资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩10页未读，
继续阅读
所属成套资源：新高考数学一轮复习讲义 （2份打包，原卷版+含解析）
成套系列资料，整套一键下载
新高考数学一轮复习讲义 第09讲 二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+含解析）
展开
这是一份新高考数学一轮复习讲义 第09讲 二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第09讲二次函数与幂函数原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第09讲二次函数与幂函数含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
一、知识点梳理
1.幂函数的定义
一般地， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① SKIPIF 1 < 0 的系数为1；② SKIPIF 1 < 0 的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4．二次函数的图像
二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【常用结论】
1.幂函数 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内图象的画法如下：
①当 SKIPIF 1 < 0 时，其图象可类似 SKIPIF 1 < 0 画出；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，其图象可类似 SKIPIF 1 < 0 画出；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，其图象可类似 SKIPIF 1 < 0 画出．
2．实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）方程有两个不等负根 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
二、题型分类精讲
题型一 幂函数的定义与图像
策略方法 若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
【典例1】已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．现有下列函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ；⑦ SKIPIF 1 < 0 ，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足 SKIPIF 1 < 0 形式，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件，共2个
故选：B
2．已知 SKIPIF 1 < 0 为幂函数， 且 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据幂函数及 SKIPIF 1 < 0 求其解析式，进而求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为幂函数，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果.
【详解】A SKIPIF 1 < 0 ，则需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故A不符合题意；
B SKIPIF 1 < 0 ，则需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故B不符合题意；
C SKIPIF 1 < 0 ，则需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故C不符合题意；
D SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：D.
4．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图像过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图像过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，排除A,B选项；
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据函数的性质逐项分析即得．
【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数为奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数为偶函数，故D错误.
故选：A．
7．如图所示是函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且互质)的图象，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是奇数且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是偶数， SKIPIF 1 < 0 是奇数，且 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是偶数， SKIPIF 1 < 0 是奇数，且 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 是偶数，且 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，故 SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
二、填空题
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将函数解析式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得原函数的定义域.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．设集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，先求出集合A、B，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则m的值为____________．
【答案】81
【分析】根据函数图象过的点求得参数 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数解析式，再代入求值即得答案.
【详解】由题意函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：81
11．幂函数 SKIPIF 1 < 0 满足：任意 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，请写出符合上述条件的一个函数 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 ，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，则定义域为R，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 即可)
【分析】作出y=x和y= SKIPIF 1 < 0 的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【详解】y=x和y= SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，y= SKIPIF 1 < 0 有部分函数值比y=x的函数值小，
故当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是增函数．
故答案为：-2．
题型二 幂函数的性质和综合应用
策略方法
(1)紧扣幂函数 SKIPIF 1 < 0 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】函数 SKIPIF 1 < 0 同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有 SKIPIF 1 < 0 ；②在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 的值依次求出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后根据函数的性质确定 SKIPIF 1 < 0 ，得函数解析式，计算函数值．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ，
在定义域内 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，因此 SKIPIF 1 < 0 取值 SKIPIF 1 < 0 或0，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是减函数，
只有 SKIPIF 1 < 0 满足，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【题型训练】
一、单选题
1．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 幂函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为偶数，
则实数 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
2．幂函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，且在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】分别代入 SKIPIF 1 < 0 的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，在 SKIPIF 1 < 0 上是常函数；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
故选：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增即可判断出结论.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是奇函数且为递增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递增，得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件.
故选：C.
4．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，易知， SKIPIF 1 < 0 为偶函数且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用中间值 SKIPIF 1 < 0 比较a,b的大小，再让b，c与中间值 SKIPIF 1 < 0 比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，又因为通过计算知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多选题
6．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数
C．过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 图象相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点 SKIPIF 1 < 0 求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即选项A错误；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即选项C正确；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 成立，即选项D错误．
故选：BC．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】首先根据函数是幂函数，求得 SKIPIF 1 < 0 的两个值，然后根据题意判断函数在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，确定 SKIPIF 1 < 0 的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】由于函数 SKIPIF 1 < 0 为幂函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .由于“对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ”知，函数在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 .
易见 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 是单调递增的奇函数.
由于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时，若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上可知， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
【点睛】本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的符号情况.
三、填空题
8．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，在 SKIPIF 1 < 0 上递增的，且满足 SKIPIF 1 < 0 .请写出一个满足条件的 SKIPIF 1 < 0 的值， SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合偶函数和单调性及 SKIPIF 1 < 0 可得，答案不是唯一的.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增的，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 的值可以为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查幂函数的性质，幂函数的单调性和奇偶性取决于 SKIPIF 1 < 0 ，侧重考查数学抽象的核心素养.
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， SKIPIF 1 < 0 ，则f(-8)的值是____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求 SKIPIF 1 < 0 ，再根据奇函数求 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式 SKIPIF 1 < 0 的解集为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
由幂函数的性质知，函数 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
11．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于y轴对称．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可；
(2)由(1)求出函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 的图像关于y轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R.
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由幂函数定义求得参数 SKIPIF 1 < 0 值；
（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间 SKIPIF 1 < 0 上，再由指数函数性质，对数的定义得结论．
【详解】（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
题型三 二次函数单调性问题
策略方法 二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
【典例1】“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调，
所以“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分且必要条件.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．若二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先根据 SKIPIF 1 < 0 ，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而得到 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故要想在 SKIPIF 1 < 0 为单调函数，需满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
3．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点都在区间 SKIPIF 1 < 0 内，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
要使二次函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点都在区间 SKIPIF 1 < 0 内，
需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：C
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答案.
【详解】解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 在R上为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
二、填空题
5．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围即可.
【详解】易知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．若函数 SKIPIF 1 < 0 满足下列性质：
（1）定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
（3）对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
写出函数 SKIPIF 1 < 0 的一个解析式：_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （不唯一）
【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.
【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，满足（ SKIPIF 1 < 0 ），
因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，满足（ SKIPIF 1 < 0 ），
又 SKIPIF 1 < 0 ，满足（ SKIPIF 1 < 0 ），
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （不唯一）．
7．若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是_____________.
【答案】[0,4]
【分析】可先求出二次函数的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，再根据函数的增减性及对称性可求得m的取值范围．
【详解】二次函数的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时函数单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，二次函数开口向下， SKIPIF 1 < 0 函数单调递减，根据二次函数的对称性， SKIPIF 1 < 0 ，f(m)≥f(0)， SKIPIF 1 < 0
【点睛】二次函数是对称函数，解题时，一定要根据对称性来解题，防止漏解错解．
题型四 二次函数最值问题
策略方法 二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1】若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B．－3C． SKIPIF 1 < 0 或－3D．4
【答案】C
【分析】按 SKIPIF 1 < 0 分类讨论求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，然后由最大值为4得参数值．
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为 SKIPIF 1 < 0 或－3．
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【分析】根据二次函数性质求得最小值，由最小值得 SKIPIF 1 < 0 值，从而再求得最大值．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴其最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴其最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求导，由单调性得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范围.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
要满足 SKIPIF 1 < 0 ①，或 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①得： SKIPIF 1 < 0 ，由②得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上：实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为-1，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2或 SKIPIF 1 < 0 B．1或 SKIPIF 1 < 0 C．2D．1
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间 SKIPIF 1 < 0 的关系，求出其最小值，列方程可求出 SKIPIF 1 < 0 的值
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，图象开口向上，
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，不符合 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时．则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不符合，
综上可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
4．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由二次函数的值域可得出 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意，
因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．设二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值2，
故选：A．
二、填空题
6．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二次函数的性质确定在开区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值的情况列不等式，即可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是.
【详解】解：二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，且二次函数开口向上
若函数在开区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数在 SKIPIF 1 < 0 处能取到最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于 SKIPIF 1 < 0 成轴对称，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因为定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为13，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，其对称轴为 SKIPIF 1 < 0 .
该二次函数在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 舍去).
②若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去).
综上可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
9．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.
【详解】对①：∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数；
若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故若 SKIPIF 1 < 0 是非奇非偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ；
对③：若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，则有：
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，无最值，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 为二次函数且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，则 SKIPIF 1 < 0 ；
对②：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 开口向下，且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上既不是增函数也不是减函数；
综上所述：实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型五 二次函数恒成立问题
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min．
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f (x)＝ax2＋bx＋c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f m＜0，,f n＜0.))
【典例1】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】整理可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，根据x的范围，可求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，分析即可得答案.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
只需 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值为1，则 SKIPIF 1 < 0 有最大值为3，
则 SKIPIF 1 < 0 ，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调减函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由求导公式和法则求出 SKIPIF 1 < 0 ，由导数与函数单调性的关系，列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在[1，+∞）上是单调减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ≤0在[1，+∞）上恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 ≤0时，则 SKIPIF 1 < 0 在[1，+∞）上恒成立，
即a SKIPIF 1 < 0 ，设g（x） SKIPIF 1 < 0 ，
因为x∈[1，+∞），所以 SKIPIF 1 < 0 ∈（0，1]，
当 SKIPIF 1 < 0 时，g（x）取到最大值是： SKIPIF 1 < 0 ，
所以a SKIPIF 1 < 0 ，
所以数a的取值范围是（﹣∞， SKIPIF 1 < 0 ]
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒成立问题，利用分离常数法，求函数值域，属于中档题．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题设得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，参变分离后求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可求解.
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“对任意的正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】本题通过分离参数转化为 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用二次函数配方得到其最大值，即得到 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对任意正数 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是其充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，求其在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值即可.
【详解】对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则其在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先利用单调性的定义，结合条件推得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，从而分类讨论 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两种情况，利用一次函数与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 为正的常数，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切非负实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.
【详解】原不等式即 SKIPIF 1 < 0 ① ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入①式，则有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数的性质， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为正的常数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为不等式 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以不等式 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）；故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 SKIPIF 1 < 0 恒成立( SKIPIF 1 < 0 即可)或 SKIPIF 1 < 0 恒成立（ SKIPIF 1 < 0 即可）；② 数形结合( SKIPIF 1 < 0 图象在 SKIPIF 1 < 0 上方即可)；③ 讨论最值 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质和综合应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值问题
⑤二次函数恒成立问题
★【文末附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
函数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图象
定义域
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
值域
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
公共点
SKIPIF 1 < 0
一、知识点梳理
1.幂函数的定义
一般地， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① SKIPIF 1 < 0 的系数为1；② SKIPIF 1 < 0 的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4．二次函数的图像
二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【常用结论】
1.幂函数 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内图象的画法如下：
①当 SKIPIF 1 < 0 时，其图象可类似 SKIPIF 1 < 0 画出；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，其图象可类似 SKIPIF 1 < 0 画出；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，其图象可类似 SKIPIF 1 < 0 画出．
2．实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）方程有两个不等负根 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
二、题型分类精讲
题型一 幂函数的定义与图像
策略方法 若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
【典例1】已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．现有下列函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ；⑦ SKIPIF 1 < 0 ，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足 SKIPIF 1 < 0 形式，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件，共2个
故选：B
2．已知 SKIPIF 1 < 0 为幂函数， 且 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据幂函数及 SKIPIF 1 < 0 求其解析式，进而求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为幂函数，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果.
【详解】A SKIPIF 1 < 0 ，则需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故A不符合题意；
B SKIPIF 1 < 0 ，则需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故B不符合题意；
C SKIPIF 1 < 0 ，则需要满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故C不符合题意；
D SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：D.
4．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图像过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图像过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，排除A,B选项；
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据函数的性质逐项分析即得．
【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数为奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数为偶函数，故D错误.
故选：A．
7．如图所示是函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且互质)的图象，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是奇数且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是偶数， SKIPIF 1 < 0 是奇数，且 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是偶数， SKIPIF 1 < 0 是奇数，且 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 是偶数，且 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，故 SKIPIF 1 < 0 为奇数， SKIPIF 1 < 0 为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
二、填空题
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】将函数解析式变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得原函数的定义域.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
9．设集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，先求出集合A、B，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则m的值为____________．
【答案】81
【分析】根据函数图象过的点求得参数 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数解析式，再代入求值即得答案.
【详解】由题意函数 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：81
11．幂函数 SKIPIF 1 < 0 满足：任意 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，请写出符合上述条件的一个函数 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 ，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，则定义域为R，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 即可)
【分析】作出y=x和y= SKIPIF 1 < 0 的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【详解】y=x和y= SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，y= SKIPIF 1 < 0 有部分函数值比y=x的函数值小，
故当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是增函数．
故答案为：-2．
题型二 幂函数的性质和综合应用
策略方法
(1)紧扣幂函数 SKIPIF 1 < 0 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】函数 SKIPIF 1 < 0 同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有 SKIPIF 1 < 0 ；②在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 的值依次求出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后根据函数的性质确定 SKIPIF 1 < 0 ，得函数解析式，计算函数值．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ，
在定义域内 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，因此 SKIPIF 1 < 0 取值 SKIPIF 1 < 0 或0，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不是减函数，
只有 SKIPIF 1 < 0 满足，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【题型训练】
一、单选题
1．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 幂函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为偶数，
则实数 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
2．幂函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，且在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】分别代入 SKIPIF 1 < 0 的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，在 SKIPIF 1 < 0 上是常函数；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；
故选：D.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增即可判断出结论.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是奇函数且为递增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，函数单调递增，得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件.
故选：C.
4．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，易知， SKIPIF 1 < 0 为偶函数且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用中间值 SKIPIF 1 < 0 比较a,b的大小，再让b，c与中间值 SKIPIF 1 < 0 比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，又因为通过计算知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、多选题
6．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数
C．过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 图象相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点 SKIPIF 1 < 0 求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即选项A错误；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即选项C正确；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 成立，即选项D错误．
故选：BC．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】首先根据函数是幂函数，求得 SKIPIF 1 < 0 的两个值，然后根据题意判断函数在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，确定 SKIPIF 1 < 0 的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】由于函数 SKIPIF 1 < 0 为幂函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .由于“对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ”知，函数在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故 SKIPIF 1 < 0 .
易见 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 是单调递增的奇函数.
由于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时，若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上可知， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
【点睛】本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的符号情况.
三、填空题
8．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，在 SKIPIF 1 < 0 上递增的，且满足 SKIPIF 1 < 0 .请写出一个满足条件的 SKIPIF 1 < 0 的值， SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合偶函数和单调性及 SKIPIF 1 < 0 可得，答案不是唯一的.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增的，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 的值可以为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查幂函数的性质，幂函数的单调性和奇偶性取决于 SKIPIF 1 < 0 ，侧重考查数学抽象的核心素养.
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， SKIPIF 1 < 0 ，则f(-8)的值是____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先求 SKIPIF 1 < 0 ，再根据奇函数求 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式 SKIPIF 1 < 0 的解集为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
由幂函数的性质知，函数 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
11．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于y轴对称．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可；
(2)由(1)求出函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 的图像关于y轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R.
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由幂函数定义求得参数 SKIPIF 1 < 0 值；
（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间 SKIPIF 1 < 0 上，再由指数函数性质，对数的定义得结论．
【详解】（1）由题意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上不单调，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
题型三 二次函数单调性问题
策略方法 二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
【典例1】“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调，
所以“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不单调”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分且必要条件.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．若二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先根据 SKIPIF 1 < 0 ，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求出 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而得到 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故要想在 SKIPIF 1 < 0 为单调函数，需满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
3．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点都在区间 SKIPIF 1 < 0 内，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
要使二次函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点都在区间 SKIPIF 1 < 0 内，
需 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
故选：C
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答案.
【详解】解：因为函数 SKIPIF 1 < 0 在R上为减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
二、填空题
5．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围即可.
【详解】易知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．若函数 SKIPIF 1 < 0 满足下列性质：
（1）定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
（3）对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
写出函数 SKIPIF 1 < 0 的一个解析式：_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （不唯一）
【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.
【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，满足（ SKIPIF 1 < 0 ），
因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，满足（ SKIPIF 1 < 0 ），
又 SKIPIF 1 < 0 ，满足（ SKIPIF 1 < 0 ），
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （不唯一）．
7．若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是_____________.
【答案】[0,4]
【分析】可先求出二次函数的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，再根据函数的增减性及对称性可求得m的取值范围．
【详解】二次函数的对称轴 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时函数单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，二次函数开口向下， SKIPIF 1 < 0 函数单调递减，根据二次函数的对称性， SKIPIF 1 < 0 ，f(m)≥f(0)， SKIPIF 1 < 0
【点睛】二次函数是对称函数，解题时，一定要根据对称性来解题，防止漏解错解．
题型四 二次函数最值问题
策略方法 二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1】若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B．－3C． SKIPIF 1 < 0 或－3D．4
【答案】C
【分析】按 SKIPIF 1 < 0 分类讨论求 SKIPIF 1 < 0 的最大值，然后由最大值为4得参数值．
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为 SKIPIF 1 < 0 或－3．
故选：C．
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．1B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】A
【分析】根据二次函数性质求得最小值，由最小值得 SKIPIF 1 < 0 值，从而再求得最大值．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴其最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴其最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】求导，由单调性得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范围.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
要满足 SKIPIF 1 < 0 ①，或 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①得： SKIPIF 1 < 0 ，由②得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上：实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3．若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为-1，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2或 SKIPIF 1 < 0 B．1或 SKIPIF 1 < 0 C．2D．1
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间 SKIPIF 1 < 0 的关系，求出其最小值，列方程可求出 SKIPIF 1 < 0 的值
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，图象开口向上，
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，不符合 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时．则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不符合，
综上可得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
4．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由二次函数的值域可得出 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意，
因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因此， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．设二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用基本不等式即得.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值2，
故选：A．
二、填空题
6．若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二次函数的性质确定在开区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值的情况列不等式，即可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是.
【详解】解：二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，且二次函数开口向上
若函数在开区间 SKIPIF 1 < 0 内存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数在 SKIPIF 1 < 0 处能取到最小值，
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
7．若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于 SKIPIF 1 < 0 成轴对称，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，
所以函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又因为定义域和值域均为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为13，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，其对称轴为 SKIPIF 1 < 0 .
该二次函数在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 舍去).
②若 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去).
综上可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
9．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，求出a的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.
【详解】对①：∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 不是奇函数；
若 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
故若 SKIPIF 1 < 0 是非奇非偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ；
对③：若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，则有：
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，无最值，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 为二次函数且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值，则 SKIPIF 1 < 0 ；
对②：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 开口向下，且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上既不是增函数也不是减函数；
综上所述：实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型五 二次函数恒成立问题
策略方法 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min．
2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f (x)＝ax2＋bx＋c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f m＜0，,f n＜0.))
【典例1】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】整理可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，根据x的范围，可求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，分析即可得答案.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
只需 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值为1，则 SKIPIF 1 < 0 有最大值为3，
则 SKIPIF 1 < 0 ，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调减函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由求导公式和法则求出 SKIPIF 1 < 0 ，由导数与函数单调性的关系，列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．
【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在[1，+∞）上是单调减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ≤0在[1，+∞）上恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 ≤0时，则 SKIPIF 1 < 0 在[1，+∞）上恒成立，
即a SKIPIF 1 < 0 ，设g（x） SKIPIF 1 < 0 ，
因为x∈[1，+∞），所以 SKIPIF 1 < 0 ∈（0，1]，
当 SKIPIF 1 < 0 时，g（x）取到最大值是： SKIPIF 1 < 0 ，
所以a SKIPIF 1 < 0 ，
所以数a的取值范围是（﹣∞， SKIPIF 1 < 0 ]
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒成立问题，利用分离常数法，求函数值域，属于中档题．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为单调递增函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题设得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，参变分离后求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可求解.
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“对任意的正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】本题通过分离参数转化为 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用二次函数配方得到其最大值，即得到 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对任意正数 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是其充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，求其在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值即可.
【详解】对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
等价于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则其在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先利用单调性的定义，结合条件推得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，从而分类讨论 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两种情况，利用一次函数与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 为正的常数，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切非负实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.
【详解】原不等式即 SKIPIF 1 < 0 ① ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入①式，则有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数的性质， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为正的常数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为不等式 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以不等式 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 对于任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）；故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 SKIPIF 1 < 0 恒成立( SKIPIF 1 < 0 即可)或 SKIPIF 1 < 0 恒成立（ SKIPIF 1 < 0 即可）；② 数形结合( SKIPIF 1 < 0 图象在 SKIPIF 1 < 0 上方即可)；③ 讨论最值 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
①幂函数的定义与图像
②幂函数的性质和综合应用
③二次函数单调性问题
④二次函数最值问题
⑤二次函数恒成立问题
★【文末附录-幂函数及幂函数解题思路思维导图】
函数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图象
定义域
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
值域
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
公共点
SKIPIF 1 < 0
相关试卷
新高考数学一轮复习导学案第11讲 二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份新高考数学一轮复习导学案第11讲 二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考一轮复习导学案第11讲二次函数与幂函数原卷版doc、新高考一轮复习导学案第11讲二次函数与幂函数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.6 二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+含解析）： 这是一份新高考数学一轮复习讲义第2章 §2.6 二次函数与幂函数（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第2章§26二次函数与幂函数原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第2章§26二次函数与幂函数含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
新高考数学一轮复习讲练测第2章第03讲 幂函数与二次函数（讲义）（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份新高考数学一轮复习讲练测第2章第03讲 幂函数与二次函数（讲义）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习讲练测第2章第03讲幂函数与二次函数讲义原卷版doc、新高考数学一轮复习讲练测第2章第03讲幂函数与二次函数讲义解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共0页， 欢迎下载使用。
