新高中数学压轴题二轮专题专题7导数与极值点偏移试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题7导数与极值点偏移试题含解析答案，共50页。试卷主要包含了解答题，法三等内容，欢迎下载使用。


一、解答题
1．已知函数（）.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值.
2．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）已知是函数的极值点，若，求证：(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).
3．有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．
(1)函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点；
(2)设，，且，若，则．其中为自然对数的底，
4．已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值：
(2)若，，，证明：．
5．设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明：.
6．已知函数，．
(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．
(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．
7．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极大值，求实数的取值范围：
(3)已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：.
8．已知函数．
(1)对任意恒成立，求的取值范围；
(2)有两个解，，求证：．
9．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)已知，，为函数的两个极值点，求的最大值.
10．已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.
11．已知函数（其中e为自然对数的底）
(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若，是的极值点且.若，且. 证明：.
12．已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
13．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线上的曲线段AB，设其弧长为，曲线在A，B两点处的切线分别为，记的夹角为，定义为曲线段的平均曲率，定义为曲线在其上一点处的曲率．（其中为的导函数，为的导函数）

(1)若，求；
(2)记圆上圆心角为的圆弧的平均曲率为．
①求的值；
②设函数，若方程有两个不相等的实数根，证明：，其中为自然对数的底数，．
14．已知函数.
(1)若有唯一极值，求的取值范围；
(2)当时，若，，求证：.
15．设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
16．已知函数
(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；
(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．
17．已知函数（其中e为自然对数的底）若，是的极值点且.若，且.证明：.
18．设，函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若无零点，求实数的取值范围；
(3)若有两个相异零点，求证：.
19．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，证明：.
20．已知函数，，其中为自然对数的底数．
(1)若有两个极值点，求的取值范围；
(2)记有两个极值点为、，试证明：．
21．已知函数.
(1)若函数在定义域内为减函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数有两个极值点,证明：.
22．已知函数
(1)若、在处切线的斜率相等，求的值；
(2)若方程有两个实数根，试证明：;
(3)若方程有两个实数根，试证明：.
23．已知函数．
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若存在极小值，且极小值等于，求证：．
24．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若满足，求证：；
(3)若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）首先求函数的导数，再分和求函数的导数；（2）首先由条件可知，变形后两式相除得，设，换元后，分别解出和，通过构造函数（），利用导数证明函数的单调性，再解抽象不等式，从而求得的最大值.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，则，设，则，
易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，
∴，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
（2）依题意，，则
两式相除得，，设，
则，，，∴，，
∴，
设（），
则，
设，则，
所以在单调递增，
则，
∴，则在单调递增，
又，且
∴，
∴，即的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化与化归思想，函数与方程思想，考查逻辑推理以及运算求解能力，属于中档题，本题第二问的关键是换元后解出，，从而将转化为（），利用导数判断函数的性质.
2．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程即可；（2）利用导数研究有极值点；结合已知条件构造，应用导数研究其单调性及即可证.
【详解】（1）由，有
∴，而，可知曲线在点处的切线方程为
（2）由（1）得，令，
则在上恒成立，即在上单调递增，而，知当时，；当时，，
∴当函数在上单调递减，在上单调递增，即在处取得极大值.
∵，不妨设，
令，则
因为，所以，即有，
∴，即函数在上单调递减，而，
所以在上恒成立，即在上恒成立，有在上恒成立，又，所以，
因为且，而函数在上单调递增，所以，即，而，所以得证.
【点睛】本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式.
3．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据给定条件构造函数，再判断方程有唯一解即可得解.
（2）由结合（1）中函数，再构造函数，借助函数单调性即可判断作答.
【详解】（1）设(x>0)，求导得：，
则当时，，当时， ，
即在上递增，在上递减，
因此，当时，，当且仅当x=e时取“=”，
于是得方程有唯一的零点，即方程有唯一的零点，
所以，函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点，猜想（1）正确.
（2），由（1）知方程在内有两个根，分别在区间和内，如图，
因，，且，由得，
则，是方程的两个根，不妨设，，
设(x>1)，，
当时，，，则当时，，在上递增，
由此得，当时，，从而得，
而，因此，，
显然，又，且在递减，则，即，
所以，猜想（2）正确.
【点睛】解决极值点偏移问题的关键是构造合理的新函数，结合原函数、新函数的单调性进行说理.
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知；
（2）将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论.
【详解】（1）由题意得：定义域为，；
①当时，，在上单调递增，
若，则，时，，不合题意；
若，则，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，；
若恒成立，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
又，；
则当时，符合题意；
综上所述：.
（2）由得：，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
由得：；
，，
当时，由得：，；
当时，要证，只需证，
，，则只需证，
又，只需证；
令，，
则，
在上单调递减，，，
即，即得证，；
综上所述：成立.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立、证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明.
5．(1)
(2)（i）单调增区间为，，单调减区间为
（ii）证明见解析
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间；
（ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证.
【详解】（1），
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）（i），
，
∵时，取得极值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
（ii），
∵存在两个极值点，
∴方程，即在上有两个不等实根.
∵，解得，
则
∴所证不等式等价于，
即，
不妨设，即证，
令，，
则，
∴在上递增，∴，
∴成立，
∴.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
6．(1)；
(2)．
【分析】（1）借助导数可得，在上恒成立，结合二次函数的性质计算即可得；
（2）由题意计算可得，从而可设，得到，结合导数研究该函数单调性即可得其最小值，即可得解.
【详解】（1）因为，
由题意，
即对恒成立，
整理得：，
即，在上恒成立，
显然时成立．
当时，设，
显然且对称轴为，
所以在上单调递增，
所以只要，又，
所以；
综上，；
（2），
即为方程的两个根，
由题意可得，
∴，解得，
又，，
两式相减得，
令，则
，
令，
，所以在递减，
，所以的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于结合题意，得到的范围，并借助换元法，令，从而将多变量问题转化为单变量问题.
7．(1)单调减区间为：，单调增区间为：；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，解导函数大于0和小于0的不等式即得.
（2）求出函数的导数，由在附近的临近区域导数值左正右负求出范围.
（3）由（1）及导数的几何意义求出切线方程，再构造函数利用函数的三个零点可得，再借助换元法及分析法推理论证即得.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
（2）依题意，函数，求导得，
当时，当时，，则函数在处不可能取到极大值；
当时，由，得，由，得或，
则函数在处取到极大值，所以.
（3）由（1）知，，曲线过有三条不同的切线，切点为，
于是，方程有3个不同的根，
该方程整理为，
设，求导得，
而，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
显然有3个不同的零点，必有，
则，且，即，
又，设，
则方程即为：，
记，则为有三个不同的根，
设，要证，即证，
即证，即证，
即证，即证，
又且，
则，即，
于是即证，即证，
设，记，求导得，
设，则，
则函数在上单调递增，有，
于是，即在上为增函数，有，
因此
记，
则，
于是在为增函数，则，
所以，即，
从而原不等式得证.
【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.
8．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数单调性，求最小值大于0的条件；
（2）图象上三个点，，，记线段，与直线的交点横坐标分别为，，在，两点处的切线为，，记两条切线与直线的交点横坐标分别为，，证明即可得证结论.
【详解】（1）令，则有，．
若，即，则存在，使得在上单调递减，有，与已知矛盾，
所以，解得．
因为，所以，
记，则有．
下证对任意恒成立．
易得．
记，则有，所以在上单调递增，
所以，则有，
所以在上单调递增，则有，原命题得证．
综上，的取值范围．
（2）证明：由题可得，
令，则，易知，
时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又有，，
且，，所以存在，使得，
时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且．
记，，，连接，，记线段，与直线的交点横坐标分别为，，
下证：函数的图象在线段的下方．
令，则，，，
令，则，故在上单调递增．
，，由零点存在定理得存在唯一，使得，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增，
结合，，可知，
所以，所以函数的图象在线段的下方．
同理可证，函数的图象在线段的下方，
则有，其中直线的方程为，
则有，解得．
直线的方程为，则有，解得，
则有，所以．
分别记函数在，两点处的切线为，，
则有，，两条切线分别为，．
记两条切线与直线的交点横坐标分别为，，则有，
将分别代入，有解得
则有，所以，
综上，．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
9．(1)在，上单调递增，在，上单调递减；
(2).
【分析】（1）对求导，根据的符号求自变量的范围，进而确定的单调区间；
（2）由题设知，是的两个根，由根系关系可得，研究其单调性并求其取值范围，令并构造，利用导数研究单调性求最值即可.
【详解】（1）当时，，，则，
令，可得或，令，可得，
所以在，上单调递增，在,上单调递减.
（2），由，为的两个极值点，
所以，是方程的两个根，可得，，
∴，
又，即、为增函数且大于0，为增函数且大于0，
所以为增函数，故，
令，则，
令，则，
所以在,上单调递减，故的最大值为(3).
10．(1)增区间为，减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，然后根据导函数的正负来判断得单调性；
（2）将变形为得到，然后构造函数，根据得单调性和得到，最后根据和得单调性即可证明.
【详解】（1），
令，解得，令，解得，
所以的增区间为，减区间为.
（2）证明：将两边同时除以得，即，
所以，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，
设，则，
令，
则，
由得，所以，，
所以，在上单调递增，
又，所以，
当时，，即，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，
所以，即.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
11．(1)
(2)见解析
【分析】（1）在上单调递增即在恒成立，令，分类讨论的单调性，证明即可.
（2）求出，要证明，即证明，
即证明.令，对求导，得出的单调性，即可证明.
【详解】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立，
所以在恒成立，
令，，
①当时，在恒成立，在上单调递增，
所以，所以满足题意.
②当时，令，则.
(i)，所以，在单调递增，
所以，所以满足题意.
（ii），在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
而，所以不成立.
所以实数a的取值范围为：.
（2），，
因为是的极值点，所以满足，
令，则若，解得，
所以当时，，当时，，
所以，，
所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减，
要证明，即证明，
化简得，由于在上单调递增，
且由，，可知.
故，
从而可推得，而，
因此.
令，
则，
，
而，所以，
故单调递增，从而，即，
从而，即证得.
12．(1)；
(2)①；②证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，探讨函数有两个零点的的值范围.
（2）①由有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线与函数图象有两个公共点的的值范围；②由方程根的意义可得，分析所证不等式，换元并证明即可.
【详解】（1）依题意，，
设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，
切线方程为，而点在切线上，
则，即有，
由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，
令，则函数有2个零点，
求导得，
①若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，
又，
当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
②若，恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多1个零点，不合题意；
③若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，
显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
④若，显然，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
要函数有2个零点，必有，得，
当时，，
而函数在上的值域为，因此在上的值域为，
当时，令，求导得，函数在上单调递减，
则，，
而函数在上单调递减，值域为，
因此函数在上的值域为，
于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是.
（2）①由（1）知，，
由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，上单调递减，，
且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根
所以函数有两个极点时，的取值范围是.
②由，即，得，
要证明，只需证明，
而，
令，则，欲证明，
即证明，只需证明即可，
令，
求导得，
则在时单调递增，故，
则，令在时单调递增，则，
因此，即，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
13．(1)4；
(2)①，②证明见解析.
【分析】（1）根据新定义计算即可得解；
（2）①根据平均曲率值列出方程求解得；②利用导数函数确定函数的单调性、零点，求出零点处的切线方程，先证明两切线的图象不在的图象的下方，再由直线与两切线交点的横坐标之差的范围小于即可知小于得证.
【详解】（1），
所以，
因此.
（2）①由圆的性质知圆上圆心角为的圆弧的弧长为.
弧的两端点处的切线对应的夹角，
所以该圆弧的平均曲率，也即.
②由于，故，
又，，
所以在上单调递减，而.
因此必存在唯一的使得且在上为正，在为负，即在上单调递增，在上单调递减，
而，又，，
所以使得，即的图象与轴有且仅有两个交点，易得在处的切线方程为，
在处的切线方程为，
下面证明两切线的图象不在的图象的下方:
令，则.
因为，所以在单调递减，而，
所以在上为正，在为负，即在上单调递增，在单调递减，
因此，即，
即的图象恒在其图象上的点处的切线的下方(当且仅当时重合) .
同理可证(将视为即可)，
设直线与两切线交点的横坐标分别为，
则易得且，
因为，故，
所以，
因此.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于理解所给新定义平均曲率，利用新定义解题，关键点之二在于要证明，转化为证明直线与图象在两个零点处的切线的交点的横坐标之差小于即可，难度较大.
14．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，分析极值点情况即可得解.
（2）由（1）的信息可设，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
当时，若，，函数在上单调递增，无极值点，不符合题意；
若，当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意；
若，当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，函数有两个极值点，不符合题意；
当时，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，2是函数的极大值点，且是唯一极值点，
所以的取值范围是.
（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
由，，不妨令，
要证，只证，即证，就证，
令，求导得
，于是函数在上单调递减，，
而，则，即，又，
因此，显然，又函数在上单调递增，则有，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
15．(1)无最小值，最大值为
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解.
（2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明.
【详解】（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证，
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系；
通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，
利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出，由题意可知，对任意的，，可得出，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的最大值；
（2）设，由极值点的定义可得出，变形可得出，，由此可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即为所求.
【详解】（1）解：因为，其中，
则，
因为函数在上单调递增，对任意的，，即，
令，其中，则，，
由可得，由可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，，故，所以，的最大值为.
（2）解：由题意可知，，设，
由可得，则，
可得，，所以，，令，其中，
所以，，
令，其中，则，
因为，由，可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
又因为且，
所以，当时，，即，
当时，，即，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：
（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
17．证明见解析
【分析】求出，要证明，即证明，即证明.令，对求导，得出的单调性，即可证明.
【详解】当时，函数，求导得，
由是的极值点，得，即，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数，即在上单调递减，在上单调递增，
显然，，，
因此是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减，
要证明，即证明，亦即证明，
由在上单调递增，且，，知，
则，从而由，得，而，
因此，
令，求导得
，由，得，
因此函数在上单调递增，即，则，
所以，即不等式成立.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）首先求得函数的导数，然后利用导数的几何意义即可求解曲线在处的切线方程；
（2）分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调性，进而判断函数零点的个数即可求解；
（3）根据题意可将不等式转化为，令，构造函数，利用导数求解函数的单调性，进而得到函数的最值，即可证明.
【详解】（1）解：函数的定义域为，
当时，，则切线方程为，即.
所以曲线在处的切线方程为.
（2）解：①若时，则是区间上的增函数，
∵，
∴，函数在区间有零点；
②若有唯一零点；
③若，令，得，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减；
故在区间上，的最大值为，
由于无零点，则，解得，
故所求实数的取值范围是.
（3）解：设的两个相异零点为，设，
∵，∴，
∴，
∵，要证，只需证，
只需，等价于，
设上式转化为，
设，
∴在上单调递增，
∴，∴，
∴.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
19．（1）时，递增；时，递减；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性，结合导函数的零点，判断函数的单调性；（2）首先方程变形为，设，，通过构造函数，，利用导数证明，再分和时，证明.
【详解】解：（1），是减函数，是增函数，
所以在单调递减，
∵，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
（2）由题意得，，即
，，
设，，则由得，，且.
不妨设，则即证，
由及的单调性知，.
令，，则
，
∵，∴，，
∴，取，则，
又，则，
又，，且在单调递减，∴，.
下证：.
（i）当时，由得，；
（ii）当时，令，，则
，
记，，则，
又在为减函数，∴，
在单调递减，在单调递增，∴单调递减，从而，在单调递增，
又，，
∴，
又，
从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以，，
又，
，
所以，，
显然，，
所以，，即，
取，则，
又，则，
结合，，以及在单调递增，得到，
从而.
【点睛】关键点点睛：本题第二问要证明不等式成立，换元后转化为，两次构造函数，并转化为极值点偏移问题，证明不等式.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，令，分析可知有个变号零点，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可；
（2）欲证，即证，由已知条件得出，令，解得，，将所证不等式变形为，然后令，其中，利用导数证得即可.
【详解】（1）解：因为，，，
设，则，
若有两个极值点，则有个变号零点．
当时，，在上递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
若使得有个变号零点，则，即，即，
解得，此时，，
，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
所以，，故，
由零点存在定理可知，函数在、上各有一个变号的零点，
设函数在、上的零点分别为、，
当或时，；当时，.
此时函数有两个极值点，合乎题意.
综上所述，.
（2）证明：欲证，即证，
由于、为的零点，
则，可得，
令，则，
解得，，
所以只需证明：，即证：，
构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，则，
所以，即得证，故.
【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，恒成立，即恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，得到实数a的取值范围；
（2）方法一：由（1）得，转化为是的两个零点，求导得到单调性，得到，换元后即证，构造，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到答案；
方法二：先证明引理，当时,,当时, ，变形得到只需证，结合引理，得到，，两式结合证明出答案.
【详解】（1）的定义域为，，
由题意恒成立，即恒成立，
设，则，
当时，，单调递增,
当时，，单调递减,
∴在处取得极大值，也是最大值，，
故；
（2）证法一：函数有两个极值点，由(1)可知，
设，则是的两个零点，
，当时，，当时，,
所以在上递增,在上递减，
所以,又因为，
所以，
要证,只需证,只需证，
其中，即证，
即证，
由,设,
则,,则,
设，
，
由(1)知，故,
所以,,即，在上递增，
,故成立,即；
证法二：
先证明引理:当时,,当时, ，
设,
，
所以在上递增,又,
当时,，当时，，
故引理得证，
因为函数有两个极值点，由(1)可知,
设，则是的两个零点，
，当时，，当时，,
所以在上递增,在上递减，
所以,即，
要证,只需证，
因为，即证，
由引理可得,
化简可得①，
同理，
化简可得②，
由①-②可得 ，
因为，，所以，
即,从而.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
22．(1)1
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）由题意得，首先证明，再结合差比性质得，变形后，结合换元法及导数知识求证即可得证；
（3）首先令去掉绝对值符号，再求得，的根，以及方程的根，结合放缩的知识可得，所以原不等式可得.
【详解】（1），,
又,
所以.
（2）由（1）知，则
令，
令
时，单调递增
时，单调递减
所以
因为
由差比的性质知：，
又，则
欲证：
即证：
不妨设：
下证，令
下证令
所以在上单调递增，
所以
所以
（3）不妨设，下证
在处的切线方程为
构造
当时，;时，;
所以在上单调递减，在上单调递增
又
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
设方程的函数值为的根，则
因为在上单调递减，所以，
在处的切线方程为,
构造
当时，;时，;
所以在上单调递减，在上单调递增
又
所以在上单调递减，在上单调递增
所以
所以
设方程的根
又，由在上单调递增
所以
又
所以.
【点睛】本题考查了导数的综合运用：求切线的斜率切线方程，求函数单调性和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．
23．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由条件可得在上恒成立，然后可得，然后利用导数求出的最大值即可；
（2）求出，分、、、四种情况讨论的单调性，然后可得，令、，然后利用、的单调性可证明.
【详解】（1）因为在上单调递增，
所以在上恒成立，且不恒等于，
由可得，
令，则，
所以在上单调递减，
所以；
（2）因为，其定义域为，
所以，
①当时，，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以的极小值为，而，不合题意，
②当时，由可得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，而，不合题意，
③当时，，在上单调递增，不合题意，
④当时，由可得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，
令，则，
所以，
令，则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
令，
则
所以在上单调递增，所以，
所以当时有，
因为，所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，即.
24．(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）对求导，分类讨论和，判断的正负即可得出答案；
（2）要证，只需证，令，对求导，结合基本不等式得出在上单调递增，即可得证；
（3）法一：对求导，分类讨论和，得出的单调性证明即可；法二、法三：分类讨论和，分离参数可得，分别由洛必达法则和拉格朗日中值定理求出即可.
【详解】（1）解：，
当时，在上单调递增，
当时，令，解得，
单调递减，
单调递增，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由题意，则.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即
，
由均值不等式可得
（当且仅当，即时，等号成立）.
所以函数在上单调递增.
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，
所以，即得证.
（3）法一：，则，
令，
当时，，在上单调递增，且.
①当时，在上单调递增，
，符合题意，.
②当时，又在上单调递增，且
当趋近正无穷，趋近正无穷，
，使得，
在上单调递减，
在上单调递增，
而，所以不合题意.
综上：实数的取值范围为.
法二：，
当时，恒成立，
当时，由得，
即，
令，即，
则，
令，
则.
在上单调递增，，
即在上单调递增，而，所以符合洛必达法则.
由洛必达法则得：
实数的取值范围为.
法三：，
当时，恒成立，
当时，由得，
即，
设，又，
则由拉格朗日中值定理可知：
令，
即
又，
在上单调递增，，
实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常用方法有如下几种：
方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；
方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；
方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.