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2023-2024学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷 （含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷 （含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数z＝2﹣i，则2z﹣＝（ ）
A．2﹣3iB．2﹣iC．6﹣iD．6﹣3i
2．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为200的样本，则高一年级李明同学被抽到的可能性为（ ）
A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2
3．已知向量，，若，则x＝（ ）
A．2B．C．3D．
4．已知sin（+α）＝，那么cs（π+α）＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
5．采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%，则反映企业生产经营活动较上月收缩．2023年我国综合PMI产出指数折线图如图所示：
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%
B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差
6．已知圆锥的侧面积为8πm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
8．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中点，F是DC上的一点，且DF＝2FC，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．下列命题正确的是（ ）
A．若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与直线l平行
B．若直线l与平面α相交，则平面α内没有直线与直线l平行
C．已知两条相交直线m，n，若m∥平面α，则n∥平面α
D．已知直线m，n，平面α，β，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
（多选）11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调，且f（）＜0，则（ ）
A．函数f（）的图象关于原点对称
B．f（x）的图象向左平移个单位长度后可能得到g（x）＝sin（ωx+）的图象
C．ω的值不可能是整数
D．f（x）在（0，π）上仅有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数，则＝ ．
13．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处；货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 海里．
14．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知向量．
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角．
16．某中学为调研学生在餐厅用餐的满意度，在本校学生中随机抽取了100人，对餐厅进行评分，满分为100分整理评分数据，将分数以20为组距分为4组，依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）估计该校餐厅得分的80%分位数、众数、中位数；
（2）估计该校餐厅得分的平均数和方差s2．
17．已知函数f（x）＝2sinωxcsωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
18．（17分）在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空．
若 ⊥ ，则该三棱锥为“鳖臑”；
（2）已知三棱锥P﹣ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，
①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；
②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．
19．（17分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°
（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；
（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z＝2﹣i，则2z﹣＝（ ）
A．2﹣3iB．2﹣iC．6﹣iD．6﹣3i
【分析】将z＝2﹣i代入化简计算即可．
解：因为z＝2﹣i，
所以．
故选：A．
2．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为200的样本，则高一年级李明同学被抽到的可能性为（ ）
A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2
【分析】先根据题意结合分层抽样的定义求出高一年级抽取的人数，再利用古典概型的概率公式可求得结果．
解：由题意得高一年级应抽取人，
所以高一年级李明同学被抽到的可能性为．
故选：D．
3．已知向量，，若，则x＝（ ）
A．2B．C．3D．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
解：向量，，，
则1•（1﹣x）＝2x，解得x＝．
故选：B．
4．已知sin（+α）＝，那么cs（π+α）＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】由已知利用诱导公式可得csα＝，然后求出cs（π+α）的值．
解：∵sin（+α）＝csα＝，
∴cs（π+α）＝﹣csα＝﹣．
故选：B．
5．采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%，则反映企业生产经营活动较上月收缩．2023年我国综合PMI产出指数折线图如图所示：
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%
B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差
【分析】根据中位数的定义判断A；利用扩张和收缩情况判断BC；根据数据波动情况判断D．
解：根据折线图得：
各月PM的中位数小于53%，故A错误；
2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于50%，
表明我国企业生产经宫活动持续扩张，故B正确，C错误；
2023年上半年各月pMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误．
故选：B．
6．已知圆锥的侧面积为8πm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用圆锥侧面积公式和侧面展开图是一个半圆可求出母线长和底面圆的半径，继而求出圆锥的高，再由圆锥体积公式求解即可．
解：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，圆锥的高为h，
则S侧＝πrl＝8π，
又圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，
∴l2＝16，l＝4，
∴4πr＝8π，r＝2，
∴，
∴．
故选：B．
7．已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由倍角公式及两角差的正弦把已知等式变形，可得sin，两边平方后即可求得sin2α的值．
解：∵，
∴＝，
整理得：sin，
两边平方得：，即sin2α＝．
故选：D．
8．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知找出正八面体外接球的球心，由体积求出外接球的半径，进一步得到侧面的边长，则答案可求．
解：如图正八面体，连接AC和BD交于点O，
∵EA＝EC，ED＝EB，
∴EO⊥AC，EO⊥BD，又AC和BD为平面ABCD内相交直线，
∴EO⊥平面ABCD，则O为正八面体的外接球的球心，
设正八面体的外接球的半径为R，则，得R＝1．
∴OA＝OE＝OB＝1，可得正八面体的每一个侧面都是边长为的正三角形，
则此正八面体的表面积为8×××＝．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中点，F是DC上的一点，且DF＝2FC，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用向量加法法则运算判断AB，先用加法法则求得，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD．
解：由题意，，故A正确，B错误；
因为，
所以
＝，故C错误，D正确．
故选：AD．
（多选）10．下列命题正确的是（ ）
A．若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与直线l平行
B．若直线l与平面α相交，则平面α内没有直线与直线l平行
C．已知两条相交直线m，n，若m∥平面α，则n∥平面α
D．已知直线m，n，平面α，β，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
【分析】对于A，由线面平行的性质得平面α内有无数条直线与直线l平行；
对于B，由线面相交的定义得平面α内没有直线与直线l平行；
对于C，n与平面α的位置关系不确定；
对于D，m与n平行或异面．
解：对于A，若直线l与平面α平行，则由线面平行的性质得平面α内有无数条直线与直线l平行，故A正确；
对于B，若直线l与平面α相交，则由线面相交的定义得平面α内没有直线与直线l平行，故B正确；
对于C，两条相交直线 m，n，若m∥平面α，则n与平面α的位置关系不确定，故C错误；
对于D，直线m，n，平面α，β，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n平行或异面，故D错误．
故选：AB．
（多选）11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调，且f（）＜0，则（ ）
A．函数f（）的图象关于原点对称
B．f（x）的图象向左平移个单位长度后可能得到g（x）＝sin（ωx+）的图象
C．ω的值不可能是整数
D．f（x）在（0，π）上仅有两个零点
【分析】根据f（x）的表达式化简f（）＝sin，从而判断选项A；由函数f（x）在（，）上单调知≥﹣，根据条件得到＜ω≤，从而判断选项C；由图象变换知f（x+）＝g（x）＝sin（ωx+），化简可得ω＝2+24k（k∈Z），从而判断选项B；由x∈（0，π），知ωx+＞，而＜ωπ+＜π＜3π，从而判断选项D．
解：∵f（x）＝sin（ωx+），
∴f（）＝sin（ω•+）＝sin，故函数f（）为奇函数，
故函数f（）的图象关于原点对称，故选项A正确；
∵函数f（x）在（，）上单调，
∴≥﹣，即T≥，即≥，故0＜ω≤3，
∵f（）＝sin（•ω+）＜0，又∵＜•ω+≤，
故π＜•ω+≤，故＜ω≤3，
∵函数f（x）在（，）上单调，
∴y＝sint在（•ω+，•ω+）上单调，
故•ω+≤，故＜ω≤，则ω的值不可能是整数，故选项C正确；
将f（x）的图象向左平移个单位长度后，
得到函数f（x+）＝sin（ωx+ω+）的图象，
若f（x+）＝g（x）＝sin（ωx+），则ω+＝+2kπ，
故ω＝2+24k（k∈Z），又∵＜ω≤，
∴不存在ω，使f（x）的图象向左平移个单位长度后得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，
故选项B错误；
∵x∈（0，π），∴ωx+＞，＜ωπ+＜π＜3π，
故∃x1、x2∈（0，π），使ωx1+＝π，ωx2+＝2π，
故f（x）在（0，π）上仅有两个零点，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数，则＝ ．
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，可得共轭复数，从而求得其模长．
解：由，则，则，
所以．
故答案为：．
13．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处；货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 海里．
【分析】先在△ABD中利用正弦定理求出AD，再在△ACD中利用余弦定理求出CD．
解：在△ABD中，，则∠ABD＝45°，
由正弦定理得，，
得，得AD＝6，
在△ACD中，AD＝6，，
则由余弦定理得，
所以．
故答案为：．
14．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为 52π ．
【分析】先求出△ABC的外接圆的半径r，再计算出棱锥的高|OO1|，利用勾股定理求出球的半径，从而求出表面积．
解：如图所示 设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，
在△ABC中，由余弦定理可得：
|AC|＝＝2，∵2r＝＝＝4，
解得：r＝2．
又由题知S△ABC＝×2×2×sin120°＝，
又三棱锥O﹣ABC的体积为＝S△ABC•|OO1|，
所以棱锥O﹣ABC的高|OO1|＝3，∴球O的半径R＝＝，
∴球O的表面积为4πR2＝52π．
故答案为：52π．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知向量．
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角．
【分析】（1）利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出x，再求出向量的模．
（2）利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出x，再求出向量夹角．
解：（1）向量，则，
由，得2（3﹣x）＝3，
解得，即，
所以．
（2）向量，则，由，得2×3+3（3+x）＝0，
解得x＝﹣5，则，，而，
因此，而，
所以与的夹角．
16．某中学为调研学生在餐厅用餐的满意度，在本校学生中随机抽取了100人，对餐厅进行评分，满分为100分整理评分数据，将分数以20为组距分为4组，依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）估计该校餐厅得分的80%分位数、众数、中位数；
（2）估计该校餐厅得分的平均数和方差s2．
【分析】（1）根据百分位数，众数，中位数的定义计算即可；
（2）根据平均数和方差的定义计算即可．
解：（1）由题意可得20×（0.005+0.010+a+0.015）＝1，解得a＝0.020．
该校餐厅得分在8（0分）以下的频率为0.1+0.2+0.4＝0.7，该校餐厅得分在[80，100]的频率为0.3，
因此，该校餐厅得分的80%分位数在[80，100]内，由，可以估计该校餐厅得分的80%分位数为．
众数为最高矩形对应区间的中点值，即为70．
又因为0.005×20+0.010×20+0.02×x＝0.5，所以x＝10，所以餐厅得分的中位数为60+10＝70．
（2）餐厅得分的平均数为（分）；
估计该校餐厅得分的方差为s2＝（30﹣68）2×0.1+（50﹣68）2×0.2+（70﹣68）2×0.4+（90﹣68）2×0.3＝356．
17．已知函数f（x）＝2sinωxcsωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出ω＝1，得函数解析式为．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；
（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin2x+1．由此解g（x）＝0得sin2x＝﹣，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．
解：（Ⅰ）由题意，可得
f（x）＝＝．
∵函数的最小正周期为π，∴＝π，解之得ω＝1．
由此可得函数的解析式为．
令，解之得
∴函数f（x）的单调增区间是．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y＝f（x+）+1的图象，
∵
∴g（x）＝+1＝2sin2x+1，可得y＝g（x）的解析式为g（x）＝2sin2x+1．
令g（x）＝0，得sin2x＝﹣，可得2x＝或2x＝
解之得或．
∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若y＝g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，
即b的最小值为．
18．（17分）在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空．
若 AB ⊥ BC ，则该三棱锥为“鳖臑”；
（2）已知三棱锥P﹣ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，
①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；
②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．
【分析】（1）由“鳖臑”的定义求解即可；
（2）①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，利用线面垂直的判定定理和性质证明l⊥平面BCD，即可证明l⊥BD；
②延长ED，BC，交于点F，连接AF，利用线面垂直的判定定理证明AF⊥平面PAB，由二面角的平面角的定义即可证明．
解：（1）因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
则PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
故△PAC与△PAB是两个直角三角形，
当AB⊥BC时，则△BAC为直角三角形，
因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
所以BC⊥PB，则△BPC为直角三角形，
故该三棱锥为“鳖臑”；
（2）①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，
证明如下：
在△ABC中，由余弦定理可得，
由勾股定理逆定理可知，BC⊥AC，
又因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
又l⊂平面PAC，则l⊥BC，
又l⊥CD，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD，
所以l⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD
所以l⊥BD；
②延长ED，BC，交于点F，连接AF，
因为点F∈平面ADE，点F∈平面ABC，
所以平面ADE∩平面ABC＝AF，
因为PA⊥底面ABC，且AF⊂平面ABC
所以PA⊥AF，
因为PB⊥平面EDA，AF⊂平面EDA，
所以PB⊥AF，
又因为 PB∩PA＝P，PA，PB⊂平面PAB，
所以AF⊥平面PAB，
所以AF⊥AE，AF⊥AB，
故∠EAB是平面EAD与平面BAC所形成的二面角的平面角．
19．（17分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°
（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；
（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
【分析】（1）证明△CAN为正三角形，可得△CAN的周长为120，即防护网的总长度为60+km；
（2）利用鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，建立方程，求出CN＝40sinθ，由，得CN＝，即可求出∠ACM的大小；
（3）表示出△CMN 的面积，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
解：（1）∵AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，
∴tanB＝＝，
∴B＝30°，
∴A＝60°，
∴AB＝2AC＝80，
在△ACM中，
由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•csA＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，
则CM＝20，
∴AC2＝AM2+CM2，
∴CM⊥AB，
∵∠MCN＝30°，
∴MN＝CMtan30°＝20，
∴CN＝2MN＝40，
∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20；
（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），
因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，
所以，即CN＝40sinθ，
在△CAN中，由，得CN＝，
从而40sinθ＝，即sin2θ＝，
由0°＜2θ＜120°，
得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°，
（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，
又在△ACM中，由，得CM＝，
所以S△CMN＝CM•CNsin30°＝＝，
所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为1200（2﹣）km2．
1．已知复数z＝2﹣i，则2z﹣＝（ ）
A．2﹣3iB．2﹣iC．6﹣iD．6﹣3i
2．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为200的样本，则高一年级李明同学被抽到的可能性为（ ）
A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2
3．已知向量，，若，则x＝（ ）
A．2B．C．3D．
4．已知sin（+α）＝，那么cs（π+α）＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
5．采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%，则反映企业生产经营活动较上月收缩．2023年我国综合PMI产出指数折线图如图所示：
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%
B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差
6．已知圆锥的侧面积为8πm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
8．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中点，F是DC上的一点，且DF＝2FC，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．下列命题正确的是（ ）
A．若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与直线l平行
B．若直线l与平面α相交，则平面α内没有直线与直线l平行
C．已知两条相交直线m，n，若m∥平面α，则n∥平面α
D．已知直线m，n，平面α，β，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
（多选）11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调，且f（）＜0，则（ ）
A．函数f（）的图象关于原点对称
B．f（x）的图象向左平移个单位长度后可能得到g（x）＝sin（ωx+）的图象
C．ω的值不可能是整数
D．f（x）在（0，π）上仅有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数，则＝ ．
13．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处；货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 海里．
14．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知向量．
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角．
16．某中学为调研学生在餐厅用餐的满意度，在本校学生中随机抽取了100人，对餐厅进行评分，满分为100分整理评分数据，将分数以20为组距分为4组，依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）估计该校餐厅得分的80%分位数、众数、中位数；
（2）估计该校餐厅得分的平均数和方差s2．
17．已知函数f（x）＝2sinωxcsωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
18．（17分）在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空．
若 ⊥ ，则该三棱锥为“鳖臑”；
（2）已知三棱锥P﹣ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，
①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；
②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．
19．（17分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°
（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；
（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z＝2﹣i，则2z﹣＝（ ）
A．2﹣3iB．2﹣iC．6﹣iD．6﹣3i
【分析】将z＝2﹣i代入化简计算即可．
解：因为z＝2﹣i，
所以．
故选：A．
2．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若用随机数法在该中学抽取容量为200的样本，则高一年级李明同学被抽到的可能性为（ ）
A．0.5B．0.4C．0.3D．0.2
【分析】先根据题意结合分层抽样的定义求出高一年级抽取的人数，再利用古典概型的概率公式可求得结果．
解：由题意得高一年级应抽取人，
所以高一年级李明同学被抽到的可能性为．
故选：D．
3．已知向量，，若，则x＝（ ）
A．2B．C．3D．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
解：向量，，，
则1•（1﹣x）＝2x，解得x＝．
故选：B．
4．已知sin（+α）＝，那么cs（π+α）＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】由已知利用诱导公式可得csα＝，然后求出cs（π+α）的值．
解：∵sin（+α）＝csα＝，
∴cs（π+α）＝﹣csα＝﹣．
故选：B．
5．采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用．综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，指数高于50%时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于50%，则反映企业生产经营活动较上月收缩．2023年我国综合PMI产出指数折线图如图所示：
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A．2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于53%
B．2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C．2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D．2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差
【分析】根据中位数的定义判断A；利用扩张和收缩情况判断BC；根据数据波动情况判断D．
解：根据折线图得：
各月PM的中位数小于53%，故A错误；
2023年各月，2023年我国综合PMI产出指数均大于50%，
表明我国企业生产经宫活动持续扩张，故B正确，C错误；
2023年上半年各月pMI比下半年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误．
故选：B．
6．已知圆锥的侧面积为8πm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用圆锥侧面积公式和侧面展开图是一个半圆可求出母线长和底面圆的半径，继而求出圆锥的高，再由圆锥体积公式求解即可．
解：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，圆锥的高为h，
则S侧＝πrl＝8π，
又圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，
∴l2＝16，l＝4，
∴4πr＝8π，r＝2，
∴，
∴．
故选：B．
7．已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由倍角公式及两角差的正弦把已知等式变形，可得sin，两边平方后即可求得sin2α的值．
解：∵，
∴＝，
整理得：sin，
两边平方得：，即sin2α＝．
故选：D．
8．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知找出正八面体外接球的球心，由体积求出外接球的半径，进一步得到侧面的边长，则答案可求．
解：如图正八面体，连接AC和BD交于点O，
∵EA＝EC，ED＝EB，
∴EO⊥AC，EO⊥BD，又AC和BD为平面ABCD内相交直线，
∴EO⊥平面ABCD，则O为正八面体的外接球的球心，
设正八面体的外接球的半径为R，则，得R＝1．
∴OA＝OE＝OB＝1，可得正八面体的每一个侧面都是边长为的正三角形，
则此正八面体的表面积为8×××＝．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中点，F是DC上的一点，且DF＝2FC，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用向量加法法则运算判断AB，先用加法法则求得，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD．
解：由题意，，故A正确，B错误；
因为，
所以
＝，故C错误，D正确．
故选：AD．
（多选）10．下列命题正确的是（ ）
A．若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与直线l平行
B．若直线l与平面α相交，则平面α内没有直线与直线l平行
C．已知两条相交直线m，n，若m∥平面α，则n∥平面α
D．已知直线m，n，平面α，β，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
【分析】对于A，由线面平行的性质得平面α内有无数条直线与直线l平行；
对于B，由线面相交的定义得平面α内没有直线与直线l平行；
对于C，n与平面α的位置关系不确定；
对于D，m与n平行或异面．
解：对于A，若直线l与平面α平行，则由线面平行的性质得平面α内有无数条直线与直线l平行，故A正确；
对于B，若直线l与平面α相交，则由线面相交的定义得平面α内没有直线与直线l平行，故B正确；
对于C，两条相交直线 m，n，若m∥平面α，则n与平面α的位置关系不确定，故C错误；
对于D，直线m，n，平面α，β，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n平行或异面，故D错误．
故选：AB．
（多选）11．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上单调，且f（）＜0，则（ ）
A．函数f（）的图象关于原点对称
B．f（x）的图象向左平移个单位长度后可能得到g（x）＝sin（ωx+）的图象
C．ω的值不可能是整数
D．f（x）在（0，π）上仅有两个零点
【分析】根据f（x）的表达式化简f（）＝sin，从而判断选项A；由函数f（x）在（，）上单调知≥﹣，根据条件得到＜ω≤，从而判断选项C；由图象变换知f（x+）＝g（x）＝sin（ωx+），化简可得ω＝2+24k（k∈Z），从而判断选项B；由x∈（0，π），知ωx+＞，而＜ωπ+＜π＜3π，从而判断选项D．
解：∵f（x）＝sin（ωx+），
∴f（）＝sin（ω•+）＝sin，故函数f（）为奇函数，
故函数f（）的图象关于原点对称，故选项A正确；
∵函数f（x）在（，）上单调，
∴≥﹣，即T≥，即≥，故0＜ω≤3，
∵f（）＝sin（•ω+）＜0，又∵＜•ω+≤，
故π＜•ω+≤，故＜ω≤3，
∵函数f（x）在（，）上单调，
∴y＝sint在（•ω+，•ω+）上单调，
故•ω+≤，故＜ω≤，则ω的值不可能是整数，故选项C正确；
将f（x）的图象向左平移个单位长度后，
得到函数f（x+）＝sin（ωx+ω+）的图象，
若f（x+）＝g（x）＝sin（ωx+），则ω+＝+2kπ，
故ω＝2+24k（k∈Z），又∵＜ω≤，
∴不存在ω，使f（x）的图象向左平移个单位长度后得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，
故选项B错误；
∵x∈（0，π），∴ωx+＞，＜ωπ+＜π＜3π，
故∃x1、x2∈（0，π），使ωx1+＝π，ωx2+＝2π，
故f（x）在（0，π）上仅有两个零点，故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数，则＝ ．
【分析】根据复数的除法运算化简复数z，可得共轭复数，从而求得其模长．
解：由，则，则，
所以．
故答案为：．
13．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处；货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为 海里．
【分析】先在△ABD中利用正弦定理求出AD，再在△ACD中利用余弦定理求出CD．
解：在△ABD中，，则∠ABD＝45°，
由正弦定理得，，
得，得AD＝6，
在△ACD中，AD＝6，，
则由余弦定理得，
所以．
故答案为：．
14．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为 52π ．
【分析】先求出△ABC的外接圆的半径r，再计算出棱锥的高|OO1|，利用勾股定理求出球的半径，从而求出表面积．
解：如图所示 设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，
在△ABC中，由余弦定理可得：
|AC|＝＝2，∵2r＝＝＝4，
解得：r＝2．
又由题知S△ABC＝×2×2×sin120°＝，
又三棱锥O﹣ABC的体积为＝S△ABC•|OO1|，
所以棱锥O﹣ABC的高|OO1|＝3，∴球O的半径R＝＝，
∴球O的表面积为4πR2＝52π．
故答案为：52π．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知向量．
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角．
【分析】（1）利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出x，再求出向量的模．
（2）利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出x，再求出向量夹角．
解：（1）向量，则，
由，得2（3﹣x）＝3，
解得，即，
所以．
（2）向量，则，由，得2×3+3（3+x）＝0，
解得x＝﹣5，则，，而，
因此，而，
所以与的夹角．
16．某中学为调研学生在餐厅用餐的满意度，在本校学生中随机抽取了100人，对餐厅进行评分，满分为100分整理评分数据，将分数以20为组距分为4组，依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
（1）估计该校餐厅得分的80%分位数、众数、中位数；
（2）估计该校餐厅得分的平均数和方差s2．
【分析】（1）根据百分位数，众数，中位数的定义计算即可；
（2）根据平均数和方差的定义计算即可．
解：（1）由题意可得20×（0.005+0.010+a+0.015）＝1，解得a＝0.020．
该校餐厅得分在8（0分）以下的频率为0.1+0.2+0.4＝0.7，该校餐厅得分在[80，100]的频率为0.3，
因此，该校餐厅得分的80%分位数在[80，100]内，由，可以估计该校餐厅得分的80%分位数为．
众数为最高矩形对应区间的中点值，即为70．
又因为0.005×20+0.010×20+0.02×x＝0.5，所以x＝10，所以餐厅得分的中位数为60+10＝70．
（2）餐厅得分的平均数为（分）；
估计该校餐厅得分的方差为s2＝（30﹣68）2×0.1+（50﹣68）2×0.2+（70﹣68）2×0.4+（90﹣68）2×0.3＝356．
17．已知函数f（x）＝2sinωxcsωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．
【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出ω＝1，得函数解析式为．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；
（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin2x+1．由此解g（x）＝0得sin2x＝﹣，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值．
解：（Ⅰ）由题意，可得
f（x）＝＝．
∵函数的最小正周期为π，∴＝π，解之得ω＝1．
由此可得函数的解析式为．
令，解之得
∴函数f（x）的单调增区间是．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y＝f（x+）+1的图象，
∵
∴g（x）＝+1＝2sin2x+1，可得y＝g（x）的解析式为g（x）＝2sin2x+1．
令g（x）＝0，得sin2x＝﹣，可得2x＝或2x＝
解之得或．
∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若y＝g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，
即b的最小值为．
18．（17分）在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）从三棱锥P﹣ABC中选择合适的两条棱填空．
若 AB ⊥ BC ，则该三棱锥为“鳖臑”；
（2）已知三棱锥P﹣ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，
①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D的直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；
②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．
【分析】（1）由“鳖臑”的定义求解即可；
（2）①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，利用线面垂直的判定定理和性质证明l⊥平面BCD，即可证明l⊥BD；
②延长ED，BC，交于点F，连接AF，利用线面垂直的判定定理证明AF⊥平面PAB，由二面角的平面角的定义即可证明．
解：（1）因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
则PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
故△PAC与△PAB是两个直角三角形，
当AB⊥BC时，则△BAC为直角三角形，
因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
则BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，
所以BC⊥PB，则△BPC为直角三角形，
故该三棱锥为“鳖臑”；
（2）①连接CD，在△PAC内，过点D作l⊥CD，即可得l为所求直线，
证明如下：
在△ABC中，由余弦定理可得，
由勾股定理逆定理可知，BC⊥AC，
又因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
又l⊂平面PAC，则l⊥BC，
又l⊥CD，CD∩BC＝C，CD，BC⊂平面BCD，
所以l⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD
所以l⊥BD；
②延长ED，BC，交于点F，连接AF，
因为点F∈平面ADE，点F∈平面ABC，
所以平面ADE∩平面ABC＝AF，
因为PA⊥底面ABC，且AF⊂平面ABC
所以PA⊥AF，
因为PB⊥平面EDA，AF⊂平面EDA，
所以PB⊥AF，
又因为 PB∩PA＝P，PA，PB⊂平面PAB，
所以AF⊥平面PAB，
所以AF⊥AE，AF⊥AB，
故∠EAB是平面EAD与平面BAC所形成的二面角的平面角．
19．（17分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°
（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；
（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；
（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？
【分析】（1）证明△CAN为正三角形，可得△CAN的周长为120，即防护网的总长度为60+km；
（2）利用鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，建立方程，求出CN＝40sinθ，由，得CN＝，即可求出∠ACM的大小；
（3）表示出△CMN 的面积，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
解：（1）∵AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，
∴tanB＝＝，
∴B＝30°，
∴A＝60°，
∴AB＝2AC＝80，
在△ACM中，
由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•csA＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，
则CM＝20，
∴AC2＝AM2+CM2，
∴CM⊥AB，
∵∠MCN＝30°，
∴MN＝CMtan30°＝20，
∴CN＝2MN＝40，
∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20；
（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），
因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，
所以，即CN＝40sinθ，
在△CAN中，由，得CN＝，
从而40sinθ＝，即sin2θ＝，
由0°＜2θ＜120°，
得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°，
（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，
又在△ACM中，由，得CM＝，
所以S△CMN＝CM•CNsin30°＝＝，
所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为1200（2﹣）km2．
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