数学八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性课后作业题

这是一份数学八年级上册第二章 轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性课后作业题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为 ( )
A. 10B. 16C. 8D. 5
2.如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AB，AC上(E,F不与端点重合)，且DE⊥DF，则 ( )
A. BE+CF>EFB. BE+CF=EF
C. BE+CF90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G.若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则△ABC的面积可能是 ( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
9.如图，在△ABC中，AB>AC，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，连接CD.若AB=12 cm，△ACD的周长为21 cm，则AC的长为 ( )
A. 9 cmB. 10 cmC. 12 cmD. 15 cm
10.在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE=4，则AD+AE的值为 ( )
A. 6B. 14C. 6或14D. 8或12
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在Rt△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若∠ACB=60°，且OM=ON，则∠MOB的度数为 ．
12.如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.若AB=6，AC=3，则BE= ．
13.如图，△ABC的周长为30，BC=12，AC=5，作BC边的垂直平分线PF分别交AB、BC于点F、E.连接PB、PC，若点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 ．
14.如图，在△ABC中，D是边AB的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC=5，BC=8，则△AEC周长的最小值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，连接CE.求证：AD垂直平分线段CE．
16.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB=AD，点E，F分别在边AB，AD上，且AE=DF.设四边形AECF的面积为S1，四边形ABCD的面积为S2，则S1与S2之间有怎样的数量关系？请说明理由．
17.(本小题8分)
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点．
求证：PA=PB．
分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB．
(1)请结合以上分析，利用图①写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
(2)定理应用：如图②，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB，若AB=10cm，△MBC的周长是18cm．
①求BC的长．
②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由．
18.(本小题8分)
如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，连接BE、DE、BC.求证：∠ABE=∠CDE．
19.(本小题8分)
如图，两条公路OA和OB相交于点O，在两条公路中间的点P处有一油库，若在两条公路上各设置一个加油站，试问设置在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走路程最短？
请用尺规作图确定两个加油站的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是边AB上一点，过点C作CF//AB，交ED的延长线于点F．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)若AD⊥BC，AE=1，CF=3，求AC的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
BD=BDAD=ED，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，
∴AB=BE，
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=13，DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3，
∴AB+BE=10，
∴AB=BE=5．
故选：D．
先根据角平分线的性质定理证得AD=DE，根据△ABC与△CDE的周长分别为13和3证得AB=BE=5．
本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】提示：延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG.易证△BED≌△CGD(SAS)，所以CG=BE，又因为DE⊥DF，所以FD是EG的垂直平分线，所以FG=EF.因为GC+CF>FG，所以BE+CF>EF．
3.【答案】A
【解析】因为∠BAC=115°，所以∠B+∠C=180°−∠BAC=65°.因为DE垂直平分AB，所以AD=BD，AE=BE.在△ADE和△BDE中，AD=BD,AE=BE,DE=DE,所以△ADE≌△BDE(SSS)，所以∠EAD=∠B.同理可得∠GAF=∠C，所以∠EAG=∠BAC−(∠EAD+∠GAF)=∠BAC−(∠B+∠C)=50°．
4.【答案】A
【解析】提示：过点B作BN⊥AC，交AC的延长线于点N，BM⊥AD于点M.由折叠得∠C′AB=∠CAB，由角平分线性质得BN=BM.因为△ABC的面积等于6，AC=3，所以BN=BM=4，所以BP≥4．
5.【答案】D
【解析】解：∵DE⊥AB，DC⊥BC，DE=DC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD=26°，
∴∠A=90°−∠ABC=90°−2×26°=38°．
故选：D．
利用角平分线的性质定理的逆定理得到BD平分∠ABC，则∠EBD=∠CBD=26°，然后利用互余计算∠A的度数．
本题考查了角平分线的判定，关键是熟练掌握角平分线的判定方法．
6.【答案】C
【解析】略
7.【答案】D
【解析】略
8.【答案】D
【解析】提示：连接AE，AG，则根据线段垂直平分线的性质可得EA=EB，GA=GC.根据三角形的三边关系可得AE+AG>EG，所以BE+CG>EG.所以S△AEB+S△ACG>S△AEG，所以S△ABC>2S△AEG=16．
9.【答案】A
【解析】略
10.【答案】C
【解析】提示：连接AD，AE，则由条件可知AD=BD，AE=EC.分两种情况：如图1，当BD与CE无重合时，AD+AE=BD+CE=BC−DE=10−4=6；如图2，当BD与CE有重合时，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14．
11.【答案】75°
【解析】略
12.【答案】1.5
【解析】连接BD，CD.因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF，∠DEA=∠DEB=∠F=90°.在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD,DE=DF,所以Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，所以AE=AF.因为点D在BC的垂直平分线上，所以BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD,DE=DF,所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，所以BE=CF，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE.因为AB=6，AC=3，所以BE=1.5．
13.【答案】18
【解析】如图，连接AM、CM、BM、CF.∵△ABC的周长为30，BC=12，AC=5，∴AB=30−12−5=13.∵PF是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CF=BF.∵AM+BM≥AB，∴当点M在F处时，AM+BM最小，最小值是AB的长．∵AC=5，∴△MAC周长的最小值为5+13=18．
14.【答案】13
【解析】提示：连接EB.根据题意得，直线l垂直平分AB，所以BE=AE.所以△AEC的周长为AE+EC+AC=BE+EC+AC≥BC+AC=8+5=13.即当点E在边BC上时，△AEC的周长最小，最小值为13．
15.【答案】∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠AED.在△ACD和△AED中，∠ACD=∠AED,∠CAD=∠EAD,AD=AD,∴△ACD≌△AED(AAS)，∴AC=AE，CD=ED，∴点A、D都在线段CE的垂直平分线上，∴AD垂直平分线段CE
【解析】略
16.【答案】S2=2S1.理由如下：过点C作CG⊥AB，CH⊥AD，垂足分别为G，H.因为AC平分∠BAD，所以CG=CH.因为S△ABC=12AB⋅CG，S△ACD=12AD⋅CH，AB=AD，所以S△ABC=S△ACD，所以S2=S△ABC+S△ACD=2S△ACD.因为S△ACE=12AE⋅CG，S△CDF=12DF⋅CH，AE=DF，所以S△ACE=S△CDF，所以S1=S△ACE+S△ACF=S△CDF+S△ACF=S△ACD，所以S2=2S1．
【解析】略
17.【答案】【小题1】
∵MN⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°.在△ACP和△BCP中，AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC,
∴△ACP≌△BCP(SAS)，∴PA=PB．
【小题2】
①∵MN垂直平分AB，∴MB=MA.∵△MBC的周长是18cm，
∴MB+MC+BC=MA+MC+BC=AC+BC=18cm.∵AC=AB=10cm，∴BC=8cm．
②存在．如图所示，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，∴PA=PB，∴△PBC的周长=PB+PC+BC=PA+PC+BC，∴当A、P、C三点共线，即点P与点M重合时，PA+PC的值最小，即此时△PBC的周长最小，最小值为PA+PC+8=AC+8=18cm．

【解析】1. 略
2. 略
18.【答案】如图，连接AE、CE.∵AC、BD的垂直平分线EM、EN相交于点E，∴AE=CE，BE=DE.在△ABE和△CDE中，AB=CD,BE=DE,AE=CE,∴△ABE≌CDE(SSS)，∴∠ABE=∠CDE

【解析】略
19.【答案】如图所示．点Q、R即为两个加油站的位置．

【解析】作点P关于OA、OB的对称点为M、N，连接MN，分别交OA、OB于点Q、R，则分别在点Q、R处设置加油站，可使运油车所走路程最短．
理由：连接PQ、PR，在OA上另任取一点Qˈ，在OB上另任取一点Rˈ，连接PQˈ、PRˈ、MQˈ、QˈRˈ、NRˈ，由轴对称和垂直平分线的性质可知，PQ=MQ，PR=NR，PQˈ=MQˈ，PRˈ=NRˈ，∴PQ+QR+PR=MQ+QR+RN=MN，PQˈ+QˈRˈ+PRˈ=MQˈ+QˈRˈ+RˈN.∵两点之间线段最短，∴MN