高考数学二轮复习专题专题2数列的奇偶项问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题2数列的奇偶项问题试题含解析答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设为数列an的前项和，若，则（ ）
A．1012B．2024C．D．
2．数列满足，且．记数列的前n项和为，则下列判断不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知数列满足，，，则该数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
4．数列满足，，则数列的前60项和为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列，且，则数列的前2024项之和为（ ）
A．1012B．2022C．2024D．4048
6．数列满足，前12项和为158，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．数列满足，前12项和为164，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A．510B．508C．1013D．1011
9．设为数列an的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．已知数列满足，，记数列的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列满足（且），则下列说法正确的是（ ）
A．，且
B．若数列的前16项和为540，则
C．数列的前项中的所有偶数项之和为
D．当n是奇数时，
12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列满足，，则（ ）
A．
B．
C．此数列的前项和为
D．数列的前60项和为930
13．已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的奇数项成等差数列B．数列的偶数项成等比数列
C．D．
三、填空题
14．已知等差数列，，，且，，，则 .；若数列的前n项和，则正整数的最小值为 .
15．已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 .
16．已知数列满足，则的前40项的和为 ．
17．已知是数列的前n项和，且，则 ， ．
18．已知数列an的前项和为，，，则 .
19．已知数列满足，，记数列的前项和为，则 ．
20．已知数列满足，若为数列的前项和，则
21．已知数列，为数列{an}的前n项和，则使得的n的最小值为 ．
22．已知数列满足，，则数列的前2n项的和为 ．（用含n的代数式表示）
23．已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 .
24．已知数列满足，，记数列的前项和为，则 ．
25．已知数列满足，记数列的前项和为，则 .
参考答案：
1．A
【分析】根据正弦函数的周期性及数列的通项公式列出数列的前几项，即可得到规律，再利用并项求和法计算可得.
【详解】因为函数的最小正周期，
又，则，a2=0，，
，，，，，，
所以，且，
所以
.
故选：A
2．C
【分析】设，由递推式依次求得，由范围求得的范围，判断BD，已知中令得，归纳出数列奇数项、偶数项分别成等差数列，分组求和可得，判断出各选项后得正确选项．
【详解】解：设，由，得，
可得，，，，，，，…，
由可得，可得，即，
则数列的奇数项为首项为t，公差为1的等差数列；
偶数项为首项为，公差为－3的等差数列，且每隔两项的和为9，7，5，3，1，－1，…，为递减，可得.
故选：C．
3．A
【分析】按为奇数、偶数分情况讨论，利用等差数列和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】当是奇数时，，，此时，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
当是偶数时，，，此时，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以该数列的前项和为，
故选：A
4．B
【分析】根据给定条件，分奇偶可得，，再利用分组求和法求解作答.
【详解】由，得，，而，
因此数列的所有项均为1，有，
，
所以数列的前60项和为，
故选：B
5．C
【分析】对进行分类讨论，利用分组求和法求得正确答案.
【详解】当为奇数时，，
所以数列的奇数项成首项为，公差为的等差数列.
当为偶数时，，
所以数列的偶数项成首项为，公差为的等差数列.
所以前项和为：
.
故选：C
6．B
【分析】由，推出和，再利用前项和为求解.
【详解】因为，
所以，，，
，
又，，
，
.
故选：B
7．C
【分析】利用递推关系求出偶数项的和及奇数项与首项的关系，结合条件可得答案.
【详解】因为，所以，
，
因为前12项和为164，所以，
所以，即，解得.
故选：C.
8．C
【分析】通过递推式求出，然后代入求即可.
【详解】，
则
所以.
故选：C.
9．A
【分析】利用可证明得数列和都是公差为2的等差数列，再可求得，有了这些信息，就可以从的取值分析并求解出结果.
【详解】因为，
所以，
假设，解得或（舍去），
由存在，，所以有或，
由可得，，两式相减得：，
当时，有，即，
根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，
所以，解得，
当时，有，即，
根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，
所以，解得，
由已知得，所以.
故选：A.
10．AB
【分析】将代入题设条件，可判定A正确；由，化简得到，得到数列和都是公比为2的等比数列，求得，，可得，可判定B正确；由B项中的数列的通项公式及等比数列的前项和公式，分别得到，，从而可判断选项C、D错误．
【详解】对于A中，因为，可得，所以A正确；
对于B中，易得，由，可得，两式相除得，
因为，且，所以，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，
所以，所以B正确；
对于C、D中，由和，
可得，，
所以，，故C、D错误．
故选：AB
11．ACD
【分析】A选项，赋值法求解即可；B选项，先得到，求出数列的前16项和中偶数项之和，从而得到前16项和中奇数项之和，赋值法得到，从而得到，求出答案；C选项，在B选项的基础上得到，从而利用等差数列求和公式求解；D选项，在B选项基础上得到，令可得答案.
【详解】A选项，中，令得，
令得，A正确；
B选项，中，令得，
所以，，，，
相加得，
因为数列的前16项和为540，所以前16项和中奇数项之和为，
中，令得，
所以
，
故
，
解得，B错误；
C选项，由B选项可知，
的前项中的共有偶数项项，故最后两项之和为，
所以数列的前项中的所有偶数项之和为，C正确；
D选项，由B选项可知，令，则，
故
故当n是奇数时，，D正确.
故选：ACD
【点睛】当遇到时，数列求通项公式或者求和时，往往要分奇数项和偶数项，这类题目的处理思路可分别令和，用累加法进行求解.
12．ABD
【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求出数列的通项公式，利用通项公式逐项判断即可得.
【详解】令且，
当时，①；
当时，②，
由①②联立得，
所以，
累加可得，
令(n≥3且为奇数)，得，
当时满足上式，
所以当为奇数时，，
当为奇数时，，
所以，其中为偶数，
所以，
所以，故A正确，
，故B正确；
由，
而，故此数列的前项和不为，故C错误；
因为，
所以的前2n项和
，
则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用题中所给递推式，分奇偶讨论结合累加法求得数列通项公式，后续求和亦需分奇偶进行讨论.
13．BD
【分析】根据推出，从而得到的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，A错误，B正确；
写出奇数项和偶数项的通项公式，从而判断D正确，并求出，C错误.
【详解】，则，
两式相除得：，
中令得：，
因为，所以，
所以数列的奇数项成等比数列，首项为，公比为4，
数列的偶数项成等比数列，首项为，公比为4，
故A错误，B正确；
当为奇数时，，
当为偶数时，，
当为奇数时，n+1为偶数，故，
当为偶数时，n+1为奇数，故，
综上：，D正确；
，，C错误.
故选：BD
14． #
【分析】根据题意求得，得到，进而得到，得出中所有的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，所有的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，求得，，得到，结合，即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，，，所以数列的公差为，
所以，即，
当时，，
两式作差得，
即在数列中，所有的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所有的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
又由数列是等差数列，所以数列的公差为2，则，
又因为，解得，所以，
所以，所以，即，即，又由为正整数，解得，，即正整数n的最小值为6.
故答案为：.
15．10
【分析】根据an,Sn的关系即可相减得，即可递推求解.
【详解】由得：时，，所以，
由于，所以，
故，
，所以，
故答案为：10
16．820
【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和.
【详解】当为奇数时，，，
两式相减得；
当为偶数时，，，
两式相加得.
所以
.
故答案为：820.
【点睛】方法点睛：分为奇数和偶数两种情况，观察推导，即可得出通项之间的关系.
17．
【分析】直接求出前4项求和；结合公式法分组求和即可.
【详解】由可得，
；
.
故答案为：15；.
18．
【分析】结合等比数列求和公式，利用分组求和即可求解.
【详解】根据题意，可得，，…，，
所以
.
故答案为：
19．56
【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，可分组求和，利用累加法即可求得结果.
【详解】由递推公式，可得，，……，；
而
.
故答案为：56.
20．626
【分析】根据所给递推关系式，构造等差数列、等比数列求和，再分组求和即可.
【详解】数列中，，
当时，，
即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，
则，
当时，，
即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，
则，
所以.
故答案为：626
21．15
【分析】讨论n为偶数和n为奇数时，分别写出Sn，从而求出满足条件的n的最小值．
【详解】因为数列，
所以，
Sn＝（﹣3×1﹣1）+（3×2﹣1）+．．．+[（﹣1）n3n﹣1]，
当n为偶数时，，不满足题意；
当n为奇数时，，令，解得，
因为n为奇数，所以n的最小值为15．
故答案为：15．
22．
【分析】由递推关系，当n为奇数时，，可得，然后由数列分组并项求和可得解．
【详解】由题意，当n为奇数时，，可得，
即，，又，则，
数列的前项和记为，则
.
故答案为：.
23．
【分析】先通过递推式得当为偶数时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式，根据通项公式观察到数列为递减数列，故求出后，以为基础，通过一定的估算可得到答案.
【详解】当，且为偶数时，，
得，又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
当，且为奇数时，，
所以
明显数列从第二项起，故数列为递减数列，
当为偶数时，
，
对于，由于，
当时，，
当时，，
又当时，，
故使得成立的最小的正整数的值为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于通过奇偶来的分段数列，可分奇偶来研究数列的通项公式，先求出偶数项的通项公式后，奇数项的通项公式就好求了.
24．506
【分析】根据数列递推公式可知，当为偶数时，可分组求和，利用累加法即可求得结果.
【详解】由递推公式可得，
；
；
……
；
而
.
故答案为：506.
【点睛】关键点睛：解题的关键是发现，当为偶数时，即可出现分组求和.
25．
【分析】依题意可得，，再利用并项求和法计算可得.
【详解】因为数列满足④，
当时，④化为①，
当时，④化为②，
当时，④化为③，
①②可得，
①③可得，
．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题关键是推出、，然后利用并项求和法计算.