新高考数学一轮复习讲义 第04讲 基本不等式（2份打包，原卷版+含解析）

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一、知识点梳理
1.基本不等式
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．其中， SKIPIF 1 < 0 叫作 SKIPIF 1 < 0 的算术平均数， SKIPIF 1 < 0 叫作 SKIPIF 1 < 0 的几何平均数．即正数 SKIPIF 1 < 0 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
基本不等式2：若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.
（1）几个重要的不等式
① SKIPIF 1 < 0
②基本不等式：如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“”).
特例： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 同号）.
（2）其他变形：
① SKIPIF 1 < 0 (沟通两和 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
② SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两平方和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
③ SKIPIF 1 < 0 (沟通两积 SKIPIF 1 < 0 与两和 SKIPIF 1 < 0 的不等关系式)
④重要不等式串： SKIPIF 1 < 0 即
调和平均值 SKIPIF 1 < 0 几何平均值 SKIPIF 1 < 0 算数平均值 SKIPIF 1 < 0 平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 (定值)，则 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当“ SKIPIF 1 < 0 ”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型二： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型三： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；
模型四： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
二、题型分类精讲
题型一 直接法求最值
策略方法
直接利用基本不等式求解，注意取等条件
【典例1】下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
3．下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明 SKIPIF 1 < 0 现有如图所示图形，点 SKIPIF 1 < 0 在半圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直径 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该图形可以直接完成的无字证明为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设a， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．已知正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，有下列不等式：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．
其中，恒成立的是______．（写出所有满足要求的不等式序号）
题型二 常规凑配法求最值
策略方法
1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2．注意验证取得条件．
【典例1】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最大值时x的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知实数x满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．4D．8
【典例3】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【题型训练】
一、单选题
1．已知正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
5．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
7．（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值为________．
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________．
（3）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
8．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________．
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________．
11．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
题型三 消参法求最值
策略方法
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
【典例1】若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．5B．8C．13D．16
【题型训练】
一、单选题
1．已知正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
2．若正数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）．
A．3B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
3．已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 B．a2+b2有最小值 SKIPIF 1 < 0
C．4a+2b有最小值8D．lna+lnb有最小值ln2
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是_______．
6．若正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
题型四 “1”的代换求最值
策略方法
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．
1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2．注意验证取得条件．
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
二、多选题
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的值可以为（ ）
A．10B．9C．8D．7
5．下列能使式子 SKIPIF 1 < 0 最小值为1的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
9．设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___________.
题型五 基本不等式及其应用
策略方法
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.
【典例1】已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则ab的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
3．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
4．已知x，y为正实数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则夹角 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
6．下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2
B．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3
C．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
D．如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
8．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取最小值时a的值为______．
9．已知各项为正的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
10．已知椭圆 C的焦点为 SKIPIF 1 < 0 为 C 上一点满足 SKIPIF 1 < 0 ，则C 的离心率取值范围是________．
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
题型六 利用基本不等式解决实际问题
策略方法 利用基本不等式解决实际问题的三个注意点
(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)的单调性．
【典例1】2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，寓意福寿安康．故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔 图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面205cm．小南眼睛距地面的距离为150cm，为使观赏视角 SKIPIF 1 < 0 最大，小南离墙距离S应为（ ）
A．11 SKIPIF 1 < 0 cmB．8 SKIPIF 1 < 0 cmC．11 SKIPIF 1 < 0 cmD．44 SKIPIF 1 < 0 cm
【题型训练】
一、单选题
1．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用 SKIPIF 1 < 0 年的维修总费用为 SKIPIF 1 < 0 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为传感器在静水中行进的速度(单位： SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 为行进的时间(单位： SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 为常数，如果待测量的河道的水流速度为 SKIPIF 1 < 0 ，则该传感器在水中逆流行进 SKIPIF 1 < 0 消耗的能量的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，曲线段 SKIPIF 1 < 0 是圆心角为 SKIPIF 1 < 0 的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，周长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）．（本题中取 SKIPIF 1 < 0 进行计算）
A．6B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．9
二、填空题
4．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 SKIPIF 1 < 0 的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 SKIPIF 1 < 0 ，各试验区之间也空0.5 SKIPIF 1 < 0 .则每块试验区的面积的最大值为___________ SKIPIF 1 < 0 .
5．党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产 SKIPIF 1 < 0 万件，需可变成本 SKIPIF 1 < 0 万元，当产量不足50万件时， SKIPIF 1 < 0 ；当产量不小于50万件时， SKIPIF 1 < 0 .每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.
三、解答题
6．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且 SKIPIF 1 < 0 .经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
7．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品 SKIPIF 1 < 0 万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为 SKIPIF 1 < 0 万元，且 SKIPIF 1 < 0
(1)求月利润 SKIPIF 1 < 0 （万元）关于月产量 SKIPIF 1 < 0 （万件）的函数关系式（利润 SKIPIF 1 < 0 销售收入一成本）；
(2)当月产量 SKIPIF 1 < 0 为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.
题型七 利用基本不等式证明
策略方法
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.
【典例1】9．已知 SKIPIF 1 < 0 是正实数.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
【题型训练】
一、解答题
1．设a，b，c SKIPIF 1 < 0 R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ SKIPIF 1 < 0 ．
2．已知a，b，c都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
4．已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
①直接法求最值
②常规凑配法求最值
③消参法求最值
④“1”的代换求最值
⑤基本不等式及其应用
⑥利用基本不等式解决实际问题
⑦利用基本不等式证明