新高中数学压轴题二轮专题专题14洛必达法则的应用试题含解析答案

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一、解答题
1．若不等式对于恒成立，求的取值范围.
2．已知函数在处取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；
（3）证明：．
3．已知函数．
（1）求的单调性；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
4．已知.
（1）求的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
5．已知函数．
(1)求函数的图象在点的切线方程；
(2)设函数，当时，恒成立，求实数a的取值范围．
6．作出函数的图象．
7．设函数，若当时，求的取值范围．
8．已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
9．已知函数，若时，求的最小值．
10．已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
11．已知函数，，恒成立，求a的取值范围．
12．设函数，其中是的导函数.
，
(1)求的表达式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，比较与的大小，并加以证明.
13．若不等式对于恒成立，求的取值范围？
14．已知函数.
(1)若在时有极值，求函数的解析式；
(2)当时，，求的取值范围.
15．设函数.设当时，，求的取值范围.
16．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
17．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数，满足下列条件：
①，；
②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数；
③，其中A是某固定实数；
则.”
那么，假设有函数，.
(1)若恒成立，求t的取值范围；
(2)证明：.
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
19．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
20．已知函数，，若对于任意恒成立，求的取值集合．
21．已知函数
（I）求证
（II）若取值范围.
22．已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）用分别表示,；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
23．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若时，，求实数a的取值范围；
(3)求证：．
24．已知函数=.
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，,求的最大值；
（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
25．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
26．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：
①且（或，）；
②在点的附近区域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为），则．
(1)用洛必达法则求；
(2)函数（，），判断并说明的零点个数；
(3)已知，，，求的解析式．
参考公式：，．
27．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)记，；求证：.
28．设函数，曲线恒与x轴相切于坐标原点．
(1)求常数b的值；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：恒成立．
29．设函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
30．设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
31．已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.
32．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i）四则运算法则：如果，，则，，若，则；ii）洛必达法则1：若函数，的导函数分别为，，且，则；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
33．已知函数.
（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.
34．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围．
35．已知函数，.
(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.
36．已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)求证：存在唯一的极小值点，且；
(3)设，.对，恒成立，求实数的取值范围.
37．设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求实数的取值范围．
参考答案：
1．
【分析】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围.
【详解】当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，，
所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.
因此在上单调递减，且，
故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有，
即趋向于0时，趋向，即有.
故时，不等式对于恒成立.
2．（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据极值的定义可知，，进而求出，的值；
（2）整理不等式得在恒成立，构造函数，可知，故只需函数为增函数即可，求出导函数，对参数进行分类讨论，得出的范围；
（3）令上式中得在区间上恒成立，根据题型，令，利用累加和放缩法证明结论即可．
【详解】解：（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，，
解得，，经检验符合题意．
（2）由（1）得，所以，
所以在上恒成立，
即在恒成立．
设，则，
，．
设，
①当，即时，，
所以，在上单调递增，
所以，即当时，满足题设条件．
②当，即时，
设，是方程的两个实根，且，
由，可知，
由题设可知，当且仅当，即，即，
即时，对任意有，
即在上恒成立，
所以在上为增函数，所以．
所以时，也满足题设条件．
综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为1．
（3）证明：由（2）知，当时，，
即在区间上恒成立．
令，得．
所以当时，
当时，原不等式显然成立，∴原不等式得证.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（1）函数在上单调递增；（2）.
【分析】（1）求导判断函数单调性；
（2）分类讨论：当时，由不等式的性质可以直接判断；当时，构造函数，令其最小值大于等于0即可求解.
【详解】解：（1）由题意，，．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
从而，所以函数在上单调递增．
（2）由题意，对恒成立．
当时，，，，符合题意．
当时，可化为，
令，，
则，其中．
令，，则在上单调递增，
当时，，
所以对，，从而在上单调递增，
所以对任意，，
即不等式在上恒成立．
当时，，及在上单调递增，
所以存在唯一的使得，且当时，，
从而当时，，所以在上单调递减，
则当时，，即，不符合题意．
综上所述，的取值范围为．
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
4．（1）增区间为，无减区间；（2）.
【分析】（1）由解析式知定义域为，，令，应用导数研究的单调性，进而判断的单调区间；
（2）法一：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数并结合分类讨论的方法研究的单调性，进而求的范围；法二：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究的单调性，求的范围；法三：分离常量法得在上恒成立，令应用导数研究的单调性，求的范围；
【详解】（1）由解析式知：的定义域为且，
令，则
∴当时，；当时，，
∴在单调递减，在单调递增，即，
∴在上单调递增，即的增区间为，无减区间.
（2）解法1：直接求导，分类讨论.
对任意，不等式恒成立等价于对任意，不等式恒成立.
令，则，
令，则，由知：，
①当，即时， 即，即在上单调递减，又，
∴时，，即在上单调递减，又，
∴时，，符合题意.
②若，即，
当时，，
∴在单调递增，即时，，
故不恒成立，不合题意.
③若，则恒成立，所以在单调递增.
∴时，，即在单调递增，
又时，，即恒成立，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
解法2：
对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.
令，则，记，
①当时，，此时，在单调递减，又，
所以时，，即对任意，恒成立.
②当时，，在上单调递增，又，
所以时，，即对任意，恒成立，不符合题意.
③时，不等式化为，显然不成立.
④当且时，方程的二根为，，
若，，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立；
若，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立.
综上所述，的取值范围是.
解法3：参数分离
当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.
记，则
，
记，
则，
所以在单调递减，又，所以，时，，即，
所以在单调递减.所以，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：
（1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间；
（2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法结合极限思想，求参数范围.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先不等式转化为恒成立，再构造函数，利用导数讨论函数的单调性，转化为证明.
【详解】（1），，，
根据导数的几何意义即可求出，所求切线方程为；
（2）若对任意的，恒成立，
则恒成立，
设，
只需即可，
由，
（ⅰ）当时，，
当时，，函数在上单调递减，
故，满足条件，
（ⅱ）当时，令，解得：，
① 若时，即，在区间上，，
则函数在上单调递增，
，当且仅当时，等号成立，此时不满足条件，
② 若时，即，
函数在上单调递减，在区间上单调递增，
，此时不满足条件，
（ⅲ）当时，由，
所以，
所以，函数在上单调递减，
故，满足条件，
综上可知，实数的取值范围是
6．图象见解析
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，求出最值和特殊点即可
【详解】的定义域为R，．
当时，；当时，．
因此，在上单调递减，在上单调递增．
所以，的值域为．
，根据洛必达法则有．
因为，所以的图象过原点，
的大致图象如图所示．
7．
【分析】方法一：令，所以，，再对分和两种情况讨论判断是否成立即得解.
【详解】[方法一]：由题得，
令，所以，
当时，恒成立，仅当时，
在单调递增，所以，
所以函数在上单调递增.
所以满足题意；
当时，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以函数在单调递减，
又，所以函数在上，与已知矛盾，不合题意，所以舍去.
综上所述：.
[方法二]：，由指数不等式，当且仅当时，等号成立．
得，从而当，即时，，
而，于是当时，．
由可得
从而当时，1），
故当时，，而，当时，0，不合题意．
综合得的取值范围为．
8．
【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案.
【详解】当时，，即，
①当时，，，
②当时，等价于，
即，
令，，则，
记，，
则，因此在上单调递增，
且，所以， 从而在上单调递增，
所以，
由洛必达法则得，
即，.
综上所述，实数a的取值范围为.
9．
【分析】第一步：泰勒展开放缩得必要性范围，第二步：常规讨论验证，即可求得结果.
【详解】第一步：泰勒展开放缩得必要性范围．
要在时恒成立，
利用不等式，有，该不等式在时取等号，
对上式进行放缩，利用求的最小值．
当时，上式化简为，此时．当时，上式化简为，则有．
第二步：常规讨论验证．
由已知，，且，
若，则当时，，所以当时，，
若，则当时，，所以当时，.
所以当时，若，则，其最小值为．
综上所述，的最小值为．
10．（1）（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）