四川省凉山州2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省凉山州2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回， 在中，角，，对边分别为，，， 已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 若复数是实数，则（ ）
A 1B. C. D.
2. 一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端的仰角为45°，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为60°，则电线杆的高度约为（ ）米（，忽略人的身高）

A. 22.66B. 23.66C. 24.66D. 25.66
3. 某中学高中一年级有800人，高中二年级有640人，高中三年级有560人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为400的样本，则高中二年级被抽取的人数为（ ）
A. 64B. 96C. 112D. 128
4. 在中，角，，对边分别为，，.若，，，则为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或2
5. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）
A. 2B. C. 1D.
6. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若一个圆台两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知复数满足，则（ ）
A. 的虚部为4B. C. D.
10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A. 若，是相反向量，则B. 若，是共线的单位向量，则
C. 若，则向量，共线D. 若，则点，，，必在同一条直线上
11. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）

A. 图（1）的平均数=中位数=众数B. 图（2）的众数<中位数<平均数
C. 图（2）的众数<平均数<中位数D. 图（3）的平均数<中位数<众数
12. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ）
A. 该八面体的表面积是
B. 该八面体的体积是
C. 直线与平面所成角为
D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，则__________.
14. 样本数据5，9，6，7，11，8，10，5的40%分位数为__________.
15. 在正方体中，点，分别是，上的点，，，，则点到直线的距离为__________.
16. 已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是__________.
四、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 为提高中小学生对交通安全的认识，某市的全体中小学生参加了“小手拉大手”交通文明知识答题比赛，从所有答卷中随机抽取1000份成绩作为样本，将样本数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这1000份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前40%的学生，某学生知识竞赛的成绩是75，请估计该学生能否得到表彰？
18. 已知在平面直角坐标系中，点，，.
（1）若，求值；
（2）记在方向上的投影向量为，求的坐标.
19. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值.
20. 已知的内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的面积.
21. 某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况：
现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系.
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
（2）按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？
22. 如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角正切值.
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
收购价格（元/斤）
8
9
8
7
养殖成本（元/斤）
5
5.58
6
6.32
凉山州2023——2024学年度下期期末检测试卷
高一数学
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 若复数是实数，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数分类可得其虚部为0，可得.
【详解】根据题意可得其虚部为，解得.
故选：C
2. 一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端的仰角为45°，此人往电线杆方向走了10米到达点，测得电线杆顶端的仰角为60°，则电线杆的高度约为（ ）米（，忽略人的身高）

A. 22.66B. 23.66C. 24.66D. 25.66
【答案】B
【解析】
【分析】利用表示出，由，即可求得长．
【详解】设，
在中，，所以，
在中，，所以，
因为，所以，即米
故选：B．
3. 某中学高中一年级有800人，高中二年级有640人，高中三年级有560人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为400的样本，则高中二年级被抽取的人数为（ ）
A. 64B. 96C. 112D. 128
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义结合题意求解即可.
【详解】由题意得高中二年级被抽取的人数为人.
故选：D
4. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或2
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理，求解.
【详解】根据余弦定理，，
得，解得或（舍）.
故选：B
5. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.
【详解】依题意不妨令直观图如下所示：

则还原直观图为原图形，如图所示，

因为，所以，
还原回原图形后，，，
所以原图形面积为.
故选：B
6. 在中，边上的中线为，点满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理，由向量的加减法则可得结果.
【详解】如图所示：
由可得，
所以,
即
故选：C
7. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台底面半径和侧面积可得母线长度，求得圆台的高即可得其体积.
【详解】设圆台母线长为，其高为，
易知，解得，
又因为，解得；
因此该圆台的体积为.
故选：C
8. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用分层抽样中数据方差的计算公式求解即可.
【详解】因为甲组5个数据的平均数为1，方差为3，乙组5个数据的平均数为3，方差为1，
所以两组数据混合后，新数据的平均数为
，
所以新数据的方差为
.
故选：D
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知复数满足，则（ ）
A. 的虚部为4B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】令，代入化简可求出，然后逐个分析判断即可.
【详解】令，则由，得
，
所以，解得，
所以，
对于A，的虚部为4，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误.
故选：AC
10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A. 若，是相反向量，则B. 若，是共线的单位向量，则
C. 若，则向量，共线D. 若，则点，，，必在同一条直线上
【答案】AC
【解析】
【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解.
【详解】对于A，若，是相反向量，则，A正确；
对于B，，是共线的单位向量，则或，B错误；
对于C，，即，则向量，共线，C正确
对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误.
故选：AC
11. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）

A. 图（1）的平均数=中位数=众数B. 图（2）的众数<中位数<平均数
C. 图（2）的众数<平均数<中位数D. 图（3）的平均数<中位数<众数
【答案】ABD
【解析】
【分析】据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.
【详解】图（1）分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；
图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；
图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故选：ABD.
12. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ）
A. 该八面体的表面积是
B. 该八面体的体积是
C. 直线与平面所成角为
D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据题意可知该八面体的表面积是一个正三角形面积的8倍，对于B，连接交于，连接，则是正四棱锥的高，求出，从而可求出正四棱锥的体积，进而可求出该八面体的体积，对于C，由题意可知为直线与平面所成角，然后在中求解即可，对于D，由选项B可知该八面体的外接球的球心为，取的中点，连接，可证得平面，从而可求得点的轨迹.
【详解】对于A，根据题意可知该八面体的表面积是一个正三角形面积的8倍，
因为四边形是边长为2的正方形，所以每一个正三角形的边长都为2，
所以该八面体的表面积是，所以A错误，
对于B，连接交于，连接，则平面，
因为四边形是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，
所以该八面体的体积是，所以B正确，
对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角，
因为，为锐角，所以，
即直线与平面所成角为，所以C正确，
对于D，连接，则,
因为，所以点为该八面体的外接球的球心，
取的中点，连接，
因为都为等边三角形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为，所以点平面内，
因为平面过球心，
所以平面与该八面体的外接球的交线为该球的大圆，即点的轨迹为此大圆，
所以点的轨迹的周长为，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：选项D解题的关键是根据题意和几何体的和特征找出外接球的球心，由此即可顺利得解.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先化简已知，然后根据复数相等得出实数的值．
【详解】根据题意，，
即，所以，且，
所以.
故答案为：
14. 样本数据5，9，6，7，11，8，10，5的40%分位数为__________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据百分位数定义计算即可.
【详解】根据已知数据，从小到大排列，
因为，40%分位数为第4个数7.
故答案为：7.
15. 在正方体中，点，分别是，上的点，，，，则点到直线的距离为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】如图，利用勾股定理求出，结合勾股定理的逆定理计算可得，即可求解.
【详解】如图，连接，则，
所以，
在中，，
所以，
即到直线的距离为，长度为6.
故答案为：6
16. 已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由投影向量定义得，即，得出向量夹角表达式，再由基本不等式得出最小值.
【详解】由已知可得，所以.
而，
易知
令，则
当且仅当，
即时，等号成立，即最小值为，
故答案：
四、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 为提高中小学生对交通安全的认识，某市的全体中小学生参加了“小手拉大手”交通文明知识答题比赛，从所有答卷中随机抽取1000份成绩作为样本，将样本数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这1000份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前40%的学生，某学生知识竞赛的成绩是75，请估计该学生能否得到表彰？
【答案】（1）
（2）该学生可以得到表彰
【解析】
【分析】（1）由频率分布图的平均数公式计算可得；
（2）依题意求出竞赛成绩的第60百分位数可得结论.
【小问1详解】
由题意知这1000份样本数据的平均值为
.
则这1000份样本数据的平均值为.
【小问2详解】
由题意得表彰的最低分为第60百分位数,
设第60百分位数为，
则
解得，
而，所以该同学能得到表彰.
18. 已知在平面直角坐标系中，点，，.
（1）若，求的值；
（2）记在方向上的投影向量为，求的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得，结合垂直关系的向量表示建立方程，解之即可求解；
（2）由（1），根据平面向量数量积的坐标表示可得，结合投影向量的概念计算即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，
因为，
所以，
即，解得；
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
则.
19. 如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点为，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论；
（2）作出异面直线与所成角的平面角，再由余弦定理可得结论.
【小问1详解】
取的中点为，连接，如下图所示：

在中，为的中点，的中点为，则，且；
由已知，可得且，
所以四边形为平行四边形，可得，
易知平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
取的中点为，连接，
所以，且，可得四边形为平行四边形，
即，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，
由可得，由勾股定理可得，
所以；
即可得异面直线与所成的角的余弦值为.
20. 已知内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若，，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化简已知，再利用正弦定理统一成角的形式化简可得，从而可得，进而可求出角；
（2）由，即，可求得，再根据三角形面积公式求解.
【小问1详解】
根据题意，，
可得，
由正弦定理可得，
化简为，即，
，，则，因为，故；
【小问2详解】
由，即，
即，可得或（舍），
所以.
21. 某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况：
现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系.
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
（2）按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？
【答案】（1）模型①，模型②
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知中的数据，求出参数的值，可得两个函数解析式；
（2）根据（1）中函数模型，求出价格的估算值，与成本比较后可得答案．
【小问1详解】
由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①，
由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②，
对于模型①，由点及，可得函数周期满足，
即，所以，
又函数最大值为，最小值为，解得，，
所以，又，所以，
又，所以，
所以模型①；
对于模型②，图象过点，，
所以，
解得：，所以模型②；
【小问2详解】
由（1）设，，
若时则盈利，若则亏损；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损．
22. 如图，四棱锥的底面是边长为3的菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连结，先证明平面，进而证明平面平面；
（2）过点作交于点，即可证明平面，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【小问1详解】
设，连接，因为底面为菱形，
所以为的中点，，
又，所以，
平面，，
所以平面.又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
在平面中过点作交于点，
因为平面，又平面，
所以，
又，平面，所以平面，
过点作交于点，连接，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在中，
因为，所以，
因为所以，
中，，
又平面，平面，所以，
所以，
所以二面角的正切值为.
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
收购价格（元/斤）
8
9
8
7
养殖成本（元/斤）
5
5.58
6
6.32