所属成套资源:新高考高中数学压轴题二轮专题数学试题含解析答案
新高中数学压轴题二轮专题专题17解析几何中动点轨迹(方程)试题含解析答案
展开
这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题17解析几何中动点轨迹(方程)试题含解析答案,共68页。试卷主要包含了解答题等内容,欢迎下载使用。
一、解答题
1.设直线与抛物线相交于不同两点、,为坐标原点.
(1)求抛物线的焦点到准线的距离;
(2)若直线又与圆相切于点,且为线段的中点,求直线的方程;
(3)若,点在线段上,满足,求点的轨迹方程.
2.设异面直线与所成的角为,公垂线段为,且,、分别直线m、n上的动点,且,为线段中点,建立适当的平面直角坐标系可确定点的轨迹方程.
(1)请根据自己建立的平面直角坐标系求出.
(2)为的任意内接三角形,点为的外心,若直线的斜率存在,分别为,,,,证明:为定值.
3.已知椭圆C:1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.
4.已知抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为.
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上一点作抛物线的切线,分别交轴于点,交轴于点.点在抛物线上,点在线段上,满足能;点在线段上,满足,且,线段与交于点,当点在抛物线上移动时,求点的轨迹方程.
(3)将向左平移个单位,得到,已知,,过点作直线交于.设,求的值
5.如图所示,C为半圆锥顶点,O为圆锥底面圆心,BD为底面直径,A为弧BD中点.是边长为2的等边三角形,弦AD上点E使得二面角的大小为30°,且.
(1)求t的值;
(2)对于平面ACD内的动点P总有平面BEC,请指出P的轨迹,并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由.
6.已知圆的方程,,,抛物线过两点,且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程;
(2)已知, 设x轴上一定点, 过T的直线交轨迹C于 两点(直线与轴不重合),求证:为定值.
7.已知椭圆的一个焦点为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.
8.已知是圆:上的动点,点,直线与圆的另一个交点为,点在直线上,,动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若过点的直线与曲线相交于,两点,且,都在轴上方,问:在轴上是否存在定点,使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
9.如图,已知动圆过定点且与轴相切,点关于圆心的对称点为,点的轨迹为.
(1)求曲线的方程;
(2)一条直线经过点,且交曲线于、两点,点为直线上的动点.
①求证:不可能是钝角;
②是否存在这样的点,使得是正三角形?若存在,求点的坐标;否则,说明理由.
10.在平面直角坐标系中,椭圆,圆为圆上任意一点.
(1)过作椭圆的两条切线,当与坐标轴不垂直时,记两切线斜率分别为,求的值;
(2)动点满足,设点的轨迹为曲线.
(i)求曲线的方程;
(ii)过点作曲线的两条切线分别交椭圆于,判断直线与曲线的位置关系,并说明理由.
11.如图,在长方体中,,,记M为棱BC的中点,若动点P在平面上运动,并满足,
(1)求点P的轨迹与侧面相交所形成的曲线长度:
(2)在点P运动过程中,平面ADP与平面MCP是否能形成直二面角?若能求出点P的位置;若不能,说明理由;
(3)过点D做的角平分线l,E,F为直线l上的两点,且对任意的点P都有,求线段EF长度的最小值.
12.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体,例如表示过点的直线,直线的包络曲线定义为:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆是直线族的包络曲线,求满足的关系式;
(2)若点不在直线族:的任意一条直线上,求的取值范围和直线族的包络曲线;
(3)在(2)的条件下,过曲线上两点作曲线的切线,其交点为.已知点,若三点不共线,探究是否成立?请说明理由.
13.在空间解析几何中,可以定义曲面(含平面)的方程,若曲面和三元方程之间满足:①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解;②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上,则称曲面的方程为,方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为,双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面,已知直线过C上一点,且以为方向向量.
(1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线,并说明理由;
(2)证明:直线在曲面上;
(3)若过曲面上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面上.设直线在曲面上,且过点,求异面直线与所成角的余弦值.
14.已知定点,点D是直线上一动点,过点D作l的垂线,与线段的中垂线交于点M,动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)不过点的直线与曲线C交于A,B两点,以为直径的圆经过点P,证明:直线过定点.
15.已知,M为平面上一动点,且满足,记动点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若,过点的动直线交曲线E于P,Q(不同于A,B)两点,直线AP与直线BQ的斜率分别记为,,求证:为定值,并求出定值.
16.已知平面向量中有如下两个结论:
结论1:若、是不共线的两个平面向量,,则A、B、C三点共线的充要条件是;
结论2:若、是不共线的两个平面向量,,若点P在与AB平行的直线上,则(为定值).
将上述两个结论推广至空间向量(无需写出推广结论)解决以下问题:
已知、、是两两垂直的单位向量,P是空间中一点.
(1)若且,求的最小值;
(2)若且满足,求动点P的轨迹所围成的区域的体积.
17.已知O为坐标原点,抛物线的方程为,F是抛物线的焦点,椭圆的方程为,过F的直线l与抛物线交于M,N两点,反向延长,分别与椭圆交于P,Q两点.
(1)求的值;
(2)若恒成立,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,若的最小值为1,求抛物线的方程(其中,分别是和的面积).
18.已知的其中两个顶点为,点为的重心,边,上的两条中线的长度之和为,记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)过点作斜率存在且不为0的直线与相交于两点,过原点且与直线垂直的直线与相交于两点,记四边形的面积为S,求的取值范围.
19.我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线,都有令人惊奇的光学性质,且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点(如图所示,其中是反射镜面也是过点处的切线).已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处(点P在第一象限),经双曲线反射后过点.
(1)请根据双曲线的光学性质,解决下列问题:
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
20.(1)如图1,点A在直线l外,仅利用圆规和无刻度直尺,作直线(保留作图痕迹,不需说明作图步骤).
(2)证明:一簇平行直线被椭圆所截弦的中点的轨迹是一条线段(不含端点);
(3)如图2是一个椭圆C,仅利用圆规和无刻度直尺,作出C的两个焦点,简要说明作图步骤(只说明作图步骤).
21.设点是直线上的一个动点,为坐标原点,过点作轴的垂线.过点作直线的垂线交直线于.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过曲线上的一点(异于原点)作曲线的切线交椭圆于,两点,求面积的最大值.
22.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是线段AB、CD的中点,,,将沿DM翻折,在翻折过程中A点记为P点.
(1)从翻折至的过程中,求点P运动的轨迹长度;
(2)翻折过程中,二面角P−BC−D的平面角为θ,求的最大值.
23.已知抛物线的焦点为,为上任意一点,且的最小值为1.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知为平面上一动点,且过能向作两条切线,切点为,记直线的斜率分别为,且满足.
①求点的轨迹方程;
②试探究:是否存在一个圆心为,半径为1的圆,使得过可以作圆的两条切线,切线分别交抛物线于不同的两点和点,且为定值?若存在,求圆的方程,不存在,说明理由.
24.已知圆:,点是圆上的动点,点是圆内一点,线段的垂直平分线交于点,当点在圆上运动时点的轨迹为.
(1)求的方程;
(2)为直线:上的动点,、为曲线与轴的左右交点,、分别与曲线交于、两点.证明:为定值.
25.已知圆,过的直线与圆交于两点,过作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于,连接弦的中点和的中点交曲线于,若,求的斜率.
26.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:如图用一张圆形纸片,按如下步骤折纸:
步骤1:设圆心是,在圆内异于圆心处取一定点,记为;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点(即折叠后图中的点与点重合);
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与的交点为;
步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.
现取半径为4的圆形纸片,设点到圆心的距离为,按上述方法折纸.以线段的中点为原点,线段所在直线为轴建立平面直角坐标系,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为点,,为直线上的一动点(点不在轴上),连接交椭圆于点,连接并延长交椭圆于点.是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
27.已知抛物线的焦点为, 过的直线交于两点, 过与垂直的直线交于两点,其中在轴左侧,分别为的中点,且直线过定点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为直线与直线的交点;
(i)证明在定直线上;
(ii)求面积的最小值.
28.已知平面直角坐标系中,椭圆与双曲线.
(1)若的长轴长为8,短轴长为4,直线与有唯一的公共点,过且与垂直的直线分别交轴,轴于点两点,当运动时,求点的轨迹方程;
(2)若的长轴长为4,短轴长为2,过的左焦点作直线与相交于两点(在轴上方),分别过作的切线,两切线交于点,求面积的最小值.
29.如图,在四棱锥中,PA面ABCD,ABCD,且CD=2,AB=1,BC=,PA=1,ABBC,N为PD的中点.
(1)求证:AN平面PBC;
(2)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是?若存在,求出的值,若不存在,说明理由;
(3)在平面PBC内是否存在点H,满足,若不存在,请简单说明理由;若存在,请写出点H的轨迹图形形状(不必证明).
30.已知平面内定点是以为直径的圆上一动点(为坐标原点).直线与点处的切线交于点,过点作轴的垂线,垂足为,过点作轴的垂线,垂足为,过点作的垂线,垂足为.
(1)求点的轨迹方程;
(2)求矩形面积的最大值;
(3)设的轨迹,直线与轴围成面积为,甲同学认为随的增大,也会达到无穷大,乙同学认为随的增大不会超过4,你同意哪个观点,说明理由.
31.设A,B是双曲线H:上的两点.直线l与双曲线H的交点为P,Q两点.
(1)若双曲线H的离心率是,且点在双曲线H上,求双曲线H的方程;
(2)设A、B分别是双曲线H:的左、右顶点,直线l平行于y轴.求直线AP与BQ斜率的乘积,并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程;
(3)设双曲线H:,其中,,点M是抛物线C:上不同于点A、B的动点,且直线MA与双曲线H相交于另一点P,直线MB与双曲线H相交于另一点Q,问:直线PQ是否恒过某一定点?若是,求该定点的坐标;若不是,请说明理由.
参考答案:
1.(1)2;(2),;(3)
【详解】试题分析:(1)根据题意,由抛物线的方程分析可得的值,即可得答案;(2)根据题意,设直线的方程为,分与两种情况讨论,分析的取值,综合可得可取的值,将的值代入直线的方程即可得答案;(3)设直线,设、,将直线的方程与抛物线方程联立,结合,由根与系数的关系分析可得答案.
试题解析:(1)∵抛物线的方程为
∴抛物线的焦点到准线的距离为2
(2)设直线
当时,和符合题意;
当时,、的坐标满足方程组,
∴的两根为、,,
∴,
∴线段的中点
∵,
∴,得
∴,得
∵
∴(舍去)
综上所述,直线的方程为:,
(3)设直线,
、的坐标满足方程组,
∴的两根为、
,,
∴,得或
时,直线AB过原点,所以;
时,直线AB过定点
设
∵,
∴(),
综上,点的轨迹方程为
点睛:本题主要考查直线与圆相切,求直线方程,分类讨论,轨迹方程的求法等,属于中档题.注意解决本类问题时,要使用直线和圆相切的性质,设直线时注意分类讨论,严防漏解,求轨迹方程时一般先设出动点坐标,再根据条件建立关于的关系,化简即可求出轨迹方程.
2.(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)过作直线,求出点在直线确定的平面上的投影与点的距离,再建立坐标系,求出轨迹方程.
(2)设出点的坐标,及以点为圆心的圆的方程,利用点差法借助斜率坐标公式推理计算即得.
【详解】(1)过作直线,则直线的夹角为,令它们确定的平面为,有,
过作,交直线于点,连接,于是,而,则,
取的中点,而是线段的中点,连接,则,,
显然四边形为矩形,,而,因此,
点在移动过程中,点到平面的距离,于是点轨迹所在平面平行于,
点轨迹与点的轨迹形状完全相同,在平面内以直线相交构成的两组对顶角的平分线为坐标轴,
建立平面直角坐标系,其中轴与直线都成,令直线的方程分别为,
设,则,即,
由,得,于是,即,
所以方程为.
(2)设,则,
显然中任意两个都不相等,否则外心在轴上,直线斜率不存在,即,
设的外接圆方程为,
得,
两式相减得,
由,得,则有,同理,
两式相减得:,则
因此
,
所以,即为定值.
【点睛】方法点睛:①引出变量法,解题步骤为先选择适当的量为变量,再把要证明为定值的量用上述变量表示,最后把得到的式子化简,得到定值;②特例法,从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.
3.(1);(2)10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.
【解析】(1)根据椭圆的定义求出,根据焦点坐标求出,根据离心率公式求出心率;
(2)由(1)求出椭圆方程,①当直线l与x轴垂直时,求出点Q的坐标为,
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,联立直线与抛物线方程,根据韦达定理以及可得点Q的轨迹方程,根据判别式和点在椭圆内求出的范围.
【详解】(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|==2,
所以a=.
又由已知,得c=1,
所以椭圆C的离心率e=.
(2)由(1)知,,所以椭圆C的方程为.
设点Q的坐标为(x,y).
①当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为,
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),
则,,
又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.
由,得=+,
即.①
将y=kx+2代入中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.②
由=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=,
代入①中并化简,得x2=.③
因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简,
得10(y-2)2-3x2=18,
由③及k2>,可知0
相关试卷
这是一份高考数学微专题集专题26求动点轨迹方程微点7求动点轨迹方程综合训练(原卷版+解析),共34页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份高考数学微专题集专题26求动点轨迹方程微点5参数法求动点的轨迹方程(原卷版+解析),共24页。
这是一份高考数学微专题集专题26求动点轨迹方程微点2定义法求动点的轨迹方程(原卷版+解析),共39页。