苏科版第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性精品随堂练习题

这是一份苏科版第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性精品随堂练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4 cm，面积为16 cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点，则△CDM周长的最小值为 ( )
A. 6 cmB. 8 cmC. 9 cmD. 10 cm
2.如图，AC与BD相交于点O，∠A=∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是 ( )
A. OA=ODB. AB=CD
C. ∠ABO=∠DCOD. ∠ABC=∠DCB
3.如图，∠AOB=40°，按下面的步骤作图：①在边OA上取一点D，以点O为圆心，OD为半径画弧，交OB于点C，连接CD；②以点D为圆心，DO为半径画弧，交OB于点E，连接DE，则∠CDE的度数为 ( )
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
4.如图，△ABC为等边三角形，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，则图中等边三角形的个数为 ( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°.若某个三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形(无重叠)，则拼成的等腰三角形有 ( )
A. 4种B. 5种C. 6种D. 7种
6.下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A. B.
C. D.
7.如图，在边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB.将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M的运动过程中，线段HN长的最小值是 ( )
A. 54B. 1C. 2D. 52
8.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是( )
A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据尺规作图的痕迹作直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数为 ( )
A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°
10.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论错误的是 ( )
A. ∠BAQ=40°B. DE=12BDC. AF=ACD. ∠EQF=25°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，F，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM.现有下列结论：①DF=DN；②△DMN为等腰三角形；③MD平分∠BMN；④AE=NC.其中正确的结论是 (填序号)．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF.若∠CFE=72°，则∠B= ______°.
13.如图，在△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积为12.若D，E，F分别是三边AB，BC，CA上的动点，则△DEF周长的最小值为 ．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AB上一定点，E，F分别为边AC，BC上的动点．当△DEF的周长最小时，∠FDE的度数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BD，垂足为E.求证：AC=2BE．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=BC=8 cm，BD⊥AC，垂足为D.动点P从点A出发沿边AB向终点B以1 cm/s的速度匀速运动，同时动点Q从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度匀速运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止．连接AQ，交射线BD于点E，连接PE.设点P运动的时间为ts.
(1)若点Q在线段BC上运动，则当t为何值时，∠BPE和∠BQE相等？
(2)试探索S△APE与S△BQE之间的数量关系，并说明理由．
17.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，M为边AB上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P.求证：MP=NP．
18.(本小题8分)
如图，已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，连接BD，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M.求证：M是BE的中点．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
(1)尺规作图：①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；②连接BO并延长，在BO的延长线上截取DO，使得DO=BO；③连接DA、DC(保留作图痕迹，标明字母)．
(2)试判断AD、CD的位置关系，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图，线段OA与射线OB垂直，点P是射线OB上一动点(与O点不重合)，∠OAP的平分线与∠APO的平分线交于点E，与△APO的外角∠OPD的平分线交于点F．
(1)求∠AEP的大小．
(2)当点P在射线OB上运动时，△EPF的形状是否变化？若变化，请写出它的变化规律；若不变，请写出它的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】 提示：连接AD，AM.因为△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，所以AD⊥BC，所以S△ABC=12BC⋅AD=12×4⋅AD=16cm2，所以AD=8 cm.因为EF是线段AC的垂直平分线，所以AM=CM，所以CM+DM=AM+DM≥AD，所以AD的长为CM+DM的最小值，所以△CDM周长的最小值为(CM+DM)+CD=AD+12BC=10cm．
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】D
【解析】提示：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，则∠ABC=70°.(1)取一个△EFD，使△EDF≌△ABC，此时有两种拼图方法：①如图1，将EF与AC拼接在一起：②如图2，将DF与BC拼接在一起．(2)如图3，取一个△EFD，使EF=BC，∠D=20°，∠FED=110°，∠EFD=50°，将EF与BC拼接在一起．(3)如图4，取一个△EFD，使EF=BC，∠F=90°，∠D=80°，∠FED=10°，将EF与BC拼接在一起．(4)如图5，取一个△EFD，使EF=AC，∠F=90°，∠D=40°，∠FED=50°，将EF与AC拼接在一起．(5)如图6，取一个△EFD，使EF=AB，∠EFD=110°，∠D=45°，∠FED=25°，将EF与AB拼接在一起．(6)如图7，取一个△EFD，使AC=EF，∠F=90°，∠D=55°，∠FED=35°，将EF与AC拼接在一起．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】A
【解析】提示：取BC的中点G，连接MG.易证△MBG≌△NBH，所以GM=HN.根据垂线段最短得，当MG⊥CH时，GM的长最短，即HN的长最短．此时因为∠BCH=30°，CG=12BC=52，所以MG=12CG=54，所以HN长的最小值是54．
8.【答案】A
【解析】略
9.【答案】B
【解析】略
10.【答案】D
【解析】略
11.【答案】①②③④
【解析】提示：由条件，得∠AEF=∠C+∠CBE=67.5°，∠AFE=∠DFB=90°−∠CBE=67.5°，所以△AFE是等腰三角形．因为M为EF的中点，所以AM⊥EF，所以∠BAN=∠BNA=67.5°，所以△ABN是等腰三角形．又因为BE平分∠ABC，所以M为AN的中点，因为AD⊥BC，所以DM=MN，所以△DMN为等腰三角形，故②正确；由②可知，BM⊥AN，所以∠DAN+∠AFM=90°，又因为∠FBD+∠BFD=90°，∠BFD=∠AFM，所以∠FBD=∠DAN，易证△BFD≌△AND，得DF=DN故①正确；由②可知△DMN为等腰三角形，∠BNA=67.5°，所以∠MDN=∠MND=67.5°，所以∠DMN=45°，所以DM平分∠BMN，故③正确；由题条件可知AD=DC，由①可知DF=DN，所以AF=CN，又因为AF=AE，所以AE=CN，故④正确．
12.【答案】54
【解析】解：∵AF=EF，
∴∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，
∴∠A=12×72°=36°，
在Rt△ABC中，∠A=36°，
∴∠B=90°−36°=54°．
故答案为：54．
根据等边对等角可得∠A=∠AEF，再根据∠A+∠AEF=∠CFE=72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C=90°，即可求出∠B的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即：等边对等角．
13.【答案】8
【解析】提示：如图，分别作点E关于AB的对称点E′，关于AC的对称点E″，连接E′E″，交AB于点D′，交AC于点F′，连接D′E，EF′，DE′，E″F.由轴对称的性质，得AE=AE′=AE″，∠EAB=∠E′AB，∠EAC=∠E″AC，DE=DE′，EF=E″F.因为∠A=30°，所以∠E′AE″=60°，所以△AE′E″为等边三角形，所以E′E″=AE′=AE.所以△DEF的周长为DE+DF+EF=DE′+DF+E″F≥E′E″=AE(当点D，F分别位于D′，F′处时，等号成立)，当AE⊥BC时，AE长最小．此时S△ABC=12BC⋅AE，即12=12×3AE，解得AE=8，所以△DEF周长的最小值为8．
14.【答案】90°
【解析】提示：分别作点D关于AC的对称点G，关于BC的对称点H，连接GH交AC，BC于点E1，F1，连接DE1，DF1.则DE1=E1G，DF1=F1H，此时△DEF的周长最小，最小值为GH的长．因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠C=∠B=45°.因为DH⊥BC，所以∠BDH=90°−∠B=45°.由外角的性质，得∠BDH=∠DGE1+∠DHF1=45°，因为DE1=E1G，DF1=F1H，所以∠E1DG=∠DGE1，∠F1DH=∠DHF1，所以∠E1DG+∠F1DH=45°，所以∠FDE=180°−∠BDH−∠E1DG−∠F1DH=90°．
15.【答案】证明：过点A作AF/​/BC，交BD的延长线于点F，
所以∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
因为∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠DBC=∠C，
所以∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，
所以AD=DF，AB=AF，
因为AE⊥BD，
所以BE=EF=12BF，
因为AC=AD+CD=DF+BD=BF，
所以AC=2BE．
【解析】首先过点A作AF/​/BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE，即可证得AC=2BE．
此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
16.【答案】【小题1】
由题意，得AP=tcm，BQ=2tcm.因为AB=8 cm，所以BP=AB−AP=(8−t)cm.因为AB=BC，BD⊥AC，所以∠PBE=∠QBE.当∠BPE=∠BQE时，在△BEP和△BEQ中，∠BPE=∠BQE,∠PBE=∠QBE,BE=BE,所以△BEP≌△BEQ(AAS)，所以BP=BQ，所以8−t=2t，解得t=83.故若点Q在线段BC上运动，则当t的值为83时，∠BPE和∠BQE相等．
【小题2】
S△BQE=2S△APE.理由如下：过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N.因为AP=tcm，BQ=2tcm，所以BQ=2AP.因为∠PBE=∠QBE，所以EM=EN.因为S△APE=12AP⋅EN，S△BQE=12BQ⋅EM，所以S△BQE=2S△APE．

【解析】1. 略
2. 略
17.【答案】如图，过点M作MQ//BC，交AC于点Q.∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°.∵MQ//BC，∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP=∠N，∴∠AMQ=∠AQM=∠A，∴△AMQ是等边三角形．∴AM=QM.∵AM=CN，∴QM=CN.在△QMP和△CNP中，∠QPM=∠CPN,∠QMP=∠N,QM=CN,∴△QMP≌△CNP(AAS)，∴MP=NP

【解析】略
18.【答案】∵在等边三角形ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC=12∠ABC=12×60∘=30∘，∠ACB=60°.∵CE=CD，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．
【解析】略
19.【答案】【小题1】
如图所示
【小题2】
AD⊥CD 理由：∵直线l垂直平分线段AC，∴AO=CO.又∵在△ABC中，∠ABC=90°，∴BO=12AC，即BO=AO=CO.∵DO=BO，∴DO=AO=CO，∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC.∵△ADC的内角和为180°，∴∠ODA+∠ODC=12×180∘=90∘，即∠ADC=90°，∴AD⊥CD．

【解析】1. 略
2. 略
20.【答案】【小题1】
∵OA⊥OB，∴∠AOP=90°，∴∠OAP+∠APO=90°.∵AE平分∠OAP，
PE平分∠APO，∴∠PAE=12∠OAP，∠APE=12∠APO，
∴∠PAE+∠APE=12(∠OAP+∠APO)=12×90∘=45∘，
∴∠AEP=180°−(∠PAE+∠APE)=180°−45°=135°，∴∠AEP的度数为135°．
【小题2】
△EPF形状不会发生变化，是等腰直角三角形．
理由如下：∵PE平分∠APO，PF平分∠OPD，∴∠OPE=12∠APO，∠OPF=12∠OPD．
∵∠APO+∠OPD=180°，∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=12(∠APO+∠OPD)=90∘，∴△EPF是直角三角形．又∵∠AEP=135°，∴∠PEF=180°−∠AEP=180°−135°=45°，∴∠PEF=∠F=45°，∴△EPF是等腰直角三角形．

【解析】1. 略
2. 略