新高中数学压轴题二轮专题专题5导数与不等式恒成立问题试题含解析答案

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一、解答题
1．已知函数.
（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围.
2．已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
3．已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线为，求的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
4．已知函数.
（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
5．若对任意，恒有，求实数的最小值.
6．设，若对任意的，恒成立，求a的范围．
7．已知函数．
（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当，时，对任意，有成立，求实数b的取值范围．
8．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围.
9．已知在区间上是增函数.
（1）求实数的值组成的集合；
（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及 恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
10．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率小于1，求的取值范围．
(2)若整数k使得对恒成立，求整数k的最大值．
11．已知函数.
（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求的单调区间；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
12．已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求a，b的值；
（2）求函数的极值点；
（3）设，若当时，不等式恒成立，求a的最小值.
13．已知函数，时，，则实数的范围是?
14．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设，且有两个极值点，，其中，若成立，求的取值范围.
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设，且、是曲线上的任意两点，若对任意的，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围．
16．已知a∈R，f '(x)是函数f(x)的导函数，f '(x)＝x2＋（a－2）x，g(x)＝2alnx．
（1）若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直，求f(x)的解析式；
（2）设F(x)＝f '(x)－g(x)，若对任意的x1，x2∈（0，＋∞），且x1>x2，都有F（x1）－F（x2）>a（x1－x2），求a的取值范围．
17．现定义：为函数在区间上的立方变化率.已知函数，
(1)若存在区间，使得的值域为，且函数在区间上的立方变化率为大于0，求实数的取值范围；
(2)若对任意区间的立方变化率均大于的立方变化率，求实数的取值范围.
18．已知函数.
（1）若在处的切线方程为，求，的值；
（2）若为区间上的任意实数，且对任意，总有成立，求实数的最小值.
19．已知函数，
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若，求的取值范围.
20．已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数
（1）当，讨论函数的单调性；
（2）若不等式（），对恒成立，求实数a的取值范围．
23．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
24．已知函数.
(1)求证：函数有唯一零点；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
25．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若，，求实数的取值范围.
26．已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)时；
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
27．已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
28．已知函数．
(1)若有3个极值点，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
29．已知函数．
(1)若对恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若曲线与x轴交于A，B两点，且线段AB的中点为，求证：．
30．已知函数，.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，，.
31．已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
32．已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
33．已知实数，设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
34．已知函数.
(1)若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
35．已知函数，．
(1)若函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求k的值；
(2)若，且时，恒有，求k的最大值．
（参考数据：）
36．已知函数．
(1)求证：至多只有一个零点；
(2)当时，分别为的极大值点和极小值点，若成立，求实数k的取值范围．
37．已知函数.
(1)若的极大值为，求的值；
(2)当时，若使得，求的取值范围.
38．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设，若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
39．已知函数.
(1)若是上的单调递增函数，求的取值范围；
(2)当满足什么条件时，恒成立.
40．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
41．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
42．已知函数.
(1)当时，求的零点个数；
(2)已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围.
43．已知函数 .
(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值;
(2)设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围;
(3)对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
44．函数．
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求的最大值．
45．已知函数 （），.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：时，.
46．已知（e为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，求函数零点的个数；
(3)，，求实数的取值范围.
47．已知函数.
(1)当时，试求函数图象在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围.
48．若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
49．已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
50．已知函数在处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有两个实数根，
①证明：；
②当时，是否成立？如果成立，请简要说明理由．
参考答案：
1．（Ⅰ）（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）首先根据首先，初步判断，再证明存在唯一根 ，且函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，只需即可，又满足，代入上式即可证明.
试题解析：（Ⅰ）若，则，
当时，，，
当时，，
所以所求切线方程为
（Ⅱ）由条件可得，首先，得，
而，
令其为，恒为正数，所以即单调递增，
而，，所以存在唯一根 ，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，只需即可，
又满足，代入上式可得
,
即：恒成立，所以．
2．（1）增区间为，减区间为；（2）.
【分析】（1）求得的定义域为和，利用导数的符号，即可求解；
（2）把不等式恒成立，转化为对恒成立，令，利用导数求得函数单调性与最小值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
可得的定义域为，且.
由，即，解得，
由，即，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）因为恒成立，即对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故时，取最小值，所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
3．（1）的极大值为，不存在极小值；（2）.
【解析】（1）利用即可求出的值，可得的解析式，再对其求导判断单调性即可求出极值；
（2）等价于，分离可得
构造函数，，只需 利用导数求最小值即可求解.
【详解】（1），
由题意可得：，解得：
此时函数，
函数的图象在处的切线为成立
所以，，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在 上单调递减.
所以的极大值为，不存在极小值.
由可得
分离可得：
令
令
所以在上单调递增
存在唯一的，使得
当时，，即，
当时，，即，
故在上单调递减，在上单调递增.
，
由于，得，
再对两边取对数可得：
所以，
所以
即实数的取值范围
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
4．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【分析】（1）由题设，根据导数的几何意义有，可求，即，进而可求的单调区间；
（2）由题意，函数不等式恒成立可转化为上恒成立，构造函数，应用导数研究其单调性可得在上恒成立，即在上即可求的取值范围.
【详解】（1），则，即.
∴，令，得.
当时，；当时，.
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由，即，有，故仅需即可.
设函数，则等价于.
∵，
∴当时，，则在上单调递增，
∴当时，等价于当时，，，即恒成立.
设函数，，则，即在递增，所以，则即可，
∴的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1）应用导数的几何意义求参数值，进而讨论对应函数的单调性确定单调区间；
（2）构造函数，将不等式恒成立问题转化为利用函数单调性得，应用参变分离判断上，确定参数范围.
5．.
【分析】将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简
不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答.
【详解】，，
令，则，令，有，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，因此，在单调递增，
则，
令，则，当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，，即得，
所以实数的最小值为.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
6．
【分析】先证明，然后利用分离常数法、放缩法求得的取值范围.
【详解】设，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以（当时等号成立）
依题意，对任意的，恒成立，
即恒成立，
而，
当时等号成立.
而函数在上单调递增，
，所以存在，使得成立.
所以，
即的取值范围是.
7．（1）或；（2）.
【分析】（1）要先求出,利用分类讨论思想，讨论函数的单调性，结合零点存在定理可求答案；
（2）先把转化为，然后求解函数的最值，构造函数，结合单调性可得b的取值范围．
【详解】（1）定义域为，当时，；
当时，，为增函数，
取，，
所以，故此时恰有一个零点；
当时，令，，
时，，所以在单调递减，
时，，所以在单调递增；
要使函数恰有一个零点，需要
解得，
综上，实数a的取值范围是或.
（2）因为对任意，有成立，且
所以.
因为，所以，
所以，
当时，，当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为与，所以
令
则当时，，
所以在上单调递增，故，所以，
从而
所以，即.
令，则.
当时，，所以在上单调递增.
又，所以，即，解得，
所以b的取值范围是.
【点睛】函数零点个数问题通常采用直接法和分离参数法求解，
双变量问题转化为单变量，结合函数最值进行转化，本题中把转化为是求解的关键.
8．（1）当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为；单调递增区间为；（2）
【解析】（1）求解导函数，根据导函数的分子（二次函数）分类讨论与的关系，从而可分析出函数的单调性；
（2）根据已知条件构造关于的新函数，根据新函数的单调性分析出的取值范围，然后根据与的关系即可求解出的取值范围.
【详解】解：（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，
（ii）若，令得.
当时，；
当时，，
所以，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，单调递减区间为；
单调递增区间为.
（2）由（1）知：且.
又，∴，
由得，
∴.
令，∴，
∴，所以在上单调递减.
由y的取值范围是，得t的取值范围是，
∵，∴，
∴，
又∵，故实数a的取值范围是.
【点睛】（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关于（或）的新函数，借助新函数的单调性分析问题.
9．（1）实数a的值组成的集合；
（2）存在实数，使得不等式对任意及 恒成立．
【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，将条件在区间上为增函数这一条件转化为在区间上恒成立，结合二次函数的图象得到，从而解出实数的取值范围；（2）先将方程转化为一元二次方程，结合韦达定理得到与，然后利用
将用参数进行表示，进而得到不等式对任意
及恒成立，等价转化为对任意恒成立，将不等式
转化为以为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可，从而解出参数的取值范围.
试题解析：（1）因为在区间上是增函数，
所以，在区间上恒成立，
，
所以，实数的值组成的集合；
（2）由 得，即，
因为方程，即的两个非零实根为、，
、是方程两个非零实根，于是，，
，
，，
设，，
则，
若对任意及恒成立，
则，解得或，
因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.
考点：1.函数的单调性；2.二次函数的零点分布；3.韦达定理；4.主次元交换
10．(1)
(2)
【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义得到，再利用题设条件，即可求出结果；
（2）对恒成立，等价于恒成立，令恒成立，将问题转化成即可求解．
【详解】（1）因为，得到，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
由题意得，解得，所以的取值范围.
（2）因为“对恒成立”等价于“当时，恒成立”，
令，所以，
令，得，
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值，
令，则，
①当时，因为的最小值，
所以对于恒成立，符合题意，
②当时，由，得函数在单调递减，
所以，故此时的最小值，不符合题意，
所以整数的最大值是2．
11．（1）单调递增区间为：和，单调递减区间为：（2）
【详解】分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义求出值，再利用导数的符号变化确定函数的单调性；（Ⅱ）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，再利用导数的符号变化确定函数的单调性、极值和最值．
详解：（Ⅰ）的定义域为
，，
又切点在曲线上，；
经检验，时，曲线在处的切线方程为
，
在和上单调递增，在上单调递减；
即的单调递增区间为和，单调递减区间为
（Ⅱ）当时，恒成立，即，
即，即
构造函数
，
，；，；
；，
综上所述：实数的取值范围是
点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值和最值等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、转化能力和数学运算能力．
12．（1），；（2）答案见解析；（3）.
【解析】（1）由导数的几何意义列出关于的方程组，解出即可；
（2）对函数进行求导，分为和两种情形，讨论函数的单调性得极值点；
（3）原等式等价变形可得即等价于，考虑构造函数，结合函数性质变形可得，然后构造函数，结合导数可求.
【详解】（1）由，得，
∴.
由已知可得：，即，
∴，.
（2），
∴.
当，即时，，在上为增函数，无极值点.
当，即时，则有：当时，，
当时，，
∴在为减函数，在上为增函数，
所以，是极小值点，无极大值点；
综上可知：当时，函数无极值点，
当时，函数的极小值点是，无极大值点.
（3），
由题意知：当时，恒成立，
又不等式等价于：，即，
即①，
①式等价于，
由知，，.
令，则原不等式即为：，
又在上为增函数，
所以，原不等式等价于：②，
又②式等价于，即：.
设，，
∴在上为增函数，在上为减函数，
又，
∴当时，在上为增函数，在上为减函数，
∴.
要使原不等式恒成立，须使，
当时，则在上为减函数，
，
要使原不等式恒成立，须使，
∴时，原不等式恒成立
综上可知：a的取值范围是，a的最小值为.
【点睛】本题主要考查了利用导数求解极值，求解曲线的切线方程及由不等式求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属于难题.
13．
【分析】分离参数，构造新函数，把恒成立转化为求最小值，二次求导根据单调性求最值即可.
【详解】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，
令，则，
令，则，
所以在单调递增，因为，，
所以存在唯一零点，且，使得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
因为，即，
令，显然在单调递增，则，即，
则，所以.
14．(1)单调递增区间是和，单调递减区间是
(2)
【分析】（1）首先注意到函数的定义域，求函数的导数 ，在定义域内求 和 的区间，即可得到函数的单调区间；
（2）首先求 ，根据导数 ，得到 ，得到根与系数的关系，其中 ，并代入求 ，并求函数 的最小值，即可得出结论.
【详解】（1）的定义域，
当时，，，
令得，或，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2）由已知得，，
，
令，得，
∵有两个极值点，
∴，∴，
又∵，∴，
∴
设，,
∵，
当时，恒有，
∴在上单调递减，
∴，
故，
要使成立
只需.
【点睛】导数中出现恒成立的问题是高考常考题型，一般可参变分离，转化为求函数恒成立的问题，根据导数根与系数的关系，求得 ，这样 ，将函数变形为的函数，并求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，求得函数的最值，得到的取值范围.
15．（1）见解析；（2）
【分析】（1）定义域为R，求其导函数，．讨论当当与两种情况下导函数的符号，即可判断单调区间与极值．
（2）设是任意的两实数，且，根据的斜率恒大于常数，可得，化简得；构造函数，求导得恒成立，即，进而求得m的取值范围．
【详解】（1）由题知定义域为，，，
①当时，，
在上单调递增，即增区间为；
则无极值；
②当时，的解为，
当时，， 的减区间为；
当时，， 的增区间为．
则极小值为，无极大值；
（2）设 是任意的两实数，且 ，由题设知
，故，
∴令函数 ，
则在上单调递增，
∴恒成立，
∴对任意的，恒成立，
∴．
又当时，

故．
【点睛】本题考查了导数的综合应用，根据对参数分类讨论判断函数的单调性与极值，导数在恒成立问题中的综合应用，是高考的重点和难点，属于难题．
16．（1）或；（2）．
【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系结合导数的几何意义列方程求函数f(x)的解析式；
（2）利用导数与函数的单调性的关系列不等式求a的取值范围．
【详解】（1）∵，设，∴，
∵，∴，依题意有，且，
可得，
解得或，
所以或；
（2）∵，
等价于．
设，等价于在上是增函数，
，可得，
依题意有，对任意，有恒成立．
由，可得．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得到单调递增，即，故，分离参数后得到有两不等实根，构造，得到其单调性，结合函数图象得到实数的取值范围；
（2）由题意得到，转化为对任意，有，构造，求导得到在上恒成立，
解法一：考虑与两种情况，结合同构思想，得到，求出其单调性，得到在上恒成立，变形为，构造，求导后得到其单调性，求出；
解法二：变形为，构造，观察得到与互为反函数，从而证明出恒成立即可，构造，求导后得到其单调性，求出；
方法三：对二次求导，构造，求导后分与两种情况，分析出时，在上存在唯一，使得，求出在上恒成立，转化为只需即可，利用基本不等式证明出结论，且时，不合题意，得到答案.
【详解】（1）在区间上的立方变化率为正，可得单调递增，即.
故若存在区间，使得的值域为，
即存在不同的，使得，
故方程有两不等实根，化简得有两不等实根.即与有两个不同的交点.
由，可知在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
故要使与有两个不同的交点，,
故实数的取值范围是；
（2）由对任意区间的立方变化率均大于的立方变化率，可得，由可得，，即对任意，有
可得在上单调递增.
即在上恒成立，
解法一：①当时，当时，，显然不成立.
②当时，在上恒成立，
即在上恒成立，
令在上恒成立，即.
显然在上单调递增，得在上恒成立.即恒成立
令，
可得在上单调递减，在上单调递增，
故，解得
解法二：①当时，当时，，显然不成立.
②当时，可转化为，
令，可得与互为反函数，
故恒成立，只需恒成立即可，即恒成立.
令，可得在上单调递减，在上单调递增，
故，解得.
解法三：令，可得
①当时，，此时在上单调递增，由，当时，，故在上存在唯一，使得，即，即，，
令，则，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，
故在上恒成立，只需即可.
而
，解得
经检验，当时等号成立，故
②当时，当时，，显然不成立.
故.
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
18．（1），（2）3
【分析】（1）由题意得，即，又，即可解得n.
（2）根据，，可得∴，故在上单调递增,假设，可得且，即可去掉绝对值，令，依题意，应满足在上单调递减，在上恒成立. 即在上恒成立，令，讨论可得若，，若，，分析可得的最小值.
【详解】解：（1）∵ ∴，即
，解得.
（2）依题意∴，故在上单调递增，不妨设，
则且，原不等式即为.
令，依题意，应满足在上单调递减，
即在上恒成立.
即在上恒成立，令，则
（i）若，，此时在上单调递增，故此时
（ii）若，时，，单调递增；
时，，单调递减；
故此时∴，
故对于任意，满足题设条件的最小值为3.
【点睛】本题考查导数应用：已知切线方程求参数，恒成立求最值，考查分类讨论和构造函数法，考查计算，推理，方程转化的能力，属难题.
19．(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）求出导函数，然后令，讨论导数的符号即可确定函数的单调性；
（3）构造，计算的最大值，然后与比较大小，得出的分界点，再对讨论即可.
【详解】（1）当时，则，
又，
所以，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）因为
令，又，则，
令，，
当时，
则，，
当，，即当，.
当，，即当，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
（3）设，
则
，
令，又，则，
令，，
则，
所以.
若，则，则，
即在上单调递减，所以.
所以当时，符合题意.
若，当，，所以，
又.
所以，使得，即，使得.
当，，即当单调递增.
所以当，不合题意.
综上可得的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题采取了换元，注意复合函数的单调性在定义域内是减函数，若，当，对应当.
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）结合已知条件分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出原函数的增区间和减区间；
（2）分析可得，构造函数，即在上恒成立，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：依题意，令，，
则，
令，解得或.
当时，即时，恒成立且不恒为零，
所以，函数的增区间为；
当时，即时，由可得或，由可得，
所以，函数的增区间为、，减区间为；
当时，即时，由可得或，由可得.
所以，函数的增区间为、，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
（2）解：当时，恒成立，
所以在上单调递增，且.
因为，所以，
则不等式可化为，
即.
令，则问题等价于函数在上单调递增，
即在上恒成立，
即，.
令，，
则.
令，解得，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以当时，函数取得最小值，且，
所以当时，，所以.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导得到，考虑和两种情况，根据导函数的正负判断函数的单调区间即可.
（2）题目转化为，构造函数，求导得到函数的单调区间，计算函数的最小值得到答案.
【详解】（1）函数的定义域为，且，
当时，，当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，有两根－1，，
且，
，则；
，则；
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
综上可知：
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数恒成立转化为在上恒成立.
令，则，
，，，，
故在上为增函数，在上为减函数.
所以，则，又，故实数的取值范围为.
22．（1）在单调递增；（2）．
【分析】（1）当时，求出函数导数，利用导数的正负确定函数的单调性；
（2）转化不等式为，构造函数，利用导数研究函数单调性，转化为，即可求解.
【详解】（1）的定义域为，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴时，取得极小值即最小值，
∴在恒成立，
∴在单调递增；
（2）不等式等价于，
设，即（*）
∵
∴当，，在是减函数
，，在是增函数
∵，
当时，，且在是减函数
则（*）式
令（），则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴又
∴
【点睛】关键点点睛：对不等式变形转化为，构造函数转化为，最终转化为，分离参数求解，属于难题.
23．(1)极小值1，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值；
（2）分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即得.
（3）利用（2）的结论可得，再利用赋值法结合数列求和即得.
【详解】（1）当时，的定义域为，
求导得，
当时，，则在上递减，
当时，，则在上递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）由恒成，得，
令，求导得，
当时，，即函数在上递减，
当时，，函数在上递增，
因此，则，
所以实数的取值范围是.
（3）由（2）知，当时，即
于是，，
，，
因此，
所以.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】试题分析：（I）求出，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II））设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求．
【详解】（1），
易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，
因此，即在区间上恰有一个零点，
由题可知在上恒成立，即在上无零点，
则在上存在唯一零点．
（2）设的零点为，即．原不等式可化为，
令，则，由（I）可知在上单调递减，
在上单调递增，故只求，，设，
下面分析，设，则，
可得，即
若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．
因此，即求所求．
【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．
25．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由（1）可得，依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围.
【详解】（1）因为的定义域为，
又，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得（舍去），；
当，，在上单调递减；
，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，，
所以，即；
法一：令，，则，
令，，
当，，所以在上单调递减，
，，所以在上单调递增；
所以，所以，
所以在单调递增，而，
所以当时，，即；
法二：，即，
因为，所以，所以，令，
，所以在单调递增，
而，所以当时，，即.
26．(1)
(2)
（ⅰ）（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）令时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可.
（2）（ⅰ）设由得，再证明此时满足.
（ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出在上单调递增，即
【详解】（1）当时，
所以切线方程为：即
（2）（ⅰ）
即，
设
又是的一个必要条件，即
下证时，满足
又，
设在上单调递减，
所以，
又即在单调递增.
时，；
下面证明时不满足，
，
令，
则，
，
∴在为增函数，
令满足，
则，
又∴,使得，
当时，，
∴此时在为减函数，
当时，，
∴时，不满足恒成立.
综上.
（ⅱ）设
由（ⅰ）知，
在上单调递增，即
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数范围即可．
27．(1)极小值，无极大值
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其单调性即可求出极值；
（2）求出函数导数，分和两种情况讨论可得单调性；
（3）根据导数可得有两个极值点等价于有两不等实根，则可得出，进而得出，可得恒成立，等价于，构造函数求出最小值即可.
【详解】（1）若，则，，
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时函数有极小值，无极大值；
（2）的定义域是，，
①时，，则，在递增，
②时，令，得，令，得，
故在递减，在递增，
综上，时，在递增；
时，在递减，在递增；
（3）定义域为，
有两个极值点，
即，
则有两不等实根，
∴，解得，
且，所以，
从而，
由不等式恒成立，
得
恒成立.
令，
当时，恒成立，
所以函数在上单调递减，
∴，
故实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是将有两个极值点等价于有两不等实根，以此求出，再将不等式恒成立转化为求的最小值.
28．(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据极值可得有3个不相等实数根，构造函数，利用导数求解单调性，即可根据求解，
（2）构造函数，利用导数求解函数单调性，结合对和讨论，即可求解.
【详解】（1）由，得，
由存在极值，则，知，则有3个不相等实数根，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．
则在时取极小值在处取得极大值，
又时，时，，又．
所以，有3个不相等实数根时，，即，
所以，有3个极值点时，的取值范围是．
（2）由，得，
令，得，知，
令，则，
又令，则，知，
当时，即时，
由于单调递增，则，
故当时，即单调递增，则，
所以，当时，即单调递增，则，
故当时，单调递增，则，
所以，当恒成立．则时满足条件．
当时，即时，
由于单调递增，由于，
故，使得，
当时，，则时，即单调递减，
故，
故当时，即单调递减，
所以，此时单调递减，，不满足条件．
综上所述，当恒成立时，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
29．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，把不等式转化为恒成立，令，求得，设，利用导数求得的单调性，结合，进而得到单调性和，即可求解；
（2）根据题意，转化为有两个实根，设，因为，转化为，构造，利用导数得到在递增，得到，转化为证，令在利用导数求得函数的单调性，得到，取，即可得证.
【详解】（1）解：因为函数，可得其定义域为，
由，即，化为，
因为对恒成立，即恒成立，
令，则，可得，
设，则，
当时，，当时，，
故在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，
当时，，当时，，
故在区间内单调递减，在区间内单调递增，则，
所以实数a的取值范围是．
（2）证明：令，
由（1）知方程有两个不等实根，且一根小于1，另一根大于1，
不妨设，因为，
所以，
又因为，构造函数，，则，
得在单调递增，，即，
即，即，
要证，即证，
即证，即证，
构造函数，
则，
故在区间内单调递减，则，即，
取，则有，即，故．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
30．(1)2
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数在的单调性和导函数的单调性可求
（2）根据题意求出极大值点，进而求出a的值，然后利用导数证明不等式恒成立
（3）利用，转化为，然后利用导函数的单调性证明即可
【详解】（1）当时，，
因为在单调递增，在单调递增，
在单调递增，
所以在单调递增，在单调递增，
因为，
所以当时，单调递减；，
所以，，在单调递增，在单调递减，
令，得，
当时，单调递增；
，，
所以，，在单调递减，在单调递增；
因为，
所以，在单调递减，单调递增，
综上，在单调递增，单调递减，单调递增，共2个极值点
（2）因为，
所以是的极大值点，因为，
所以，
只需证，当时，恒成立即可，
因为，
令，则，
①当时，，，则在单调递减，
所以，在单调递增，，
②当时，，则在单调递减，所以，
综上，符合题意
（3）由（2）可知，，当且仅当时取等号，
所以，
，
因为，
所以即证
令，则，
所以即证：，，
令，则，
所以时，，单调递减，
所以，即，，
综上，，，
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
31．(1)0
(2)
【分析】（1）求导，得到的单调性，进而得到最大值；
（2）转化为，设，求导得到其单调性，求出，再利用基本不等式求出，从而得到实数a的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
当时，，∴在上单调递增；
当时，，∴在上单调递减．
∴在处取得最大值，最大值为．
（2）∵对任意，不等式恒成立，
∴在上恒成立，
进一步转化为，设，则，
当时，；当时，，
∴在处取得极大值也是最大值．
∴．故；
另一方面，当时，，当且仅当时等号成立，故，
∴满足条件的a的取值范围是．
32．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；
（2）由已知不等式恒成立，构造函数，利用单调性得到，即恒成立，构造函数，求，可得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意：当，，，
则，，
所以切点坐标为，切线斜率为1，
故切线方程为，即；
（2）由题意可得，，即，
即，
令，函数定义域为，则有恒成立，
因为，所以在单调递增，
所以，即恒成立，只需，
构造函数，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则当时，，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
33．(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，得到函数单调性；
（2）变形得到恒成立，先构造设，，求导得到函数单调性和极值，最值情况，得到，故只需证恒成立，参变分离，换元后构造，，求导，得到函数单调性，求出，证明出结论.
【详解】（1）由题意得定义域为，．
当时，恒成立，
∴函数在上单调递增；
当时，令，解得，
∴当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
（2），恒成立等价于恒成立，
设，，则，
令，解得，令，解得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
其中．即，
∴恒成立，
故要恒成立，只需恒成立，
分离参数得恒成立．
设，函数，，则，
∴函数在上单调递增，
∴，
∴，故实数a的取值范围为．
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
34．(1)极小值为，极大值为
(2)
【分析】（1）首先根据导数的几何意义，列式求参数，再利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的极值；
（2）首先不等式变形为，再构造函数，由函数的单调性，转化为函数单调递减求参数的取值范围.
【详解】（1）由题意得函数的定义域为，，
则，解得：，
∴，
令，解得：或，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值，极小值为，
当时，函数取得极大值，极大值为.
（2）由得，
不等式可变形为，
即，因为，且，
所以函数在上单调递减，
令，，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
因为当时，，所以函数在上单调递减，
所以，所以，
即实数m的取值范围为.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
35．(1)1或9
(2)7
【分析】（1）求出在点处的切线方程为，从而设出，由，得到方程组，求出k的值；
（2）参变分离得到当时，恒成立．构造函数，求导得到其单调性，结合隐零点得到，结合，求出，从而求出k的最大值.
【详解】（1）∵，∴，
，从而得到，
∴函数的图象在点处的切线方程为，即．
设直线与的图象相切于点，
从而可得，，
又，
∴，解得或，
∴k的值为1或9．
（2）由题意知，当时，恒成立，
等价于当时，恒成立．
设，
则，
记，
则在上恒成立，
∴在上单调递增．又，
，
∴在上存在唯一的实数m，且，使得①，
∴当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，则在上单调递增，
∴当时，，
由①可得，∴，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
其中，
，
∴，
又，∴k的最大值是7．
【点睛】分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
36．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分、及进行讨论，利用导数求得函数的单调性后结合零点的存在性定理即可得；
（2）由（1）可将转换为，再构造函数，分及进行分类讨论即可得.
【详解】（1）由题意得，，
当时，令，解得，
①当时，，所以在上单调递增，
又，此时函数有唯一的零点；
②当时，，
所以时，单调递增，
时，单调递减，
时，单调递增，
又，
则函数在区间上无零点，
在上至多只有一个零点，
所以函数 至多只有一个零点；
③当时，，
所以时，单调递增，
时，单调递减，
时，单调递增，
又，
则函数在上至多只有一个零点，在区间上无零点，
所以函数至多只有一个零点，
综上，函数至多只有一个零点；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
此时，
因为，所以，
因为，所以，所以,
所以，即，
设，则，
令，则，
①当时，，此时恒成立，则在上单调递增，
所以，此时，
②当时，，设的两个根为，且，
则，所以，
则当时，，此时在上单调递减，
所以当时，，此时，与 矛盾，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助第一问所得，将双变量、变为单变量，从而可构造函数，分及进行讨论即可得.
37．(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，令，解得或，分类讨论，求得函数单调性和极大值，即可求解；
（2）当时，由（1）得到的单调性，分别求得和，结合题意，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数，可得，
因为，令，解得或，
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以的极大值为，不符合题意；
当时，即时，，在上单调递增，无极大值；
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，解得.
（2）解：当时，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，
当时，即时，当时，单调递增，，
又因为当时，，
因为，所以，当时，使得，
当时，即时，
当时，单调递增，，
当时，
若满足题意，只需，即，
当时，即时，
当时，在上单调递减，上单调递增
所以函数的最小值为，
所以，
又因为时，，
若满足题意，只需，即，
因为，所以，
所以，当时，不存在使得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
38．（1）答案不唯一，见解析；（2）.
【分析】（1）求导得，定义域为（0，+∞），然后分a＞2、a＝2和0＜a＜2三类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性；
（2）对g（x）求导得（x＞0），g（x）的极值问题等价于是方程2ax2﹣2x+1＝0的两个不等正根，然后结合韦达定理求出a的取值范围，并将原不等式的恒成立问题转化为k＞﹣1﹣a﹣aln2a对a∈（0，）恒成立；构造函数h（x）＝﹣xln2x﹣x﹣1（0＜x＜），利用导数判断其单调性，并求出最大值即可．
【详解】（1）的定义域为.
.
(i)当时，令，得或；令得；
(ii)当时，恒成立；
(iii)当时，令得或，令得；
综上：当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，无递减区间，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2），，
有两个极值点，
是的两个不等正根，.
由不等式恒成立，
即
即，即，对恒成立.
设，则，，
由，得；由，得，
在递增，递减.，，
的取值范围是.
【点睛】本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查分类与整合思想､数形结合思想､函数与方程思想及化归思想等，属于中档题.
39．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得在上恒成立，利用参变分离法结合恒成立问题分析求解；
（2）构建，可知在上恒成立，分、和三种情况，利用正弦函数的有界性进行放缩，利用导数判断函数单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.
【详解】（1）因为，
由题意可知：在上恒成立，即在上恒成立，
且，即，可得，
所以的取值范围为.
（2）构建，即在上恒成立，
（ⅰ）若，当趋近于时，则趋近于0，趋近于，，
可知趋近于，即存在，使得，不合题意；
（ⅱ）若，则，
①当，即时，则，符合题意；
②当，即时，若，，
而关于递增，，
存在，使得，不合题意；
（ⅲ）若，则，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知：在内单调递减，在内单调递增，
可得，
①当，即时，可知，符合题意；
②当，即时，
令，则，
因为，取，即，
则，即不恒成立，不合题意；
综上所述：或，符合题意.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
1.分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
2.函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
40．(1)单调递增区间为：，单调递减区间为：和；极大值，极小值；
(2)
【分析】（1）将代入，求出，即可求出答案；
（2）原不等式等价于，记，，求出，则可得出函数的单调性，即可得的值域，记，，利用隐零点说明函数的单调性，结合恒成立，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，
令，解得或，
所以的关系如下表：
所以函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：和；
极大值，极小值；
（2）
令，其中，
设，
令，解得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，且当时，，
所以函数的值域为；
又，
设，，则，
当时，，且等号不同时成立，即恒成立；
当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在，使得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且
当即时，恒成立，符合题意；
当即时，取，必有，不符合题意.
综上所述：的取值范围为
【点睛】关键点点睛：本题第1小问考查了利用导数判断函数的单调性与极值；解答第2问的关键在于将原不等式等价于，求出的值域，记，，利用隐零点说明函数的单调性，结合恒成立，求出参数的取值范围.
41．(1)
(2)
【分析】（1）求导，得到，从而利用导函数几何意义求出切线方程；
（2）解法一：求导，分，与三种情况，结合函数单调性及特殊点函数值，得到答案；
解法二：变形为，分和时，参变分离，构造函数，得到单调性和最值，从而求出a的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
，，
所以切线方程为，即；
（2）解法一：，
①当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立．
②当时，，所以在上单调递增，
所以成立．
③当时，在区间上，；在区间上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由于，故在上，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是．
解法二：当时，恒成立，等价于当时，恒成立．
即在上恒成立．
当时，，所以．
当时，，所以恒成立．
设，则，因为，所以，
所以在区间上单调递增．所以，所以．
综上所述，a的取值范围是．
42．(1)1
(2)
【分析】（1）求得，当时，得到在上为增函数，进而得到存在，使得，即可求解；
（2）求得，设，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，得到在是增函数，进而求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数的定义域为，
可得，
又因为，
当时，，所以在上为增函数，
当时，；当时，，
所以存在，使得，
所以，当时，的零点个数为.
（2）解：由，
则.
当时，恒成立，所以，所以，
设，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
又因为，，
所以，在是增函数，所以，
故若在上恒成立，则，所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
43．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）严格单调递减即，对导函数参数分离，构造新函数求解；
（3）有2个极值点等价于导函数有2个零点，并运用韦达定理对代数式作变换，构造新函数，根据新函数的单调性求解.
【详解】（1），
则，， 在点的切线过原点，
，即，解得；
（2）.
则，函数在上严格单调递减，
转化为，即对上的任意实数恒成立，
令，则，
由 得，由得，
由得，在上单调递增，在上单调递减，
又当时.时，，，
当时，，故实数a的取值范围是；
（3），函数有2个极值点等价于在时有2个零点；
即 在上有两个不同的根，
，解得，
不等式恒成立，即，
又
，
令，
所以，又恒成立，
即在区间单调递减，
；
综上，（1），（2）实数a的取值范围是，（3）的取值范围是.
【点睛】本题的难点在于对不等式作出代数变换，由2个变量 转化为一个变量a，由a得范围来确定的范围.
44．(1)极小值为，极大值为；
(2)3.
【分析】（1）判断函数为奇函数，利用导数求出在区间上的极值，利用奇偶性即可求得定义域上的极值.
（2）利用导数证明当时，恒成立，当时，等价变形不等式并构造函数，利用导数并按导数为负为正确定的取值范围，进而确定不等式恒成立与否得解.
【详解】（1）函数，，
即函数为奇函数，其图象关于原点对称，
当时，，求导得：
，
由于，由，得，解得，
由，得，解得，即在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在上有极小值，
从而在上的极小值为，极大值为.
（2）当时，恒成立，即恒成立，亦即恒成立，
令，求导得，
则函数在上为增函数，有，因此恒成立；
当时，恒成立，即不等式恒成立，
令，求导得：
令，求导得则
，
由，得，
当时，即时，，则函数在上单调递减，
则有，即，因此函数在上单调递减，有，即，
当时，即时，存在一个，使得，
且当时，，即在上单调递增，且，
则，于是在上单调递增，因此，即，与矛盾，
所以的最大值为3.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
45．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导数讨论极值点，再求极值即可；
（2）构造，注意到，二次求导后结合函数单调性对分类讨论，求出符合，不符合，即可得到答案；
（3）构造函数，二次构造，求导后得到的单调性可得；再次构造函数，求导后分析单调性可得，再将两不等式相乘即可得到结果.
【详解】（1），
当，恒成立，无极值；
当时，令，解得，
所以在单调递减；在上单调递增；
所以极小值为；
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以无极值.
（2）因为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
设，注意到，
，令，
则在为增函数，且，
所以恒成立，即单调递增，
其中，
若，则恒成立，此时单调递增，又，
所以恒成立，
即在上恒成立，即结论成立；
若，则，
又，
故由零点存在性定理可知，在内存在，使得，
当时，，所以单调递减，又，
所以当时，，即，不合题意，舍去；
综上：实数的取值范围是.
（3）构造函数，，
，
令，
则，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
所以，故在单调递增，
，即，
构造函数，，
，
所以在上为单调递增，
所以，即，
所以，
即时，，证毕.
【点睛】方法点睛：
（1）用导数分析函数的极值点，先分析单调性，再判断极值点；
（2）函数不等式恒成立求参数问题，可构造函数后求导，分析单调性，找到最值，当一次求导不能得到结果时可再次构造函数分析.
46．(1)；
(2)无零点；
(3).
【分析】（1）求导，利用导数求斜率，然后由点斜式可得切线方程；
（2）利用导数求极值，然后判断极值符号可得；
（3）由可得，利用零点存在性定理判断导函数存在零点，进而可得函数的单调区间和最大值，由可解得零点范围，设，利用导数求值域可得.
【详解】（1）当时，，，
∵，，
∴曲线在点处的切线方程为：
，即.
（2），，则，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴
∴无零点.
（3），
由，，
∵，得，
∴令，则在R上递减，
当时，，，
∴，∴.
又∵，
∴使得，即，
且当时，即，
当时，即，
∴在递增，在递减，
∴，
由，得，所以，
由得，即，
由得，∴，
∵，
设，则，
可知在上递增，
，，
实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：本题属于隐零点问题，通常利用零点存在性定理结合单调性判断函数的单调性，利用零点方程求函数的极值，然后可解.
47．(1)
(2)见解析
(3)或，且.
【分析】（1）求当时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出的导数，令，得，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；
（3）函数有两个极值点，，由（2）可知，，构造函数，利用导数求得的范围，分或或的整数，对不等式分离参数，分别求解.
【详解】（1）当时，，故.
故，又，
故函数图象在点处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，
所以，
令，得，
（i）当，即时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
（ii）当，即时，由，得，
①若，由，得或,
的单调递增区间是，；
由，得,
的单调递减区间是；
②若，则，函数在上递减，在上递增；
③若，由，得，则函数在上递减；
由，得，则函数在上递增.
综上，当时，的单调递增区间是；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（3）由（2）可知，函数有两个极值点，，则，
由，得，则，，，
由，可得，，
，
令，
则，
因为，，，，
又，所以，即时，单调递减，
又，所以，
不等式，恒成立，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
且，所以由可得，且，
若且，则，即，
设，在上单调递增，
而，，，
所以且，
若，则不等式，不成立，
综上：或，且.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
48．(1)
(2)增区间为，减区间为
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）结合（1）的结论，由导数的正负即可判断函数的单调区间；
（3）根据题意分析可知，均恒成立，根据函数单调性结合导数可知在内恒成立，利用参变分类结合恒成立问题分析求解.
【详解】（1）因为，所以，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由（1）知，且，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上：的增区间为，减区间为.
（3）由题意得
因为为上的“3类函数”，
对于任意不同的，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：在内恒成立；
即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，
令，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，，则，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
49．(1)
(2)证明详见解析
(3)
【分析】（1）利用导数求得的最小值.
（2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.
（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，，
所以，
，所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以当时取得最小值为.
（2）要证明：对任意正整数，都有，
即证明，
即证明，
由（1）得，即
令，所以，
所以
，
所以对任意正整数，都有.
（3）若不等式恒成立，此时，
则恒成立，
令，
令，
所以在区间上单调递增，
所以，当时等号成立，
所以，
当时等号成立，所以.
【点睛】利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.
50．(1)，
(2)①证明见解析，②成立，理由见解析
【分析】（1）求出导函数，再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上，解出方程，解之即可；
（2）①，由（1）求得函数的解析式及导数，利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数的最值，再根据方程有两个实数根，可得函数的最值的关系，即可得证；
②，分别求出当直线过，时和直线过，时割线方程，从而得结合①即可得出结论.
【详解】（1）解：，
因为函数在处的切线方程为，
所以，，
∴，或，（舍），
所以，；
（2）①证明：由（1）可知，，
令，
则，令，得，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，
又，，，，
且，，
∴，使得，即，即，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以
，
∵，∴，
令，
则 ，
所以函数在上递增，
故，
所以，
即，
∴；
②解：成立，理由如下：
当直线过，时割线方程为，
得，
当直线过，时割线方程为，
得，
∴.
【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了利用导数解决方程的根的问题，考查了不等式的证明问题，，考查了数据分析和处理能力，考查了转化思想，计算量比较大，属于难题.
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减