新高中数学压轴题二轮专题专题12帕德逼近与不等式证明试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题12帕德逼近与不等式证明试题含解析答案，共68页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围；
(2)记两个极值点为，且. 若，证明：.
2．已知函数，其中．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数存在两个不同的极值点，，证明：．
3．已知函数有两个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
4．已知函数，其中为常数．
(1)若恰有一个解，求的值；
(2)若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；
若恰有两个零点，，求证：．
5．已知函数.
（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.
6．设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)时， 若， 求证：.
7．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
(3)若正实数满足，证明：．
8．已知函数，其中．
(1)求的极值；
(2)设函数有三个不同的极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：．
9．已知函数.
(1)若，求的图象在处的切线方程;
(2)若有两个极值点，证明:.
10．已知，且在处的切线与直线平行.
(1)求的值，并求此切线方程；
(2)若，且有两个不相等的实数根，，且，求证：
11．已知函数有两个极值点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：.
12．已知函数为自然对数的底数，.
(1)判断的零点个数；
(2)设是的两个零点，证明：.
13．已知函数恰有两个零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)若函数，求证：在上单调递减；
(3)证明：．
14．已知函数.
(1)若方程有3个零点，求实数的取值范围；
(2)若有两个零点，求证：，且.
15．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，.已知在处的阶帕德近似为.注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：.
16．已知函数有两个不同的零点，．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
17．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：，，，…，．
（注：，，，…的导数）
已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a，b的值；
(2)当，恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：，．
18．已知函数在点处的切线方程为：.
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：；
(3)若方程有两个实数根,且，证明：.
19．帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，…
(1)求实数的值；
(2)当时，试比较与的大小，并证明；
(3)定义数列：，，求证：.
20．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
21．帕德近似（Pade apprximatin）是有理函数逼近的一种方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，….又函数，其中.
(1)求实数，，的值；
(2)若函数的图象与轴交于，两点，，且恒成立，求实数的取值范围.
22．帕德近似是法国数学家亨利.帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，.（注：为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值；
(2)比较与的大小；
(3)证明：.
23．已知曲线在点处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)求的单调区间；
(3)已知，且，证明：对任意的，．
24．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
25．已知定义域均为的两个函数，．
(1)若函数，且在处的切线与轴平行，求的值；
(2)若函数，讨论函数的单调性和极值；
(3)设，是两个不相等的正数，且，证明：．
26．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似.
(2)在（1）的条件下： ①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
27．已知函数，其中.
(1)求曲线在处的切线方程，并证明当时，；
(2)若有三个零点，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
28．已知函数．
(1)若有三个零点，求的取值范围；
(2)设的三个零点分别为，求证：；
(3)设的三个零点分别为，求证：．
29．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；
(2)当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)证明：
30．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
31．设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有3个极值点，，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
32．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)设为实数，讨论方程的解的个数.
33．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.其中，，…，.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数a，b的值；
(2)设，证明：；
(3)已知是方程的三个不等实根，求实数的取值范围，并证明：.
参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将在有两个不同根转化为方程在有两个不同根，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而求出的取值范围；
（2）两边取对数，将证明转化为证明，再利用（1）合理转化，将问题转化为证明恒成立，再通过求其最值进行证明.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，，
方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根，
即方程在有两个不同根，
令，，则，
则当时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，当时，，当时，，
所以的取值范围为；
（2）要证，两边取对数，等价于要证，
由（1）可知，分别是方程的两个根，
即，
所以原式等价于，因为，，
所以原式等价于要证明.
又由，作差得，，即.
所以原式等价于，令，，
则不等式在上恒成立.
令，，
又，
当时，可见时，，
所以在上单调增，
又，，
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
2．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据导数的正负即可确定单调性，
（2）根据极值点将问题转为存在两个不同的正实数根，，构造函数，利用导数求解即可.
【详解】（1）当时,函数的定义域为，
且．
由，得．
随着的变化，，的变化情况如下：
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意，得，．
由存在两个不同的极值点，得存在两个不同的正实数根，
即方程存在两个不同的正实数根，，
所以，即．
又因为，，，，
所以
．
令，其中，
由，得在上单调递增，
所以，即
3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先分离参数将函数的零点个数转化为方程根的个数，构造函数，求其单调性、最值即可得的取值范围；
（2）法一、根据第（1）问得到的取值范围，令，通过比值换元将问题化为证，构造函数求其导函数、单调性最值即可；法二、根据第（1）问得到的取值范围，先判定结论成立，再利用函数的单调性将所证不等式转化为函数不等式来判定时是否成立，通过构造，利用导数研究其单调性及最值即可.
【详解】（1）由得，
则由有两个零点知方程有两个不同的实数根．
令，则，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
而，当时，，当时，，
故，即，实数的取值范围为．
（2）法一、
由（1）知，令，则．
由得，
要证，只需证，
只需证，即证，
即证．
令，
则，
令，，则，
所以单调递增，即，
故在上恒成立，
即在上单调递减，故，得证．
法二、
由（1）知，
当时，显然．
当时，则，
要证，只需证，
又且在上单调递增，
故只需证，即证，
即证，即证，
令，
则，
令，
则，在上单调递减，
所以，故，所以在上单调递减，则，
又，所以当时，，即．
【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同变量，处理此类问题有两个策略：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的等式，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；
二是巧妙构造函数，再利用导数判断函数的单调性，从而求其最值．
4．(1)
(2)单调递增；证明见解析
【分析】（1）通过导数求得函数的单调性求得函数的最大值（1），讨论三种情况下函数的零点个数，进而得出结果.
（2）由已知可得，求导可判断恒成立，即可得出结论；恰有两个零点，等价于，有两解，.由，可得（记．进而可得，由单调递增．
可得，则有，化简可得，同理．化简计算可证得结果.
【详解】（1），令，解得：，
当时，，在递增，
当时，，在递减，
（1），
①当，解得：，此时最大值点唯一，符合题意，
②当，即时，恒成立，不符合题意，
③当，即时，，，，
，（易证，
有2个零点，不符合题意，
综上：；
（2）由，
得：，
函数的定义域是，且，
，
在单调递增；
，故，也是的两个零点．
由，得（记．
可知，是的唯一最大值点，故有，
由可知，单调递增．
当时，；当时，．
于是，．
整理，得，
即．
同理．
故，
即，
于是．
【点睛】思路点睛：本小题主要考查利用导数证明函数的单调性问题，利用导数研究函数零点问题及证明不等式问题.要注意分类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
5．(1) (2)见解析
【详解】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数m进行讨论得出函数的单调性,根据零点存在性定理判断零点的个数,求出m的取值范围;(2) 记函数，，则函数的两个相异零点为,将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导数求最值的方法证得命题成立.
试题解析:
（1）由题意知的定义域为，
且.
①当时，，在区间上单调递增，
又，，
∴，即函数在区间有唯一零点；
②当时，，
令，得.
又易知函数在区间上单调递增，
∴恰有一个零点.
③当时，令，得，
在区间上，，函数单调递增；
在区间上，，函数单调递减，
故当时，取得极大值，
且极大值为，无极小值.
若恰有一个零点，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）记函数，，
则函数的两个相异零点为
不妨设，
∵，，
∴，，
两式相减得，
两式相加得.
∵，
∴要证，即证，
只需证，
只需证，
即证，
设，则上式转化为，
设，，
∴在区间上单调递增，
∴，∴，
即，即.
点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本题也考查了零点存在性定理的应用,如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.
6．(1)当 时，在上单调递增；
当 时，在和上单调递增， 在单调递减；
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得令，则，根据则的正负确定则的单调性及最小值为，即的最小值为，分、确定的正负，即要确定的单调性；
(2)令，则有，，从而可得在上单调递增；要证，即证,由当时，在上单调递增，转证，由在上单调递增及即要得证.
【详解】（1）解：因为，
所以
令，
则，
令，得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
所以，
当时，，
即， 则在上单调递增；
当时，，
易知当趋于时，趋于，
当趋于时，趋于，
由零点存在性定理知， ， 不妨设， 使得，
当 时，， 即，
当 时，， 即
当 时，， 即
所以 在和上单调递增， 在单调递减；
综上所述：当 时，在上单调递增；
当 时，在和上单调递增， 在单调递减；
（2）证明： 构造函数，
+ -2，，
整理得 ，
，
(当时等号成立)，
所以在上单调递增， 则，
所以在上单调递增，，
这里不妨设， 欲证，
即证,
由 (1) 知时，在上单调递增，
则需证，
由已知，
所以有，
只需证，
即证 ，
由在上单调递增， 且时，
有，
故 成立，
从而，得证.
7．(1)
(2)
(3)见解析.
【分析】（1）求出导数，计算出斜率，由点斜式即可得出答案.
（2）令，将题意转化为，利用导数讨论的单调性，对分类讨论，即可得出答案.
（3）由题意可得，令，则由，根据函数的单调性证明即可.
【详解】（1）因为，，，
所以切线方程为，即.
（2）令，
所以 ，
当时，因为，所以，所以是上的递增函数，
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，，
令，得，所以当时，；
当时，，
因此函数在上是增函数，在上是减函数，
故函数的最大值为.
令，则在上是减函数，
因为，，
所以当时，，所以整数的最小值为．
（3）由，得
，
从而，
令，则由，得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以，又，
因此成立.
【点睛】本题以函数解析表达式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用．求解第一问时，依据题设条件运用导数的几何意义求解；第二问的求解则是先将题设中的不等式进行转化，再构造函数运用导数进行求解；第三问的求解则是先将问题进行等价转化，再构造函数运用导数知识求解，从而使得问题简捷、巧妙地获解．
8．(1)，无极大值；
(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由题可得在单调递增，进而可得在单调递减，在单调递增，即得；
（2）（i）由题可知有三个不同的正实根，令进而构造，可得有两个不同的正实根，再利用二次方程根的分布即得；（ii）令、,则、为的正实根，再利用导数解决双变量问题，可得，进而即证.
【详解】（1）由题可得，
∴在单调递增，
∵，
∴时，时，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，无极大值；
（2）（ⅰ），
由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，
∴有两个不同的正实根，
∴
∴，
设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，
又∵，∵，且，
∴有三个不同的正实根，满足题意，
∴a的取值范围是；
（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，
令，则，，
令在单调递增、，
∴在单调递减，在单调递增，
令，则
，
∵，∴，
令，，
∴在单调递增，
∴，∴在单调递减，
∵，∴，
∵，∴，
∵在单调递增，
∴，
∴.
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
9．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，求出，再由导数的几何意义求解即可；
（2）根据给定条件可得有两个不相等的正实数根，转化为有两个不相等的正实数根，即.要证，即证