高考数学二轮复习专题专题12数列奇偶项､子数列求和压轴题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题12数列奇偶项､子数列求和压轴题试题含解析答案，共30页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．已知数列的前n项和为，，，
(1)求；
(2)若，求数列的前1012项和．
2．设为等差数列的前n项和，且，数列满足．
(1)求和的通项公式；
(2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和．
3．已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和.
4．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的通项，求的前项和；
(3)在任意相邻两项ak与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值．
5．已知数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知bn=2n，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和．
6．在数列中，，.
(1)求，；
(2)记.
（i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.
7．将数列与的公共项从小到大依次排列得数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
8．已知数列满足且．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前100项和．
9．设数列的前n项和为；正项数列的前n项和为，且（且）.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列为等差数列；
(3)在数列的ak和项之间插入k个数，使这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前n项和，求.
10．已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前n项和，且满足．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．
11．已知数列满足.
(1)求；
(2)求数列的通项公式．
12．记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项的和．
13．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值.
14．已知正项数列和为数列的前项和，且满足
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
15．将数列和的公共项从小到大排列得到数列，记的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)求使得的的最小值．
16．已知数列满足.
(1)记，写出，并求数列的通项公式；
(2)求的前100项和.
17．已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)在ak与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求.
18．已知等差数列满足，，数列满足，且．
(1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式：
(2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和．
19．已知数列的前项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．
20．已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
21．已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
22．已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立．
(1)求的通项公式；
(2)令，记为数列的前项和．证明：当时，．
23．已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
(1)证明：
(2)求数列的前n项和．
24．数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列{bn}满足（，）.
①试确定实数的值，使得数列{bn}为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在ak与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
25．已知数列中，，，数列的前项和满足．数列的前项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记与中相同的项由小到大构成的数列为，求数列的前项和．
参考答案：
1．(1)
(2)．
【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得答案；
（2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案.
【详解】（1）当时，因为，所以，
即．又，所以an是首项为1，公差为2的等差数列，
所以．
（2）由（1）知，，
，
而所以
．
2．(1)，；
(2)．
【分析】（1）运用等差数列的求和公式和它们的通项公式，就可求出结果；
（2）关键在于证明数列中的任意一项，都在数列中存在公共项，这里用到了二项式定理进行证明，从而利用等比数列求和公式就可以得到结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由题意得，解得，
所以由等差数列的通项公式可得：．
由得数列是首项为4，公比为4的等比数列，
所以由等比数列的通项公式可得：
（2）令，则可得，
所以
，
即对于数列中的任意一项，都在数列中存在公共项，
所以数列是数列的子数列，从而可得，
所以．
3．(1)
(2)
【分析】（1）由条件，根据当时，可得，结合等比数列的定义求数列的通项公式，
（2）由（1）求，分别在条件下，结合等差数列求和公式求数列的前n项和.
【详解】（1）由已知当时，，
所以.又，
所以 ，
所以；
（2）因为，，
所以，
，
，
令，可得，
所以当时，，
当时，
，
所以.
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，根据作差计算可得；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得；
（3）根据已知确定前36项的元素构成，应用分组求和、等比数列前项和公式求.
【详解】（1）因为，所以，则，
当时，，
当时，，
当时也成立，
所以an的通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
则
，
所以；
（3）由题意，数列元素依次为，
在到之间的个数为，故到处共有个元素，
所以前项中含及个，
故.
5．(1)
(2)79380
【分析】（1）根据题意分析可得，，结合等差数列的通项公式分析求解；
（2）根据题意分析可知an与bn的公共项为4，8，16，，共8项，结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，，所以；
当n为偶数时，；
当n为奇数时，；
综上所述：.
（2）设an的前n项和为，bn的前n项和为，
由（1）可知，，
当时，可知an与bn的公共项为4，8，16，，共8项，
所以数列的前192项和.
6．(1)，
(2)（i）证明见解析；.
（ii）.
【分析】（1）由递推公式即可得到，；
（2）对于（i），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；
对于（ii），先写出，再利用错位相减法求得奇数项的前项和，利用等差数列的前项和公式求得偶数项的前项和，进而相加可得.
【详解】（1）由，，得，
所以，，
即，.
（2）（i）证明：由和得，
，
所以bn是，公差为的等差数列；
因为，所以，
即.
（ii）由（i）得，
当为奇数，即时，，
设前项中奇数项和为，前项中偶数项和为
所以①，
②，
由①②得：
，
，
，
即，则；
当为偶数，即时，，
所以.
综上所述，.
7．(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意列 出数列与的一些项，再找出公共项，进而得出的通项公式；
（2）先结合（1）得到数列的通项公式，再根据错位相减法求和即可．
【详解】（1）数列是一组单数：，，，，，，，…，
而数列是一组3的倍数：，，，，，…，
则公共项为：，，，…，
所以是首项为3，公差为6的等差数列，
所以的通项公式为．
（2）结合（1）可得，，
则，
则，
两式相减，得
，
所以．
8．(1)
(2)
【分析】（1）由递推公式得，当，是首项为1，公比为2的等比数列，令， 是首项为2，公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；
（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前项和公式计算即可．
【详解】（1）由题意，得当时，，①
．②
将①代入②，得，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以．
又因为，
所以，所以．
令，则，而，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以．
所以．
（2）
．
9．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）根据通项与前n项和的关系由相减法得，从而可得，即可得结论；
（3）由已知结合插入项的规律先求出，，进而可表示出，然后结合错位相减求和即可求解．
【详解】（1）因为，
当时，，所以，
当时，，，
两式相减得，，所以，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）正项数列bn的前n项和为，且，所以，
即，因为，所以，
则，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
（3）依题意，，，
，，
，
所以，
即，
则，
两式相减可得，
，
所以．
10．(1)，bn=2n;
(2)11302.
【分析】（1）利用基本量代换列方程组分别求出公差和公比，即可求出和的通项公式；
（2）判断出公共项，利用公式法求和.
【详解】（1）设正项等差数列的公差为.
因为所以，解得：，所以.
设正项等比数列的公比为.
因为所以，解得：，所以.
（2）根据（1）的结论，所以数列的前8项依次为：2、4、8、16、3264、128、256，对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列.
设数列的前n项和为Bn，所以
.
11．(1)，
(2)
【分析】（1）将和代入已知直接求解.
（2）分奇数项和偶数项讨论，得到分别都是等差数列，根据等差数列通项公式求解.
【详解】（1）由
可得，
（2）由已知可得
则，
则数列an的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列，
数列an的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，
即，
当n为奇数时，
则
当n为偶数时，
则，
故
12．(1)
(2)
【分析】（1）先求，再利用“退位法”可求数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可求.
【详解】（1）由是首项与公差均为1的等差数列得
则，当时，，
两式相减得，，
当时，，也满足上式，故数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
所以数列的前2024项的和为：
13．(1)
(2)，最小值为2
【分析】（1）由题意知an为等比数列，取代入等式即可解出，，即可写出.
（2）根据题意结合第一问先写出的通项公式，再利用单调性求最值，
【详解】（1）由题意知：设数列公比为，
当时，①
当时，②
联立①②，，故或（舍），故.
所以数列an的通项公式，
此时，符合题设条件，
故数列an的通项公式.
（2）证明：由（1）知，.
所以.
所以，所以，
因
，
所以是递增数列，故的最小值为.
14．(1)，；
(2)10628.
【分析】（1）构造求，再根据对数式化指数式求即可；（2）根据题意分析得即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
两式相减得，
整理得，
因为an>0，
所以.
又，解得，
所以，
所以，解得，
所以数列和的通项公式为，.
（2）由（1）得，，
所以，
又，
所以，
所以.
15．(1)
(2)7
【分析】（1）列举法写出数列和，从而找到公共项成等差数列，即可得解；
（2）先求出等差数列的前n项和，再解不等式即可.
【详解】（1）
,
所以公共项就是以为首项，2为公差的等差数列，
即；
（2）由（1）知，
由，得，
，即，
，故的最小值为7．
16．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合，可求得，，根据递推式可得，然后利用等差数列定义及通项公式求解即可.
（2）根据递推式求得，然后利用分组求和结合等差数列求和公式求解即可.
【详解】（1）由题意知：，又且，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，
所以数列bn是以0为首项，以为公差的等差数列，
所以.
（2）当为奇数时，n+1为偶数，则，
两式相减得：，
因为，所以，
当为偶数时，n+1为奇数，则，
两式相减得：，
因为a2=0，所以，所以；
所以
.
17．(1)证明见解析
(2)39
【分析】（1）分析可得，结合等比数列的定义分析证明；
（2）由（1）可得，结合等差数列的性质列式求解.
【详解】（1）因为，则，
且，可得，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：，则，
由题意可得：，，
即，解得，所以的值为39.
18．(1)证明见解析，，
(2)
【分析】（1）根据等差数列公式确定，计算得到，得到证明.
（2）确定，再根据分组求和法结合等比数列求和公式计算得到答案.
【详解】（1）由题可知，，
所以，，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以（常数），
所以是等比数列，
所以，即．
（2）为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，，
故．
．
19．(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证，再由等比数列通项公式计算可得；
（2）依题意可得则，利用错位相减法计算可得；
（3）依题意可得（）恒成立，令，利用作差法判断bn的单调性，即可求出的最小值，即可得解．
【详解】（1）因为①，
当时，，所以．
当时，②，
由①－②得，即，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，故．
（2）因为，所以，
解得，所以．
所以，
，
两式相减得
，
所以．
（3）由于对于任意，恒成立，即恒成立，
等价于的最小值大于．
令，则，
所以数列bn是递减数列，故数列bn中的最大值为，
所以的最小值为，所以当对于任意恒成立时，．
20．(1)an=2n+1
(2)
【分析】（1）根据成等比数列求得，即可求得an的通项公式.
（2）根据an的通项公式求得，分奇偶项分别求出再求和，即可求得bn的前项和.
【详解】（1）因为，
所以，即，解得或，
又因为an>0，所以，所以.
（2），所以，
所以
，
，
所以前项和.
21．(1)
(2)20
【分析】（1）通过构造得，则可得到的通项；
（2）利用等比数列求和公式得，通过作差得，，则得到是一个增数列，计算即可得到答案.
【详解】（1）因为
所以，，，所以．
又因为，所以，所以．
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因为，所以，
即，所以，
所以，
因为，
，
所以是一个增数列，
因为，，
所以满足题意的n的最小值是20．
22．(1)an=n
(2)证明见解析
【分析】（1）根据得到首项和公差，得到通项公式；
（2）在（1）基础上，得到，先得到当为偶数时，，作差法得到当且为偶数时，，再考虑当为奇数时，，作差法得到当且为奇数时，
，从而证明出结论.
【详解】（1）当时，，解得或0，
是各项均为正数的等差数列，故，
①，
当时，②，
则①-②得，
故，
因为an>0，所以，则，
则的公差为1，则，
经检验，满足要求，故通项公式为an=n；
（2），，
，
当为偶数时，
，
当且为偶数时，，
故；
当为奇数时，，
当且为奇数时，
，
综上，当时，．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出，得到，的通项公式，进而判断出是数列{}的项，即可证明；（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由，得，
由，得，
解得，
因为数列{}的公差为3，数列{}的公比为2，
所以
不是数列{}的项，是数列{}的第1项．
设，则
所以不是数列{}的项．
因为，
所以是数列{}的项．
所以
（2）由（1）可知，．
=
所以
所以．
24．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意，推得，再求得，得到数列an为等比数列，即可求解；
（2）①根据题意，求得的值，结合，求得，即可求解；
（2）根据题意，得到必是数列an中的某一项，求得，结合，得出，进而求得的值.
【详解】（1）解：因为在数列中，，
当时,，
两式相减得，可得，
又因为时,，可得，
所以数列an是以为首项，为公比的等比数列，故.
（2）①当时，可得，当时，得，当时,得，
因为数列{bn}为等差数列，可得，可得，
当时，由，可得，
又由，当时，数列bn为等差数列；
②由题意知，
则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，理由如下，
从而必是数列an中的某一项，
则
，
又因为，所以，
即，所以，
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解，
即当时，，不合题意,舍去；
综上所述,满足题意的正整数仅有.
25．(1)，
(2)
【分析】（1）根据和的关系判断数列an为等差数列，求出公差为，进而求得数列an的通项公式；依题意及和可得，从而可得bn是首项为1，公比为2的等比数列，进而求得数列bn的通项公式；
（2）结合（1）可知，设，则有，经过观察可得数列an与bn相同的项为，从而得到的通项公式，进而求数列的通项公式，再结合错位相减即可求和．
【详解】（1）由，
则，即，
令时，，解得：，
所以，故恒成立，所以数列an为等差数列，公差，
故数列an的通项公式为．
又，①，则，所以，
当时，，②
则①－②得，，即，
所以bn是首项为1，公比为2的等比数列，
故．
（2）结合（1）可知，设，则有，
当，，显然这样的整数不存在，
所以，，即数列an与bn相同的项为，
则，所以，
，③
，④
③－④得，，
故．