新高考数学一轮复习讲义 第11讲 对数与对数函数（2份打包，原卷版+含解析）

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一、知识点梳理
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，那么数 SKIPIF 1 < 0 叫做以 SKIPIF 1 < 0 为底 SKIPIF 1 < 0 的对数，记作 SKIPIF 1 < 0 ，读作以 SKIPIF 1 < 0 为底 SKIPIF 1 < 0 的对数，其中 SKIPIF 1 < 0 叫做对数的底数， SKIPIF 1 < 0 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为底，记为 SKIPIF 1 < 0 ，读作以 SKIPIF 1 < 0 为底 SKIPIF 1 < 0 的对数；
②常用对数：以 SKIPIF 1 < 0 为底，记为 SKIPIF 1 < 0 ；
③自然对数：以 SKIPIF 1 < 0 为底，记为 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ； ② SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )；
③对数换底公式： SKIPIF 1 < 0 ； ④ SKIPIF 1 < 0 ；
⑤ SKIPIF 1 < 0 ； ⑥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
⑦ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ； ⑧ SKIPIF 1 < 0 ；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 叫做对数函数．
对数函数的图象
【常用结论】
在同一坐标系内，当 SKIPIF 1 < 0 时，随 SKIPIF 1 < 0 的增大，对数函数的图象愈靠近 SKIPIF 1 < 0 轴；当 SKIPIF 1 < 0 时，对数函数的图象随 SKIPIF 1 < 0 的增大而远离 SKIPIF 1 < 0 轴．(见下图)
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．化简 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 SKIPIF 1 < 0 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ SKIPIF 1 < 0 ）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
5．Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型： SKIPIF 1 < 0 ，其中K为最大确诊病例数．当I( SKIPIF 1 < 0 )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 SKIPIF 1 < 0 约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 SKIPIF 1 < 0 的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 SKIPIF 1 < 0 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于液态
B．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于气态
C．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，二氧化碳处于超临界状态
9．设 SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
13．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是____________．
14．若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是______.
三、双空题
15．若 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 _____， SKIPIF 1 < 0 ______．
题型一 对数式的化简与求值
策略方法 对数运算的一般思路
【典例1】解答下列问题：
(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求M的值．
【题型训练】
一、解答题
1．计算：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
2．（1）计算 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求实数x的值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用a，b，表示 SKIPIF 1 < 0 ．
二、单选题
3．若函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．9C． SKIPIF 1 < 0 D．16
5．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级 SKIPIF 1 < 0 （单位：dB）与声音强度x（单位： SKIPIF 1 < 0 ）满足 SKIPIF 1 < 0 .一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 倍B． SKIPIF 1 < 0 倍C． SKIPIF 1 < 0 倍D． SKIPIF 1 < 0 倍
三、多选题
6．若a，b，c都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
四、填空题
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值为____________．
8．大气压强 SKIPIF 1 < 0 ，它的单位是“帕斯卡”（Pa， SKIPIF 1 < 0 ），已知大气压强 SKIPIF 1 < 0 随高度 SKIPIF 1 < 0 的变化规律是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是海平面大气压强， SKIPIF 1 < 0 .当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的 SKIPIF 1 < 0 ，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据 SKIPIF 1 < 0 ）
题型二 对数函数的图像与性质
策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
【典例1】若对数 SKIPIF 1 < 0 有意义，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】在同一平面直角坐标系中，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】 已知直线 SKIPIF 1 < 0 过函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的定点T，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．4B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例4】 分别比较下列各组数的大小：
(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ．
【题型训练】
一、单选题
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （a，b为常数，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
3．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
8．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
9． SKIPIF 1 < 0 的定义域为_______________
10．已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象经过同一个定点，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
11．函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
四、解答题
12．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的解析式;
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
题型三 解对数方程与不等式
策略方法 求解对数不等式的两种类型及方法
【典例1】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求实数x的取值范围；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求实数x的取值范围；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 恒取正值时，求实数x的取值范围.
【题型训练】
一、单选题
1．方程 SKIPIF 1 < 0 的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
2．已知全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．4
二、填空题
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为______.
6．设命题 SKIPIF 1 < 0 ，命题 SKIPIF 1 < 0 ．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是__________.
题型四 对数函数的综合应用
策略方法 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
【典例1】已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】若不等式 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 的单调减区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称D． SKIPIF 1 < 0 有最小值，但无最大值
4．若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．若函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （a＞0，且 SKIPIF 1 < 0 ）的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是________．(填序号)
① SKIPIF 1 < 0 为奇函数；② SKIPIF 1 < 0 为偶函数；
③ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；④ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
10．若 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值范围为____________．
四、解答题
12．已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）解不等式： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的值.
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 存在零点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象只有一个公共点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数函数的综合应用
★【文末附录-对数运算与对数函数思维导图】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图象

性质
定义域： SKIPIF 1 < 0
值域： SKIPIF 1 < 0
过定点 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 上增函数
在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1，0等中间量进行比较
类型
方法
lgax＞lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
lgax＞b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解
一求
求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性