新高中数学压轴题二轮专题专题8导数与拐点偏移试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题8导数与拐点偏移试题含解析答案，共56页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．设函数．若，求证：．
2．已知．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．
3．已知函数（）.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，若实数，（），满足，求证： .
4．设函数，且．证明：
5．已知函数（a为常数）在处的切线方程为.
（1）求a的值，并讨论的单调性；
（2）若，求证.
6．已知函数，.
(1)若恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若，且，试比较与的大小，并说明理由.
7．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，且，证明：．
8．已知函数，．
(1)若在处取得极值，求的值；
(2)设，试讨论函数的单调性；
(3)当时，若存在实数，满足，求证：．
9．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
10．已知函数．
(1)若为定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)令，设函数，且，求证：．
11．已知，设函数，是的导函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上存在两个不同的零点，.
①求实数的取值范围；
②证明：.
12．已知函数，．
(1)求的单调区间；
(2)若对于正实数，满足．
（i）证明：；
（ii）证明：．
13．“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点.
已知函数有两个极值点，且为曲线C：的拐点.
(1)求a的取值范围；
(2)证明：C在Q处的切线与其仅有一个公共点；
(3)证明：.
14．已知函数．
(1)证明：f（x）在R上为增函数；
(2)若f（x1）＋f（x2）＝e，x1＜x2，证明：x1＋x2＜2．
15．已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
16．设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．
17．已知函数，.
（1）若为上的增函数，求的取值范围；
（2）若，，且，证明：.
18．已知函数 ，．
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
19．函数.
（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；
（2）设，若，满足，求证：.
20．已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上单调递增，且存在，使得，若，证明：．
21．已知函数有最大值，，且是 的导数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：当，时，．
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性;
（2）若，设为的导函数，若函数有两个不同的零点，求证：．
23．已知函数的导函数为，若存在两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
24．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，设，，且证明：
25．已知
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若方程有两个实根、，且，证明：.
26．设函数．
(1)讨论函数的零点个数；
(2)是函数的导函数，当时，函数有两个零点、，求证：．
27．已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
28．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若为函数的导函数，有两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
29．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数，若函数的导函数有两个不同的零点，，证明：.
30．已知函数，a为实数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．
31．给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.
（i）求的拐点；
（ii）若，求证:.
参考答案：
1．证明见解析
【分析】先判断函数的单调性，通过构造函数，利用单调性进行证明.
【详解】由题意，令，则；
令得，令得，
∴在单调递减，在单调递增，
∵，
∴函数在单调递增，且，
又∵，不妨假设，
要证明，只需证，
∵函数在单调递增，
只需证，∵，
只需证，
令，
令，
则，
∴在单调递增，
∵，
∴，故成立，证毕．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是利用二阶导数研究函数单调性，二是把自变量的大小关系转化为函数值的大小关系.
2．（1）减区间为：，增区间为：；（2）证明见解析．
【分析】（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；
（2）方法一：由条件，分离参数，令，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a的取值范围；令，将证明的结论等价转化为，从而，令，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；
方法二：令，通过导数求得单调区间，若,有两个零点，只需最小值小于0，从而求得参数a取值范围；令，则，变形整理，要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
【详解】（1）解：的定义域为，
又由得，
当时，，
当时，，
的减区间为：，增区间为：，
（2）证明：方法一：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，减函数；当时，增函数．
所以．
因为．所以的值域为，
问题等价于直线和有两个不同的交点．
，且，
所以，从而．
令，则，解得，
，而，
下面证明时，，
令，
则，
令，则，
在为减函数，，
在为减函数，，
在为减函数，，即．
方法二：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
所以．
因为有两个零点，即，得．
因为实数是的两个根，
所以，从而．
令，则，变形整理，
要证，则只需证，即只要证，
结合对数函数的图象可知，只需要证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可．
因为，所以只要证，整理得．
令，则，
所以在上单调递减，即，
所以成立，故成立．
【点睛】方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.
3．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）在上单调递增等价于在上恒成立，即恒成立，设，为此只要求得的最小值即可；
（2）要证，只需证，令，再证
即可得出结论.
【详解】（1），
由在上递增，故当时，恒成立，
即恒成立，
设，，因为，所以，
所以在单调递增，故，所以；
（2）当时，，，
故在上单调递增，又因为，，故，
要证，只需要，因为在上递增，故只需证，
只需证，，
令，，
令，，
所以在上单调递增，所以，
故在单调递减，故，
故原不等式成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于难题.
4．证明见解析
【分析】构造对称差函数，利用导数研究单调性，求出最值，证明不等式即可.
【详解】由题设，函数定义域为，则，且时取等，
函数在上单调递增，且，
不妨假设，令，
则，
∴ 在上单调递增，有，
∴，
∴ ，
又函数在单调递增，
∴，
令，则在上恒成立，
∴ 在上单调递增，，证毕．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是找合理构造对称差函数，然后求导得到最值，得到所要证明的不等关系即可．
5．（1），在定义域上为增函数；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，由可得（也可由求得），为确定的正负，设，再求导，由的正负确定单调性，从而得正负，得的单调性；
（2）先利用导数证明不等式，然后引入函数，求出，对其中的部分函数，求出导函数，利用刚证的不等式可得，从而递增，因此可得是增函数（），因此得出单调性及最小值，得，于是得，结合已知得，由的单调性得证结论．
【详解】解：（1），
切线斜率，
所以，
此时，
则，
可得在上为减函数，在上为增函数，因此恒成立，
故在定义域上为增函数
（2）先证不等式，
设，则，
可得在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，即成立，，
令，
则，
设，
则，利用不等式得，
那么，
所以是增函数，故是增函数，
又因为，在时，，时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，.
所以，即，当时，取等号，所以，
又由得，
所以，
又在定义域上为增函数，
所以，即得证.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立．证明不等式的关键是引入新函数，利用导数证明，这样明确，即求得的最小值为0即可．本题考查了学生的转化与化归能力，分析问题解决问题的能力，运算求解能力，本题属于难题．
6．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）分离参变量，得到恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；
（2）由（1）可得，从而判断的单调性，确定，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出；再次构造函数，判断其单调性，由此推出，可得结论.
【详解】（1）恒成立，即恒成立，
令，，
当时，，函数递减；
当时，，函数递增，
故，
所以.
（2），
由（1）知，所以在上，
所以在上单调递增，且.所以，
设，，
设，则，，，
所以在上单调递增，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
令，，
令，，，，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，，
而在上单调递增，所以，；
设，，
所以单调递减，且，，，
所以，即，即，
所以，
所以，即.
所以.
【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.
7．(1)在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）利用构造新函数法结合多次求导法判断单调性即可.
（2）讨论变量范围，再构造对称差函数，求导证明不等式即可.
【详解】（1）由题意，，令，
，，当时，，，
∴，故单调递减，即单调递减，
当时，，，∴，故单调递增，
从而，故在上单调递增．
（2）由（1）可得在上单调递增，且，
若，则，不合题意，
若，则，不合题意，∴，
要证，只需证，又在上单调递增，
∴只需证①，∵，∴，
代入式①知只需证，即证，
令，
则，
令，故，
设，则，
∴在上单调递增，结合知，
设，则，∴在上单调递增，
结合知，∴，从而在上单调递减，
又，∴，从而在上单调递增，又，
∴，∵，∴，
故不等式成立．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理构造对称差函数，然后进行求导得到所要求的不等关系即可．
8．(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）对函数进行求导，由于在处取得极值可知，从而可求出的值，再将的值代入导函数进行检验即可；
（2）由题可得，对进行求导，分类讨论和，利用导数研究函数的单调性；
（3）当时，由得出，令，则，求导后得，利用导数研究函数的单调性和最值得出在时的最小值为1，所以，进而得出，而时，，从而可证出.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得：．
验证：当时，，
易得在处取得极大值．
（2）解：因为，
所以，
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：当时，因为，
所以，
所以，
令，，则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
所以函数在时，取得最小值，最小值为1，
所以，
即，所以，
当时，此时不存在，满足等号成立条件，
所以．
【点睛】思路点睛：本题考查导数与函数极值的关系，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式的综合问题，解决含参数问题及不等式证明问题注意两个转化：
（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理，一般需要通过构造新函数解决导数问题．
9．（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
10．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由为定义域上的增函数可得恒成立，可转化为，故求的最大值即可求得答案；
（2）由可得，令求得的值域，从而得到，解不等式即可.
【详解】（1）的定义域为，
由为定义域上的增函数可得恒成立.
则由得，
令，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
故,
则有 解得.
故a的取值范围为
（2）
由有
有
即
即.
令
由可得当时，单调递增；
当时，单调递减；则，
即，
解得或(负值舍去)，
故.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
11．(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）导数几何意义求切线方程即可；
（2）①设，因为，所以与零点相同，根据的单调性与极值情况来确定的范围；
②根据题意，利用放缩构造等思路结合导数，求出的范围.
【详解】（1）由题设，则，且，
所以，，则在点处的切线方程为，即.
（2）①当时等价于，
设，则．
当时单调递减；当时单调递增；
所以，当时，
因为在上存在两个不同的零点，则，解得．
当时，取，则，
故，又，
所以在和上各有一个零点，故．
②因为，所以，
结合知：．
设，则，在上，在上，
所以在上递增，在上递减，故，即，
所以，即，当时取等号，
所以．
由①知，在上单调递增，且，所以，即．
因为在上是减函数，且，
所以，得证.
【点睛】方法点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．(1)单调递增区间，无递减区间
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求得，结合，得到，即可求解；
（2）（i）设，当时，得到，得到和，根据，得到，再由，令，求得单调递增，进而证得；
（ii）要证，转化为证，设，利用导数求得在单调递增，得到，进而得到，即可得证.
【详解】（1）解：由函数，其定义域为，
可得，
因为，所以，所以在单调递增，
所以函数单调递增区间为，无递减区间.
（2）解：（i）由，，
设，其中，
当时，，，所以恒成立，
所以，可得，同理可得，
又因为，所以，
又由，令，可得，
所以在上单调递增，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又因为，所以.
（ii）要证，即证，
只需证，即证，
因为，可得，
设，则在上恒成立，
所以在单调递增，
又因为，所以，所以，
所以，所以，从而，
所以.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先根据条件得有两个变号零点，分离参数构造函数，求其导函数判定其单调性与最值计算即可；
（2）利用导数的几何意义先求得C在Q处的切线方程，利用作差法及导数研究函数的单调性与零点即可证明；
（3）直接根据（1）（2）的结论得出即可证明.
【详解】（1）由题意可知有两个变号零点，即有两个正根，
令，
易知单调递减，且时，
所以时，即此时单调递增，
时，即此时单调递减，所以，
又，时，则时，，
所以要满足题意需
（2）令，
由上知，所以在内单调递增，
根据“拐点”的定义及条件知，
所以C在Q处的切线方程为：，
令，即证只有一个零点，
易知，
由上可知在上单调递减，在上单调递增，
即，所以单调递增，
显然，所以只有一个零点，
所以C在Q处的切线与其仅有一个公共点，即Q点；
（3）不妨设，由题意可知是的两个变号零点，
结合（2）知，
根据的单调性知，
所以，证毕.
【点睛】思路点睛：第一问由函数有两个极值点得出其导函数有两个变号零点，分离参数后构造函数数形结合即可求参数范围；第二问直接构造差函数，结合拐点的定义、利用导数研究函数的单调性及零点即可；第三问直接由临界值0判定即可.
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数导数，利用导数建立不等式求解即可；
（2）将原不等式转化为，构造函数，利用导数得到函数为增函数，故得证.
【详解】（1）由题意，，
令，则，令，则，
故在区间上，，为减函数；
在区间上，，为增函数，
故，故在R上为增函数；
（2）由（1）知为增函数，且，故由，，
可得，则．
欲证：，只需证：，即证：，
即证：．
令，
则，
令，则，
故为增函数，，
故为增函数，，
故，则，原式得证．
15．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为最大值小于等于1，即可求解；
（2）不等式转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可证明.
【详解】（1），当时，单调递增；
当时，单调递减．所以，
解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用分析法，转化为证明.
16．(1)当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，对参数分类，讨论的正负，研究函数的单调性；
（2）由已知，且，则，进而得到 ，构造函数判断函数的单调性知，进而得到，再判断，即可证得结论.
【详解】（1）由题可得，，
当时，，函数的单调递增区间为R，无单调递减区间；
当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为函数有两个不同的零点，，
所以，且，，消去，得．
设，则，，，
所以．
设，，则，
所以在上单调递增，所以，故，
所以，所以．
又，
设，，则，
所以在上单调递增，所以，故，所以．
【点睛】方法点睛：本题考查研究函数的单调性及构造函数证明不等式，解含参数的不等式，通常需要从几个方面分类讨论：
（1）看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由在上为增函数，可得恒成立，即恒成立，构造函数，利用导数求此函数的最小值即可；
（2）由于，且在上单调递增，，且，不妨设，令，利用函数可判断在上为减函数，所以有，，而在上为增函数，从而可得，从而，
【详解】（1）.
若在上为增函数，则恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，故，
∴实数的取值范围为；
（2）证明：若，由（1）知在上单调递增，由于，
已知，，不妨设，
设函数，则
，
则，设，则
，
由于，故在上为增函数，
∴，∴在上为减函数，
∴，
∴，
而在上为增函数，
∴，故，从而，
即.
【点睛】此题考查导数的应用，考查由导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数判断函数的单调性，考查转化思想和计算能力，属于中档题
18．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可；
（2）（i）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可；
（ii）根据（i）条件，不等式可以转化为，变形后，设，构造新函数，利用导数即可证明.
【详解】（1）由题知， 在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，所以，
经检验，符合题意.
故.
（2）(i)由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；
故，又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，
可得，
即实数的取值范围是.
(ii)由（i）且，，不妨设，
则
，
要证，
需证，
即，
只需证，
即，令，
则证，
由（1）可知当时，在上递增，
又，故，
即，
综上，.
【点睛】易错点点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
19．（1）（2）证明见解析
【分析】（1）求出导函数，切线方程为，化简即可；
（2）先由导数确定在上单调递增，不妨设，则，又，，则，于是，这是重要的一个结论，构造函数，求出，可确定在上递减，于是，于是，下面只要证明即可。
【详解】（1），则，
故在处的切线方程为即；
（2）证明：由题可得，，
当时，，则；当时，，则，
所以，当时，，在上是增函数.
设，
则，
当时，，则，在上递减.
不妨设，由于在上是增函数，则，
又，，则，于是，
由，在上递减，
则，所以，则，
又，在上是增函数，所以，，即.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式。本题不等式证明难度很大，首先不妨设，由的单调性得，因此要证题设不等式只要证，为此构造新函数，利用它在上的单调性完成证明。构造新函数学生难以想到，需要学生反复学习、练习，不断归纳总结，都有可能独立完成。
20．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导数，根据导数的二次式取值情况讨论a 的取值范围与单调性关系；
（2）根据（1）可知时，满足题中要求，根据单调性将转换为，再通过构造函数判断单调性，根据其单调性证明不等式成立.
【详解】（1）由题可知，令，
当，即时，恒成立，
故在上单调递增；
当，即时，令，则或，
令，则
故在上单调递增；
在单调递减；
（2）由（1）可知，当且仅当时，在上单调递增，且存在，使得；
故，则，
在上单调递增；且，又，
不妨设，设，且，
设，则,
当时，且，
所以当时，，因此在单调递增，
又，，
则，故在上单调递增；
，，
即，
又在上单调递增，，即得证．
【点睛】解决拐点偏移问题的一般方法是对称化构造，而且一阶导函数极值点右偏（左偏）对应拐点右偏（左偏），偏移方向是相同的，因此一般的解题步骤如下：
（1）分析单调性，也就是分析；
（2）求解函数拐点，即令求出拐点；
（3）构造，证明（或）恒成立；
（4）得出结论．
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）函数求导，讨论函数单调性求最值即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，求导得在上单调递增，由且得，由，单调递增，要证，即，只要证，即，所以只要证，构造函数求导证明即可.
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为，．
当时，，
在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；
当时，令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
,
,
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,
．
，,
在上单调递增．
又，且,
．
,
当时，，单调递增,
要证，即，只要证，即．
，,
所以只要证 ————（*）,
设 （其中）,
,
在（0，1）上为增函数,
，故（*）式成立，从而．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
22．（1）见解析
（2）证明过程见解析.
【分析】（1）根据实数的正负性，结合导数的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据零点的定义，结合指数的运算法则，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明即可.
【详解】（1）由，可得，
当时，，函数是实数集上的增函数，
当时，令，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
综上所述：当时，函数是实数集上的增函数，
当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
（2）由（1）可知：当时，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以函数有最小值，
最小值为：，
因为函数有两个不同的零点，不妨设，
因为当时，，当时，，
所以有，即，
，
因为函数有两个不同的零点，
所以，
因此
令，构造函数，
因为，所以，因此，
所以当时，函数单调递减，故有，而，
所以.
【点睛】关键点睛：通过零点得到，根据指数的运算性质得到的表达式，结合构造新函数是解题的关键.
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，求出，讨论其符号后结合零点存在定理可得参数的取值范围.
（2）结合的单调性可得等价于，，，讨论的单调性后可得原不等式成立.
【详解】（1），设，则，
当时，；当时，；
故在上为减函数，在上为增函数，故，
因存在两个不同的零点，故即.
此时且，
故在有且只有一个零点.
令，则，
当时，；当时，；
故在上为减函数，在上为增函数，故，
故，
故当时，有，
故此时在有且只有一个零点.
综上，.
（2）由（1）分析可得，
要证：，即证：，
因即，故即证，
即证：，其中，
设，，
则，
故（因为，等号不可取），
所以在上为增函数，故即，
故成立即.
24．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，分类讨论，，，的情况即可求解；
（2）当时，，，不妨设.构造函数，二次求导后可判断函数在上为增函数.从而得到，即，再利用在上单调递减即可得证.
【详解】（1）的定义域为.
①若，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
②若，则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减.
③若，则，所以恒成立，在上单调递增.
④若，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，没有单调递减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增.
由，
而，不妨设.
令函数，
则，
令，则.
则当时，则单调递增；
所以当时，，即，
故函数在上为增函数.
故，
所以，
因为且，在上单调递减，
故，所以+.
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
25．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一：由参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；
解法二：直接对函数求解，通过对参数的分类讨论，研究函数的单调性与极最值，通过分析原函数图象，数形结合求得实数的取值范围.
（2）解法一：首先通过同构，将等式整理成，再令，通过已知条件，假设，是的两个零点，进而可得，要证，即证，即证，令，构造函数进行证明即可；
解法二：首先根据已知条件、是的两个零点，证，即证，然后分和两种情况进行分类讨论，最终构造函数（）进行证明.
【详解】（1）解法一：函数的定义域为，由可得，
令，其中，则，令可得，列表如下：
且当时，，作出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当时，
即当时，直线与函数的图象有两个公共点，
因此，实数的取值范围是.
解法二：
当时，∴恒成立得在上递增，
则函数不可能存在两个零点，故该情况不成立；
当时，得在递增；在递减，
要使有两个不同零点，
必须且极大值（和时），
∴.
（2）解法一：方程
令，由有两个实根、，
则，是的两个零点，
由且，可得，
由可得，要证，
即证，即证，
∵，∴，∴即证.
令，即证，
构造函数，其中，即证，
，所以，函数在上单调递增，
∴，故原不等式成立.
解法二：方程
令，由有两个实根、，
则、是的两个零点
由可得为减函数，
要证，即证，
由的图象，不妨设（，分布在的极值点两侧）
要证，只需证
①当时，因，故上式显然成立.
②当时，，又，
由在递增，即证明
构造函数（）
，
∴在为增函数，，所以要证的不等式成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
26．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由可得出，令，则问题转化为直线与函数图象的交点个数，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合可得出结论；
（2）将所证不等式等价转化为证明，设，分析可知，构造函数，利用导数分析函数、的单调性，可得出，再利用以及函数的单调性可证得所证不等式成立.
【详解】（1）解：由，可得，令，其中，.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
且当时，，当时，，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当或时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象有两个交点；
当时，直线与函数的图象无交点.
综上所述，当或时，函数的零点个数为；
当时，函数的零点个数为；
当时，函数的零点个数为.
（2）证明：当时，则，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
由（1）可知，函数的两个零点均为正数，不妨设，且有，
要证，即证.
构造函数，
则，当且仅当时取等号，
所以，函数在上单调递减，所以，，
即，
因为，，且函数在上单调递减，则，可得，
因此，.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
27．(1)
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可；
（2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】（1），
该方程有两个不等实根，由，
所以直线与函数的图象有两个不同交点，
由，
当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，
当时，，当，，
如下图所示：
所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；
（2）因为是函数的两个极值点，
所以，由（1）可知：，不妨设，
要证明，只需证明，显然，
由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，
而，所以证明即可，
即证明函数在时恒成立，
由，
显然当时，，因此函数单调递减，
所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.
【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.
28．(1)当时，在上单调递减
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据函数的定义求出的解析式，再通过其导函数的正负来判断函数的单调性；
（2）求出，把零点问题转化成方程的根，再转化成函数图象的交点，根据图象即可求出的范围；把代入，通过两个等式构造，结合的范围即可证明.
【详解】（1）因为，令，则，
所以（），
故（）.
当时，，
，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
故在上恒成立.
所以当时，在上单调递减.
（2）（ⅰ）有两个零点等价于有两个不同的根.
而 （），
所以有两个不同的根，
等价于有两个不同的根，
等价于与有两个不同的交点.
因为， （），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
而当趋向正无穷时，趋向0，趋向0时，趋向负无穷，
为使与有两个不同的交点，所以.
（ⅱ）有两个零点，则
，.
即，.
所以，
即，
得，
所以.
因为，所以.
【点睛】方法点睛：判断函数单调性时主要考虑其导函数的正负；零点问题常常可转化为方程的根；关于双变量问题通常需要通过等式构造，找出其等式关系.
29．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，依题意在上有两个不等实根，令，只需，即可求出的取值范围，结合韦达定理可得，则需证，，令，利用导数说明函数的单调性，求出，即可证明.
【详解】（1）由已知函数的定义域为，又
当时，，函数在上是增函数；
当时，解得或（舍去），
所以当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数；
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由已知，即，
可得，
函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
又，，
所以
，
要证，
即证，，
只需证，，
令，
则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，又，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以时，单调递增，
时，单调递减，
则，
令，，则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即得证.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
30．(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
(3)证明过程见解析
【分析】（1）求出，求导，得到，进而由导函数的几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；
（3）先令，求导得到其单调性，求出，进而构造差函数，证明出极值点偏移问题.
【详解】（1）当时，，，
，故，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）定义域为，
，
令，解得，令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由题意得，解得，
故，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
可知函数在处取得极值，故符合题意，
因为，，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且当时，恒成立，，当时，，
画出的图象如下：

故，
令，，
则，
因为，所以，，
故在上单调递减，
又，故在上恒成立，
即，，
因为，所以，
其中，故，
其中，，在上单调递增，
故，即，
令，，
则
，
当时，所以单调递增，
由复合函数可得在上单调递增，
又，
故存在，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，，
故当时，恒成立，
因为，故，即，
又，故，
其中，，在上单调递增，
故，故，
综上，.
【点睛】关键点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，需要先研究出两个变量的取值范围，若原函数较复杂，可先进行变形，再求导，得到其单调性，构造出的差函数，研究其单调性，往往会和基本不等式，复合函数单调性等知识结合.
31．(1)答案见解析
(2)（i）；（ii）证明过程见解析
【分析】（1）由得到，再根据求出，得到函数解析式，求导得到函数单调性及极值情况；
（2）（i）的定义域为，二次求导得到，构造函数，得到时，满足，故的拐点为；
（ii）由（i）得到在上单调递增，因为，故，构造函数，得到其拐点，求出关于中心对称，构造，要证明，只需证明的极值点左偏，构造差函数证明出的极值点左偏，得到结论.
【详解】（1），，
由题意得，即，解得，
且，即，解得，
故，
，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
故极大值为，极小值为；
（2）（i），
由于，，故，即的定义域为，
，
，
令得，，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，由零点存在性定理知，有唯一的零点，
故，即时，满足，
当时，，
故的拐点为；
（ii）由（i）可知，在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，
故在上恒成立，故在上单调递增，
因为，，
故，
设，
则，，
令，解得，
又，
故的拐点为，
由（1）知，关于中心对称，
令，
又的拐点为，，
要证明，只需证明的极值点左偏，
故，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
即证当时，，
不妨设，
令，，
则
，
因为，所以
，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
因为，所以，即，
因为，所以，
其中在上单调递增，故，
故，故的极值点左偏，所以.
【点睛】结论点睛：三次函数的性质：的对称中心为，该点为三次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导函数的零点.
单调递减
极小值
单调递增
＋
0
－
增
极大值
减