高考数学二轮复习专题专题5抽象函数构造解函数不等式问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题5抽象函数构造解函数不等式问题试题含解析答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，对任意的，都有0，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知偶函数满足对恒成立，下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
7．已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．D．
10．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12．已知定义在R上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（ ）
A．（－∞，1）B．（－1，1）
C．（－∞，0）∪（0，1）D．（－1，0）∪（0，1）
14．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
16．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
17．已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．−∞,−3∪1,+∞C．D．
18．已知定义在R上的连续可导函数及其导函数f′x满足恒成立，且x>0时，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
21．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
22．已知函数及其导函数的定义域均为,，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
24．定义在R上的连续函数满足为偶函数，当时，，其中f′x是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．函数在定义域R上处处可导，其导函数为．已知，，且当时，．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
26．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．不等式的解集为
D．若方程有两个根，则
27．已知函数在上可导，其导函数满足且，令，则（ ）
A．函数的单调递减区间为B．是函数的极小值点
C．函数必有零点D．
28．设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．不等式的解集为
C．若恒成立，则
D．若，则
三、填空题
29．已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ．
参考答案：
1．B
【分析】由当时，，可得在上是增函数，结合函数是定义在上的奇函数，，可得关于的不等式的解集．
【详解】函数是定义在上的奇函数，f(−x)=−f(x)
令，
是定义在上的偶函数，
又，
，
又当时，，
即当时，，
即在上是增函数，在是减函数，
若且，即，解得：
若且，即，解得：，
当时，，不合题意；
不等式的解集为：，，，
故，，
故选：．
2．B
【分析】构造函数，判定其单调性计算即可.
【详解】根据题意可令，
所以在上单调递减，
则原不等式等价于，
由，
解之得.
故选：B
3．B
【分析】根据，构造函数，利用其单调性结合奇函数性质比较.
【详解】令，则，
当时恒有，所以，
则在上单调递增，
所以，则，即，选项A错误；
，则，即，选项B正确；
，则，又为奇函数，所以，选项C错误；
由得，选项D错误；
故选：B
4．A
【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性比较函数值的大小.
【详解】因为为偶函数，则，
令，则，
所以为偶函数，
又，则当时，
所以在上单调递增，则，
所以，即，故A正确；
，即，
则，即，故B错误；
，即，
则，即，故C错误；
，即，
则，即，故D错误；
故选：A
5．C
【分析】构造函数，易得函数是上的奇函数，根据已知可得函数在上的单调性，进而的得出函数在的单调性，从而可得出答案.
【详解】令，
因为是定义在上的奇函数，所以，
则，
所以函数是上的奇函数，
当时，，即，
则，
所以函数在上单调递增，
又因为函数是上的奇函数，
所以函数在上是增函数，
则不等式，
等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
6．B
【分析】设，根据题意可得函数为偶函数以及其单调性，再分以及讨论即可得出答案．
【详解】设，则，
由于当时，，
则当时，，在单调递减，
又为奇函数，,则，则函数为偶函数，
可得函数在上单调递增，
又，则，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得；
综上，不等式的解集为,,．
故选：B．
7．A
【分析】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集.
【详解】由题意知，当时，，
令，则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，解得.
故选：A.
8．D
【分析】构造函数，再结合可以得到函数
的单调性，不等式可以整理为，再根据函数的单调性即可得到解集.
【详解】构造函数，
所以，
又因为，所以，在上单调递增，
因为，所以，
不等式，可整理为，即，
因为函数在上单调递增，所以.
故选：D.
9．C
【分析】构造函数，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为，由此即可得解.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
不等式等价于，解得x>2，
所以不等式 的解集为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是得到，且单调递增，由此即可顺利得解.
10．C
【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为，
所以，则在上单调递减，
所以，即，
故，，
故选：C.
11．B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得.
【详解】令函数，，求导得，
因此函数在上单调递减，不等式，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：B
12．C
【分析】构造函数，利用条件得出函数单调性，再逐项判断即可.
【详解】设，则，
又，，所以，所以在上单调递减，
由1>0可得，故A错；
由2>1可得，即，故B错；
由，∴∴，故C正确；
因为，所以．得，故D错误
故选：C
13．D
【分析】构造，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断的奇偶性，再将不等式化为求解集.
【详解】令且，则，又，
当时，当时，
所以在上递减，在上递增，
由为偶函数，则，故也为偶函数，
而，且等价于，
所以，故.
故选：D
14．B
【分析】构造函数，由题意可得该函数的奇偶性与单调性，结合函数性质计算即可得解.
【详解】因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，g−x=gx，令，
则，
故为上的奇函数，
因为当时，，
即时，，
所以在区间上单调递减，
所以奇函数在区间上也单调递减，
又，所以，所以，
所以当时，.
故选：B.
15．C
【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，所以不等式的解集是.
故选：C
16．B
【分析】构造，结合导数探讨函数的性质，将所解不等式转化为，由单调性即可得解．
【详解】由且，得是奇函数，
令，当时，，则在是减函数，
显然函数是奇函数，则在是递减，从而在上是减函数，
不等式化为，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
17．B
【分析】根据构造函数通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，最后利用这些性质可解得或
【详解】令则,
因为当时，所以在0,+∞上单调递增,
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数,
由得解得或
故选：B.
18．D
【分析】构造函数，利用的单调性可得结果.
【详解】设，因为，
又，所以，即在R上为增函数，
选项A：因为，即，化简得，故A成立；
选项B：因为，即，化简得，故B成立；
选项C：因为，即，化简得，故C成立；
选项D：因为，即，化简得，而故D不一定成立；
故选：D.
【点睛】本题关键是构造函数，利用函数的单调性判断结果.
19．D
【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.
【详解】设，，
所以函数单调递增，
，
即，得，所以，
所以不等式的解集为.
故选：D
20．D
【分析】构造函数，由题意可得当时，，即可得的单调性，结合，可得，又，结合单调性即可得解.
【详解】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.
故选：D.
21．B
【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
22．A
【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单调性及一元一次不等式的解法即可求解.
【详解】已知，
令，则
，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以不等式等价于，则，
所以不等式的解集为
故选：A.
23．D
【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.
【详解】令，则，
因为，则，且，
可知，且仅当x=0时，则在上单调递增，
又因为为偶函数，，
可得
令，可得，
注意到，
不等式，等价于，
可得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：构建函数，利用单调性解不等式，利用诱导公式可得，等价于，即可得结果.
24．D
【分析】构造函数，根据已知判断其单调性，利用函数的单调性，把条件转化为对任意恒成立，利用导数通过求的最大值可得结果.
【详解】记，则,
由题意，知当时，，即，
则在上单调递增，所以,
因为是偶函数，所以是奇函数，所以在R上单调递增,
又，即，
所以，即对任意恒成立.令，
则，由，得；当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，所以，即实数a的取值范围为，
故选：D.
【点睛】分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路：
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.
一般地，若对恒成立，则只需;若对恒成立，则只需.
25．A
【分析】设，利用导数可判断其单调性，从而可得的符号，再根据得出在上单调递增，进而研究的大小即可.
【详解】由知，，
即的图象关于对称，
又时，，记，则，
又，
从而在上单调递增，且时，
，故，同理当时，gx>0且.
而，故.
又，
而，故，
故，即，
，
又（因为），
故，所以，
综上，，
即.
故选：A.
【点睛】方法点睛：导数背景下大小比较问题，需根据导数的特征构建新函数，如果导数与原函数的关系式中既有导数又有原函数，则利用函数的积或商较为合适.
26．ABD
【分析】由已知条件结合选项内容，分析函数性质，对选项逐一判断.
【详解】，函数定义域为，
由，有，
即，函数为偶函数，故选项A正确；
由，得，
即，∴，
有，得，
∴，
得，，故选项B正确；
，
当时，函数单调递增，且，有，即，不合题意，故C选项错误；
方程，即，
方程有两个根，等价于函数与函数的图像有两个交点，其中函数单调递减，函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴方程为，时函数单调递减，
若方程有两个根，则有，
此时，即，
若且，则有，
∴，∴，得，故选项D正确.
故选：ABD
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
27．AD
【分析】求出，即可得到的单调性与极值点，即可判断A、B、C，由单调性得到，即，即可判断D.
【详解】由，得，
当时，，故在上单调递增，
当时，，
当时，，故在上单调递减，
所以是函数的极大值点，故A正确，B错误；
若，则没有零点，故C错误；
由在上单调递增，得，
即，化简得，故D正确.
故选：AD.
28．BCD
【分析】构造函数，根据条件计算得，利用导数研究其单调性可判定A、B，分离参数结合的单调性与最值可判定C，由题意得出，结合的单调性得出即可判定D.
【详解】因为，所以.
令，则，
所以（c为常数），所以.
因为，所以，即.
对于A，因为，
所以在上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，故A错误.
对于B,当时，，x=0时，，x>0时，
而，根据单调性知：，故B正确.
对于C，若，则.
当时，恒成立.
当时，等价于，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确.
对于D，若，即.
因为在恒小于0，在上又单调递增，且，
所以，且，所以，
故D正确.
故选：BCD

【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想.
29．
【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，
令，则
函数是定义域内的单调递减函数，
由于csx>0，关于的不等式可化为，
即，所以且，解得，
不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型.