新高中数学压轴题二轮专题专题11利用泰勒展开式证明不等式试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题11利用泰勒展开式证明不等式试题含解析答案，共61页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．设，当时，求证：．
2．设，证明：．
3．已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）当时，求证:．
4．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：；
(3)若且，证明：.
5．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：.
6．已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）
7．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
8．已知函数，数列满足：，．证明：
(1)；
(2)．
9．证明：当时，．
10．已知函数，证明：当时，.
11．已知函数，在区间有极值．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
12．已知函数，，
(1)当，时，求函数在处的切线方程；
(2)若且恒成立，求的取值范围：
(3)当时，记，（其中）为在上的两个零点，证明：.
13．函数，，其中为常数，当时，证明：．
14．已知函数．
（I）当时，证明：当时，；
（II）若当时，恒成立，求a的取值范围．
15．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
16．已知函数，．
(1)若恒成立，求实数a的值；
(2)若，求证：．
17．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．
(1)用前三项计算；
(2)已知，，，试证明：．
18．已知，.
(1)若，判断函数在的单调性；
(2)设，对，，有恒成立，求k的最小值；
(3)证明：..
19．已知函数．
(1)试比较与的大小．
(2)证明：，．
20．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
21．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：：
(3)设，证明：当时，的极小值点是0．
22．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
23．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处n（）阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，（）表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出泰勒展开式（只需写出前4项）；
(2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位；
(3)证明：当时，.
24．给出以下三个材料：
①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，；
②若，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；
(2)比较（1）中与的大小；
(3)证明：.
25．已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若的最小值为1，求在上的最小值；
(2)若，证明：当时，．
26．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
27．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位）
(2)设，证明：；
(3)证明：（为奇数）．
28．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.
(1)分别求，，在处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：.（其中为虚数单位）；
(3)若，恒成立，求a的范围.（参考数据）
29．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
30．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
31．已知函数，
(1)若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值；
(2)当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）
求证：①；
②.
32．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
33．阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中．
34．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，e为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：当时，；
(2)证明：对任意的正整数；
(3)证明：e是无理数．
35．已知函数．
(1)求函数在区间上的极值点的个数．
(2)“”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当时，对，都有；
（ii）．
36．18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
(3)已知，证明：．
37．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设实数使得对恒成立，求的最大值．
参考答案：
1．证明见解析
【分析】分别构造函数和，利用导数判断单调性并求出最值即可得证
【详解】要证时，，只需证，
记，则，
当时，，所以在上单调递增，故，
所以，
要证时，，只需证，
记，则，
当时，，
所以在上单调递增，故，
所以，
综上，，
2．证明见解析
【分析】方法一：设1），，利用导数证明即得证.
【详解】[方法一]：设1），.
，则在上单调递减，
∴，即有．
所以原不等式得证.
[方法二]：由泰勒展开可得
，则，结论成立．
3．（1）；
（2）证明见详解.
【分析】（1）求导确定函数的单调性，进而可得函数的最大值.
（2）由于不等式中含有两个变量，需要先通过变形和换元转化为含一个变量的不等式，再构造函数利用导数证明不等式.
【详解】（1）

令，得.
当时，，单调递增;
当时，，单调递减.
∴当时，取得最大值.
（2）,
设，
则
.
记，则
由，可得，，则，
所以在时单调递增.
所以，即.
所以原不等式得证，即.
4．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；
（2）由导数得出单调性，进而得出；
（3）由（2）可得，结合对数的运算证明即可.
【详解】（1），，
则曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）可得
即函数上单调递减，在上单调递增，故
（3）由（2）可得在上恒成立
令，则
则
故
【点睛】关键点睛：解决第三问时，关键是由导数得出，进而由对数的运算证明不等式.
5．(1)当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由函数的定义域为，，分类讨论即能求出函数的单调区间．
（2）由题知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，进而可得在，上恒成立，可得，由此能够证明．
【详解】（1）因为（），
所以的定义域为，.
若，则，在上为增函数；
若，则，
当时，，当时，.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，由上可知的单调递增区间为，单调递减区间为，有在恒成立，
且在上是减函数，
即在上恒成立，
令，则，
即，
且，
，
即：（，）成立．
6．(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；
（2）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所求得，结合累加法即可求证结果.
【详解】（1）函数的定义域为，，
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，所以，所以在上单调递减，
当时，，所以，所以在上单调递增.
综上，当时，函数在上调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，要证明，
即证，即，
设，则，令得，可得，
当时，，当时，．
所以，即，故.
（3）由（2）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，则，
故………
…，
即…，
故….
【点睛】本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.
7．(1)a＝1，增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义先求出，再求导解不等式可得单调区间；
（2）将问题转化为f(x)max≤g(x)max，再分别求最大值建立不等式即可求解；
（3）根据（1）中的不等式放缩，再通过裂项相消法求和可证明.
【详解】（1）由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
当x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
（2）由(1)知x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值为0，
由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.
∵g(x)＝，（等号成立）
∴只需，解得.
（3）证明：要证明 (nN*，n≥2).
只需证，
只需证.
由(1)当x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，
∴当n≥2时，，，
所以
＝，
∴.
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先利用数学归纳法证明，再比较和的大小即可证明结论．
（2）构造新函数，．利用在上单调性来求的函数值的范围即可证明结论．
【详解】（1）证明：先用数学归纳法证明，，2，3，
当时，由已知显然结论成立．
假设当时结论成立，即．
因为时，
所以在上是增函数．又在,上连续，
从而，即．
故时，结论成立．
由、可知，对一切正整数都成立．
又因为时，，
所以，
综上所述．
（2）证明：设函数，．由（1）知，
当时，，
从而．
所以在上是增函数．
又在,上连续，且，
所以当时，成立．
于是，即．
故．
9．证明见解析
【分析】方法一：令，利用导数证明在单调递增，原题即得证.
【详解】[方法一]：令，
则当时，
所以在单调递增，
从而，即，结论成立．
所以原题得证.
[方法二]：由泰勒公式得
，
从而得，结论成立．
10．证明见解析.
【分析】根据给定条件用替换a，转化为证不含参数的不等式，构造函数并借助函数的单调性推理作答.
【详解】函数的定义域为，
因，有，
令，求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，即，
令，，求导得，则在上单调递增，
当时，，当时，，而，
因此，，成立，从而成立，
因，则，于是得，
所以当时，.
【点睛】思路点睛：某些含参数，并且参数在一指定范围内的不等式证明问题，可以将参数用其端点值替换，转化成证不含参数的不等式.
11．（1）（2）见解析
【解析】（1）在区间有极值转化为在区间上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究在[1,2]上的单调性即可；
（2）将证明转化为证明.先证，然后再证，进而可得.
【详解】解：（1）由 得，
当即时，，所以在[1,2]上单调递增，无极值；
当即时，，所以在[1,2]上单调递减，无极值；
当即，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，
；
（2）要证成立，只需证成立，即证，
先证：.设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，则，即①，
再证：.设，则.所以在上单调递增，则，即.因为，所以②，
由①②可，所以.
【点睛】本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.
12．(1)；
(2)；
(3)详见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义即求；
（2）利用参变分离法可得当时，，当时，，通过导函数研究函数的性质可得函数的大致图象，即得；
（3）利用放缩法可得，即证，再通过分析问题转化为证在上恒成立，然后利用导数即证.
【详解】（1）当，时，，，
∴，，
∴函数在处的切线方程为；
（2）由题意可知，当时，不等式显然成立，故；
当时，，当时，，
记，则，
∴函数的减区间为，函数的增区间为，
∴当时，，当时，
∴可得；
综上，的取值范围为；
（3）由上可知，，，
对于函数，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
∴，
又，
∴，即，
由，可得，
要证，即证，，
也即，
设，即证在上恒成立，
∵，
∴在上单调递增，
∴，成立
∴，
综上，.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
13．证明见解析
【分析】利用参数的范围对函数进行放缩，结合的泰勒公式放缩证明.
【详解】由于，∴即证
由的泰勒展开式得，，得，
即，即，得证．
14．（1）见解析（2）
【分析】(1)首先确定函数的单调性，然后结合函数的最小值证明题中的结论即可；
(2)首先求得函数的导函数， 然后对其二次求导，分类讨论和两种情况求解a的取值范围即可.
【详解】（1），当a=0时，，
当x≥0时，，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，
又因为f(0)=0，f(x)≥f(0)=0.
（2），记，
①当时，x≥0时，，
∴ y=g(x)在x≥0时单调递增，
g(x)≥g(0)=0，即f＇(x)≥f＇(0)，所以y=f(x)在x≥0时单调递增，f(x)≥f(0)=0.
②当时，令，得，
当时，，
∴在单调递减，
∴ g(x)≤g(0)=0，即f＇(x)≤f＇(0)=0，在单调递减，
∴ f(x)＜f(0)=0，与题设矛盾．
综上所述，．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式表示出和，再求得和的解析式，即可证明；
【详解】（1）设，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
因此，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得，
由①②得，
所以
，
即.
16．(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）令，则，然后分和两种情况求函数的最小值，使其最小值大于等于零即可，
（2）先利用导数证得当时，恒成立，然后将问题转化为证，构造函数，利用导数求出其最小值大于零即可
【详解】（1）设，则．
当时，，单调递增，，不满足恒成立；
当时，在上单调递减．在上单调递增．
所以的最小值为．
即，即．设，，
所以在（0，1）上单调递减，在上单调递增，
即，故的解只有．
综上，．
（2）证明：先证当时，恒成立．
令，，所以在（0，1）上单调递增，
又，所以．
所以要证，即证，
即证，即证．
设，则，
所以在（0，1）上单调递减，
所以，即原不等式成立．
所以当时，．
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，解题的关键是先证当时，恒成立，然后将转化为，即证，再构造函数求出其最小值大于零即可，考查数学转化思想，属于较难题
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用泰勒计算即可；
（2）利用泰勒展式可得，法1，利用单位圆可证，故可得三者的大小关系；法2，利用泰勒展式并放大可得，利用泰勒展式并缩小可得，两者作差即可比较大小，可得三者的大小关系.
【详解】（1）由泰勒公式，则．
（2）法1：由泰勒公式可知
，
下面证：.
证明：如图，在单位圆中，，与单位圆的交点为，，
因大于扇形的面积，故，
故.
由上述不等式可得，故，
综上，有，即.

法2：由泰勒公式可知
，
而
，
又因为
，
故有，所以.
18．(1)单调递增
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据三角函数的有界性以及可判断，即可求解单调性，
（2）求导，构造函数，进而根据导数判断单调递增，结合零点存在性定理可得，即，构造函数，结合导数即可求解.
（3）根据（1）的结论可得,即可令，利用对数的运算性质即可求证.
【详解】（1）由题意，函数，.
则，又，故，而，
所以，故在上单调递增.
（2）由题意知，，对，，有恒成立.
，设，则，
由于，故，时，单调递增，
又，，因此在内存在唯一零点，使，即，且当，，，单调递减；
，，，单调递增.
故，
故，由于，则，
故，即，
设，，，
又设，故在上单调递增，
因此，即，在上单调递增，
，又，所以，故所求k的最小值为2.
（3）由（1）可知时，，即，
设，则，
因此，
即，得证.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19．(1)，理由见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）构造函数，求出单调性，极值，最值，得到结果；（2）在第一问求解的基础上，通过变形得到，再经过放缩证明出不等式.
【详解】（1）．理由如下：
设，则．
由，得；由，得．
在上单调递减，在上单调递增，则函数在x=0处取得极小值，也是最小值，
故，即，当且仅当时，等号成立．
（2）证明：由（1）可知，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时，等号成立．
，从而，即，当且仅当时，等号成立．
故．
因为，所以，
因为，所以，所以，
即，即．
【点睛】导函数证明不等式，放缩是一种常见方法，常见的放缩有切线放缩，最值放缩等，比如本题中所用的，（）为切线放缩，而为最值放缩.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分离变量得到，利用导数可求得，由此可得结果；
（2）当，时可证得，放缩可得，利用等比数列求和公式和对数运算法则可求得，由此可得结论.
【详解】（1）由题意得：定义域为；由得：；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即实数的取值范围为.
（2）由（1）知：当，时，，在上单调递减，
，即；
，
，
即，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题求解和不等式的证明问题；证明不等式的关键是能够充分利用（1）中的结论，将所证不等式进行放缩，从而结合等比数列求和的知识进行证明.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）令，求导得到函数单调性，进而得到，证明出结论；
（2）变形得到，构造，，求导得到其单调性，进而得到证明；
（3）二次求导，得到函数单调性，进而得到在上单调递增，在上单调递减，故时，的极小值点是0.
【详解】（1）令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
故；
（2），，
令，，
则，
当时，，
故在上单调递减
故，即，结论得证；
（3），
则，
令，
时，，
故在R上单调递增，
又，
故时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故时，的极小值点是0.
【点睛】关键点点睛：用导数研究函数的单调性是导数的一个只要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解.
【详解】（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分和两种情况，利用导数判断附近的单调性.
23．(1)
(2)0.48
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求解的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案；
（2）写出的泰勒公式，代入可得答案；
（3）方法一利用泰勒公式得，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论.
【详解】（1），，，；
，，；
所以.
（2）因为，
由该公式可得，
故.
（3）法一：由泰勒展开，
易知当，，
所以
，
令，
则，所以在上单调递增，
故，
即证得.
法二：
令，
，
易知当，，均为增函数，
所以单调递增，
所以，
所以当，单调递增，
所以，
当，，
令，则，则单调递增，
则，
综上，原不等式得证.
【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明.
24．(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用n阶泰勒展开式的定义，求解，；
（2）两函数作差，通过构造函数，利用导数求最值的方法比较大小；
（3）借助泰勒展开式，利用导数得到函数单调性，证明不等式.
【详解】（1），则有，，
∴，，，
∴
同理可得：.
（2）由（1）知：，，
令，则，
∴，∴在R上单调递增，
又，∴在上，单调递减；在上，单调递增，
∴，即，
故
（3）令，则
由（2）知，，所以在R上单调递增，又，
所以当时，，；
当时，，；
当时，，，
而在点处的3阶泰勒展开式为：，
设，
则，，
故为上的增函数，而，
故当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故即，当且仅当x＝0时取等号，
①当时，，当且仅当x＝0时取等号，
所以
②当时，设，，
，，
若，由于，所以，
，
，
故在上为增函数，从而
若，，
所以，时，单调递减，从而，即.
综上：.
【点睛】方法点睛：
“新定义运算”指的是使用新定义的运算方法求解数学问题，这些新定义的运算可以是像“阶乘”、“斐波那契数列”这样的经典运算，也可以是一些比较新奇的概念，要透彻理解新定义的本质，严格按照新定义运算规则进行计算，与相关基础数学知识联系去解决问题.
25．(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，求得函数的单调性和，求得，得到，求得，设，由，得到在上是增函数，进而得到在上是增函数，即可求解.
（2）由（1）得时，得到，从而得到，转化为上成立，进而转化为，即证，设，利用导数求得函数的单调性，得到，进而证得成立.
【详解】（1）解：因为，可得，
若，则，在上单调递减，无最小值，
因此，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，解得，
则，可得，
设，则在上恒成立，
所以在单调递增，即在上是增函数，
又由，所以在上是增函数，所以.
（2）解：由（1）得时，，即，从而，
当时，，
又因为，所以，
所以在上成立，
即在上成立，
当时，，，，
要证，只要证明，
即要证，
设，，
，
易知，所以，是增函数，所以，
又时，，所以，
即成立，
综上，当时，．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
26．(1), ；
(2)答案见解析；
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立.
【详解】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
27．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用泰勒公式对进行展开，代入公式计算；
（2）利用泰勒公式对进行展开，得到，计算得到，可得结论；
（3）利用阶导数和（2）的结论进行放缩，利用裂项相消进行求和，证得不等式。
【详解】（1）由泰勒公式知，①
于是有；
（2）由上得，②
由①②得，
，
所以，
即；
（3）当为偶数时，为奇数时，．
故原式可化为，③
由上题可知，
故有，③式．
28．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数在处的泰勒展开式的公式即可求解；
（2）把在处的泰勒展开式中的替换为，利用复数的运算法则进行化简整理可得，从而即可证明；
（3）根据在处的泰勒展开式，先证恒成立，再证，恒成立，然后分和两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）解：因为函数在处的泰勒展开式为（其中表示的n次导数），
所以，，在处的泰勒展开式分别为：
，
，
；
（2）证明：把在处的泰勒展开式中的替换为，可得
，
所以，即；
（3）解：由在处的泰勒展开式，先证，
令，
，易知，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，易得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以 恒成立，
当时， ，所以成立，
当时，令，，易求得，
所以必存在一个区间，使得在上单调递减，
所以时，，不符合题意.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据在处的泰勒展开式，先证恒成立，再证，恒成立，从而即可求解.
29．(1)证明见解析
(2)（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”
【分析】（1）利用来证得结论成立.
（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.
（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.
【详解】（1）由已知当时，，
得，
所以当时，.
（2）（i）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在单调递增，
于是，即是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.
（ii）时，假设存在，则由知
若，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在“和谐区间”，
同理，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.
若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，所以
，于是，
若即，则，故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”.
【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.
30．（1）；；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，、和都不小于其在处的阶泰勒展开式，可直接证得不等式成立；②当时，根据，将不等式变为，令，利用导数可证得，由此可证得不等式成立.
【详解】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，.
（3）令，则，
，在上单调递增，又，
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，
①由（2）知：当时，，
当时，；
②由（2）知：当时，，
，
令，则，
在上单调递减，，即当时，，
，；
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
31．(1)结论见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求函数，的导函数，，再求，的解，分区间研究函数，的单调性和极值；
(2)①不妨设，，根据函数的单调性结合零点存在性定理确定的范围，再证明，要证明，只需证明，即可完成证明；
②同①可以证明，要证明只需证明，其中，再利用导数证明求其最大值，并证明最大值小于即可.
【详解】（1）由已知，该函数的定义域为，
所以，
当时，，
令，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，其中，
所以为函数的极小值点， 极小值为，
函数没有极大值点；
由已知，该函数的定义域为，
所以，
设，则，
所以函数在单调递增，
又，，
所以存在，，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，
所以为函数的极小值点，极小值为，
函数没有极大值点，
（2）①由(1)可得，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，，且，
又，
所以函数有且仅有两个零点，不妨设，
则，，
当时，，该函数的定义域为，
所以，
设，则，
所以函数在单调递增，
又，，
所以存在，，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，，
，，
所以函数有两个零点，不妨设，
则，
因为为的零点，所以，
令，则，
所以，
所以，所以为函数的零点，
又，所以，同理可得，
所以，
要证明，只需证明，
只需证明，
而，，所以，
所以；
②同①可得函数有且仅有两个零点，设其较小零点为，
因为，
因为，故，所以
，，
则，，
函数有两个零点，设其较小零点为，则，
要证明，只需证明，
只需证明，设，则，
只需证明，
只需证明，
设，，
则，
设，则，
所以函数，即函数在上单调递增，
所以，，
所以
所以在上单调递增，
所以当时，，
又，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
所以
【点睛】利用导数研究函数的零点，一般考虑先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在性定理确定零点的范围.
32．(1)0.48；
(2)，证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用泰勒公式即可估算的值；
（2）构造函数，，并利用导数求得最小值，进而得到与的大小关系；
（3）利用（2）中结论得到不等式结合裂项相消法对进行放缩变化，进而证得题给不等式成立.
【详解】（1）令，则，，
，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故．
（2）结论：，证明如下：
令，，则
令，则，
故在上单调递增，，则
故在上单调递增，，
即证得，故．
（3）由（2）可得当时，，
且由得，当且仅当时取等号，
故当时，，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得．
33．(1)
(2)；
(3)证明见解析
【分析】（1）分别代入公式计算即可；
（2）由麦克劳林公式中取，计算即可；
（3）首先利用麦克劳林公式猜想和，再构造函数求导证明猜想；然后得到，最后令，代入上式经过拆项可得，即可证明.
【详解】（1）因为，
所以，
，
，
所以．
（2）由麦克劳林公式，令，有
再取，可得，
所以估算值为．
在中，取，可得.
（3）证明：由麦克劳林公式，当时，令，有，猜想：
令，有，猜想：
令，由，所以，即．
令，由，
再令，则恒成立，
所以在上为增函数，且，
所以在上为增函数，
所以，即．
又时，，，所以.
令， 当，有，
则，命题得证．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能根据麦克劳林公式得到当时，得到，再令，裂项证明.
34．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）方法一，由泰勒公式得，两边取对数证得结果；方法二设，利用导数求函数的单调性及最值得出结果.
（2）先进行不等式放缩，再结合得出得证；
（3）用反证法．假设e是一个有理数，则必存在两个正整数a，b，使得，从而对任意的正整数，成立，结合泰勒公式得出，再进行不等式放缩得出结论．
【详解】（1）方法一，当时，由泰勒公式得，两边取对数，得．
方法二，设，
，所以函数在单调递减，
所以，即.
（2）因为
由（1）知当时，，当取等号；
令，则，即．
因此，．
（3）用反证法．假设e是一个有理数，则必存在两个正整数a，b，使得，即．
从而，对任意的正整数，成立①．
式①右边为正整数，从而其左边也应为正整数．
但由泰勒公式知
故②
式②的第一项显然是正整数，现在证明其第二项当n适当大时绝不可能是正整数，这就导出了矛盾，
注意到．
于是有，
从而当适当大时，式②右边的第二项绝不可能是正整数．
【点睛】第二问关键点点睛：
关于数列不等式的放缩，主要找到其通项，对导数不等式进行赋值放缩，然后再求和(或积)得出结果.
35．(1)0
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）函数在区间上的极值点的个数等价于其导函数在上的变号零点的个数，即可求出其导函数，再借助导数研究其导函数的单调性即可得解；
（2）（i）构造函数，借助导数结合题意可得，在构造相应函数多次求导即可得解；（ii）由，可将原问题转化为证明，结合（1）中及（i）中所得，可得，，即可得证.
【详解】（1），
令，则，
当时，，，则在上恒成立，
故在上单调递减，即有在上单调递减，
则，
故函数在区间上没有极值点；
（2）（i）令，其中，，
则，
又当时，，
则
，
即，
令，
则，
令，
则，
由，故，又，
故恒成立，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
即在上单调递增，故，
即在上恒成立，故在上单调递增，
则，即；
（ii）由，，
故要证，即证，
即证，只需证，
由（1）知，当时，，
则可令，此时，
则，即，
即，即，
故只需证，
令，，则，
由（i）知，当时，，
即，即，故在上单调递增，
故，即，即得证.
【点睛】关键点点睛：（i）问中关键点在于借助题目所给条件：当时，，从而构造函数，得到，即可借助导数求单调性；（ii）问中关键点在于将原问题转化为证明，从而结合（1）中与（i）中所得证明与.
36．(1)
(2)，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值；
（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.
【详解】（1）记，则，
，
所以，
因为，
所以且，
，．
（2）令，则，
恒成立，在递增，在递增，
在递增，，
即.
（3）由题，，则，则，
令，
易得在上递增，在上递减，从而，
即当且仅当时取等号），
，
即，
，
，得证．
【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.
37．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）设，利用导数求出其最小值，即可得证；
（2）先由泰勒公式求出，再放缩即可得证；
（3）由（2）可得当时，，再分和两种情况讨论，即可得证.
【详解】（1）设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，即；
（2）由泰勒公式知①，
于是②，
由①②得，
，
所以，
即；
（3）由（2）知，
所以当时，，
由此可知，当时，有对恒成立，
下面证明：当时，对不恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
令，即，
解得或．
因为当时，，故舍去，
所以当时，，得在上单调递减，
故，即，
从而在上单调递减，故，
即，
因此在上单调递减，所以，矛盾，
所以当时，对不恒成立，
综上，的最大值是1．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.