的排法有 ，故A错误；
对于B，若甲在最左端，有 种排法，若乙在最左端，先排甲有 种排法，
再排剩下的3人有 ，所以总共有 种排法，正确；
对于C，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有 种，再插戊有 种，总共有 种，正确；
对于D，先分组，将甲乙丙丁分成3组有 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有 种方法，共有 种方法，正确；
故选：BCD.
5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A．4个空位全都相邻的坐法有720种
B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种
C．4个空位均不相邻的坐法有1800种
D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种
【答案】AC
【分析】对于A，用捆绑法即可;对于B，先用捆绑法再用插空法即可；对于C，用插空法即可；对于D，用插空法的同时注意分类即可.
【详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：，故A对；
对于B，先排5个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有中方法，所以一共有种，故B错；
对于C，先排5个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有种，
所以一共有，故C对；
对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有1800种，
空位两个两个相邻的有： ，空位只有两个相邻的有，所以一共有种，故D错；
故选：AC
6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可
【详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有种排法；
②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有种情况．
则有种排法，
第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有种排法，
再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有种排法，
则歌手不相邻有种排法．
故选：CD
7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ACD
【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；
对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.
故选：ACD.
8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法
D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
【答案】ACD
【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分组，再进行全排列，得到答案.
【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，
再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；
B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；
C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确；
D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，
若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，
先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；
共有种分组方法，D正确.
故选：ACD
9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）
A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种
【答案】BC
【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优限法、定序法、分组分配法逐项判断即可.
【详解】对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种，然后与戊全排列的安排种，丙、丁不能相邻的安排有种，共有种，故A不正确；
对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则当甲在左端时，则有种安排方法；当乙在左端时，甲有种安排方法，其他人有种安排方法，故符合的总的安排方法种数为种，故B正确；
对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有种，故C正确；
对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则4人分三组的分组方法数为，再把三个组分配到三个社区的种方法数为，则总的安排方法数为种，故D不正确.
故选：BC.
10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）
A．36B．72C．81D．144
【答案】D
【分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，
将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，
故共有种不同的排法，
故选：D
11．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种B．360种C．480种D．504种
【答案】C
【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.
【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有种.
故选：C
12．，，，，五名学生按任意次序站成一排，其中和不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．72B．36C．18D．64
【答案】A
【分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解.
【详解】解：先将其余三人全排列，共有种情况，
再将和插空，共有种情况，
所以共有种情况，
故选：A.
13．某选拔性考试需要考查4个学科（语文、数学、物理、政治），则这4个学科不同的考试顺序中物理考试与数学考试不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用全排列与插空法分别求得所需要考试顺序种类，再利用古典概型即可得解.
【详解】这4个学科不同的考试顺序有种，
先安排语文、政治形成3个空隙，再将数学、物理插入到其中2个空隙中，
则物理考试与数学考试不相邻的考试顺序共有种，
所以所求概率为.
故选：B.
14．现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用排除法，即7人的全排列减去3个女生都不相邻的情形（用插空法求三女生全不相邻的排法）.
【详解】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即，
故选：B.
15．黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ）
A．180B．210C．240D．360
【答案】C
【分析】用插入法求解.
【详解】先把排列，然后选两个空档插入3，总方法为．
故选：C．
易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合）
1．两个重要公式
(1)排列数公式
．
(2)组合数公式
2、要点：一般用于计算，而和一般用于证明、解方程（不等式）.
重点：三个重要性质和定理
组合数性质
（1）对称性：；
组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.
从个不同的元素中任取个元素后只剩下个元素了，则从个不同的元素中任取个元素与从个不同的元素中任取个元素是等效的.则，故.
等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.
应用：①简化计算，当时，通常将计算转化为计算，如
②列等式：由，可得或，如，则或故或.
；
组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.
对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有种，如果不取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有，根据分类加法原理：.
等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.
应用：恒等变形
常见的组合恒等式：，，
，.
（3）.
重点：三个重要性质和定理
组合数性质
（1）对称性：；
组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.
从个不同的元素中任取个元素后只剩下个元素了，则从个不同的元素中任取个元素与从个不同的元素中任取个元素是等效的.则，故.
等式特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标.
应用：①简化计算，当时，通常将计算转化为计算，如
②列等式：由，可得或，如，则或故或.
；
组合意义：从个不同的元素中任取个元素，则.
对于某一元素，只存在着取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有种，如果不取这一元素，则需从剩下的个元素中任取个元素，所以共有，根据分类加法原理：.
等式特点：下标相同而上标相差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数.
应用：恒等变形
常见的组合恒等式：，，
，.
（3）.
易错提醒：解排列、组合的综合问题要注意以下几点
（1）元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
（2）对于有限多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
例、解不等式.
【错解】由排列数公式得，化简得x2－19x＋84