湖南省长沙市六校2025届高三上学期8月开学联合检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市六校2025届高三上学期8月开学联合检测数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题原卷版docx、湖南省长沙市六校2025届高三上学期八月开学联合检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2． 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3． 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4． 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单选题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，（ ）
A. B. C. D
2. 若复数z满足 则（ ）.
A. 1B. C. 2D.
3. 已知，若，则等于（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
4. 已知，，（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥的母线为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥体积为（ ）
A B. C. D.
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的一个单调递增区间为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 方程有解
C. 是偶函数D. 是偶函数
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若随机变量服从标准正态分布，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ）
A. 点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积最大值为6
B. 曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C. 若，P是半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为
D. 画法几何创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________．
13. 函数与函数公切线的斜率为__________.
14. 已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）证明：平面平面PBC；
（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
17. 已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
（1）求直线的斜率k的取值范围；
（2）若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
18. 已知函数.
（1）讨论导函数的单调性；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若，且每个元件正常工作的概率．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．