山西大学附属中学校2024~2025学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份山西大学附属中学校2024~2025学年高三上学期开学考试数学试题，共16页。试卷主要包含了设集合，，若，则，若复数满足，在边长为4的菱形中，等内容，欢迎下载使用。

数 学 试 题
考查时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（ ）
A．1 B．-1C． D．
3．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A．B．C．D．9
5．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）．
A．种B．种C．种D．种
7．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）
9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．

10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A．关于的函数是偶函数
B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共15分．）
12．的展开式中常数项为 .（用数字作答）
13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”.那么是斐波拉契数列中的第 项.
14．已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为 .
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题13分）已知递增的等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.
17．在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
18.已知函数，若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．
(1)求函数的周期和对称轴方程；
(2)若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；
(3)若方程在上的解为，求．
19．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.
(1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
(3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围.
山西大学附中
2024~~2025学年第一学期高三开学考试
数 学 试 题
考查时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
2．若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部是（ ）
A．1 B．-1C． D．
【答案】B
【详解】依题意，，的虚部是.
3．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A，，为奇函数，排除；
对于B，，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.故选：D
4．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A．B．C．D．9
【答案】A
【详解】由题意得，劣弧，故扇形的面积为，设圆心角为，则，故，
故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为.
5．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，令，显然有，而，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，当，时，由，得，
当且仅当时取等号，反之取，满足，而不成立，
因此是成立的一个充分不必要条件，C是；
对于D，令，不等式成立，而，D不是.故选：C
6．基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）．
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【详解】先将五门课程分成三组，再安排到三个学年中，则共有种选修方式
7．在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】连接、，交于点，连接，为菱形，，
所以，，，所以为二面角的平面角，
于是，又因为，
所以，
取中点，取中点，连接、、，所以、，
所以、，，相交，所以平面，
所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，
因为，，，
所以的周长为，
所以点轨迹的长度为．
8．已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题设有，
令，则有即.
因为在区间内没有零点，故存在整数，使得，
即，因为，所以且，故或，
所以或
二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）
9．已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
【答案】BC
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A．关于的函数是偶函数
B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
【答案】BCD
【详解】对A，由题意，，
所以，当时，可得，所以，
故，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对B，由题意，即，
即，所以，或，
，即或，，故B正确；
对C，由题意，即，即，
所以，，解得.
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，
故（m）.故D正确.
11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共15分．）
12．的展开式中常数项为 .（用数字作答）
【答案】84
【详解】根据通项公式,
令 ,解得,所以,
13．意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”.那么是斐波拉契数列中的第 项.
【答案】2024
【详解】由已知
，.即是斐波拉契数列中的第2024项.
14．已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，，
作出图象，作出图像，
时，有两根，设为，，则，，即，此时有2个根，，此时有2个根，共4个根，不满足条件.
时，，解得或或6，即，无解，，2解，，2解，共4个解，不满足条件.
时，，有四个根，设为，，，，
其中，，，，即，无解，
，无解，，2解，，2解，共4个解，不满足条件.
时，有4个根，0，2，，（），，1解，，1解，，2解，，2解，共6解，满足条件.
时，，有3个根，设为，，，
其中，，，即有2解，有2解，有2解，共6解，满足条件.
时，，有两根和3，有2个根，
有2个根，共4个根，不满足条件，综上.
故答案为.
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题13分）已知递增的等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等比数列公比为，由题，…………2分
解得，…………4分 故．…………5分
（2），…………7分
所以，
…………9分
，…………11分
．…………13分
16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】证明：方法1：如图，在上取一点，使得，连接，，，
因为底面是平行四边形，所以，所以，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以 平面，…………2分
又因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以 平面，…………4分
又因为，平面，所以平面 平面，…………5分
因为平面，所以 平面.…………6分
方法2：利用线线平行证明，也可酌情给分
在上取一点，使得，连接
证明出四边形为平行四边形…………4分
得出…………5分，证明平面.…………6分
（2）当为中点，，，易知，为中点，
又因为平面，所以两两垂直，…………8分
则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图，
设，则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，……10分
设平面的一个法向量为，
则，令，得，……12分
所以，…………14分
故二面角的正弦值为，正切值为.故二面角的正切值为.…………15分
17．在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在；
【详解】（1）由已知，得，…………2分
因为，所以，斜率，…………4分
因此，切线方程为，即．…………6分
（2）存在符合题意的点，理由如下：…………7分
设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为．
联立方程，得，…………8分
因为，则，可得，…………10分
从而……12分
，……14分
因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，
则直线与直线的倾斜角互补，故，
所以点符合题意．…………15分
注意：
本题是利用点位置证明，如果证明逻辑有误，扣1分.
此处也可以带入消去仍得到相同的式子
18.已知函数，若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．
(1)求函数的周期和对称轴方程；
(2)若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；
(3)若方程在上的解为，求．
【详解】（1），…3分
，…………4分
令，得∴对称轴方程；…………5分
由题意可得…………7分，
由方程由，可得，因为，则，令，则，所以，，……9分
设，直线与函数在上的图象四个交点，
点、关于直线对称，点、关于直线对称，
点、关于直线对称，
所以，，，即，…………10分
即，解得；…………11分
方程在上的解为，
∴为方程在上的两解，不妨设，
当时，，，，，，，，…… 12分
，，…… 13分
，，…………15分
，，∴．…………17分
19．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.
(1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
(3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围.
【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)
【详解】（1）函数不是“旋转函数”，因为逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，…… 2分
因此函数不是“旋转函数”.…… 4分
由题意可得函数与函数最多有1个交点，…… 5分
且，所以最多有一个根，
即最多有一个根，
因此函数与函数R最多有1个交点，
即函数在上单调，…… 6分
因为，且，
所以，所以，…… 8分
即，，即的最大值为.…… 10分
（3）由题意可得函数与函数最多有1个交点，
即，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，…… 12分
，当时，所以，… 13分
令，则，… 14分
因为在上单调减，且，
所以存在，使，即，…15分
所以在单调递增，单调递减，… 16分
所以，即..…… 17分