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新高考数学一轮复习讲义 第28讲 等差数列（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习讲义 第28讲 等差数列（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第28讲等差数列原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第28讲等差数列含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示，定义表达式为 SKIPIF 1 < 0 （常数） SKIPIF 1 < 0 ．
2.等差中项的概念
若三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，且有 SKIPIF 1 < 0 ．
二、等差数列的有关公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，那么它的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ．
2.等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
三、等差数列的常用性质
已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为公差， SKIPIF 1 < 0 为该数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
1.通项公式的推广： SKIPIF 1 < 0 ．
2.在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
3. SKIPIF 1 < 0 ，…仍是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
4. SKIPIF 1 < 0 ，…也成等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
5.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列．
四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列⇔ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）．
【常用结论】
1.等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
2.等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
3.等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
4.若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
二、题型分类精讲
题型一 等差数列基本量的计算
策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
【典例1】在等差数列中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则201是数列的第几项（ ）
A．59B．60C．61D．62
【典例2】在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．6C．8D．12
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
2．等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．7C．9D．11
3．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．9B．11C．13D．15
4．设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则公差 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－2B．－1C．1D．2
5．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．3B．5C．7D．9
6．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文D．乙分到26文，丁分到30文
7．等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．200B．300C．210D．320
二、填空题
9．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差是 ．
10．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
11．等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是 .
12．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则通项公式为 ．
14．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若在数列 SKIPIF 1 < 0 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
题型二 等差数列的性质及其应用
策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq \f(na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．
【典例1】已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．40C．50D．45
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
2．如果等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．14B．12C．28D．36
3．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．15C．5 SKIPIF 1 < 0 D．10 SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项和为（ ）
A．35B．40C．45D．50
5．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
6．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
7．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为 SKIPIF 1 < 0 尺，前九个节气日影长度之和为 SKIPIF 1 < 0 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 尺B． SKIPIF 1 < 0 尺C． SKIPIF 1 < 0 尺D． SKIPIF 1 < 0 尺
9．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”的（ ）．
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
10．公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
11．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =
12．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
13．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
14．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，则 SKIPIF 1 < 0 ＝ .
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
题型三 等差数列的前n项和
策略方法
在等差数列中， SKIPIF 1 < 0 ，…仍成等差数列； SKIPIF 1 < 0 也成等差数列．
【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．16B．18C．20D．22
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．7C．8D．9
【题型训练】
一、单选题
1．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7B．10C．11D．13
2．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A．八层B．十层C．十一层D．十二层
3．记 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12B．20C．55D．110
5．《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（ ）
A．5尺2寸B．5尺3寸C．5尺4寸D．5尺5寸
6．记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．22C．20D．15
7．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．12C．18D．24
8．）在等差数列{an}中，a3+2a5+a9=10，则数列{an}前10项的和为（ ）
A．20B．24C．25D．28
9．在项数为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，最后 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，所有项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．设 SKIPIF 1 < 0 为正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．若两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
13．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
15．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公差为 .
16．记等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ．
17．若等差数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项的和为 .
18．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
19．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前60项的和为 ．
20．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
题型四 等差数列中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
策略方法 等差数列中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
数列的前项和和通项的关系：则
【典例1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．6C．7D．8
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．27B．28C．29D．30
5．设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.若 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4045B．4042C．4041D．4040
7．在无穷正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 是等差数列”是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
二、多选题
9．设无穷数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等差数列且其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．等差数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
12．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的通项公式为 .
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .
14．正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时成立的k的值为 ．
题型五 等差数列的判定与证明
策略方法 等差数列的判定与证明的方法
【典例1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
【题型训练】
一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
4．）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．2022
7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．9C．10D．11
8．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．47B．46C．45D．44
二、多选题
9．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列能判断数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ．
10．设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．下面几个条件中，能推出 SKIPIF 1 < 0 是等差数列的为（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．甲､乙两个机器人分别从相距70 SKIPIF 1 < 0 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 SKIPIF 1 < 0 ，以后每分钟比前1分钟多走1 SKIPIF 1 < 0 ，乙每分钟走5 SKIPIF 1 < 0 .若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过 分钟.
12．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则正整数 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
14．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
15．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
16．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
17．已知各项均为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
18．已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式．
①等差数列基本量的计算
②等差数列的性质及其应用
③等差数列的前n项和
④等差数列中中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
⑤等差数列的判定与证明
方法
解读
适合题型
定义法
SKIPIF 1 < 0 为同一常数 ⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
SKIPIF 1 < 0 成立⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
通项公式法
SKIPIF 1 < 0 为常数）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 都成立
⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前 SKIPIF 1 < 0 项和公式法
验证 SKIPIF 1 < 0 为常数）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 都成立⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
一、知识点梳理
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示，定义表达式为 SKIPIF 1 < 0 （常数） SKIPIF 1 < 0 ．
2.等差中项的概念
若三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，且有 SKIPIF 1 < 0 ．
二、等差数列的有关公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，那么它的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 ．
2.等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
三、等差数列的常用性质
已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 为公差， SKIPIF 1 < 0 为该数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和．
1.通项公式的推广： SKIPIF 1 < 0 ．
2.在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
3. SKIPIF 1 < 0 ，…仍是等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
4. SKIPIF 1 < 0 ，…也成等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ．
5.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列．
四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列⇔ SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）．
【常用结论】
1.等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
2.等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
3.等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
4.若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，且前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
二、题型分类精讲
题型一 等差数列基本量的计算
策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
【典例1】在等差数列中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则201是数列的第几项（ ）
A．59B．60C．61D．62
【典例2】在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．6C．8D．12
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
2．等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．7C．9D．11
3．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A．9B．11C．13D．15
4．设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则公差 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－2B．－1C．1D．2
5．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．3B．5C．7D．9
6．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文D．乙分到26文，丁分到30文
7．等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．200B．300C．210D．320
二、填空题
9．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差是 ．
10．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
11．等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是 .
12．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则通项公式为 ．
14．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若在数列 SKIPIF 1 < 0 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
题型二 等差数列的性质及其应用
策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq \f(na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．
【典例1】已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．40C．50D．45
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
2．如果等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．14B．12C．28D．36
3．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．30B．15C．5 SKIPIF 1 < 0 D．10 SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项和为（ ）
A．35B．40C．45D．50
5．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
6．一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
7．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为 SKIPIF 1 < 0 尺，前九个节气日影长度之和为 SKIPIF 1 < 0 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 尺B． SKIPIF 1 < 0 尺C． SKIPIF 1 < 0 尺D． SKIPIF 1 < 0 尺
9．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列”的（ ）．
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
10．公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则下列各式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
11．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 =
12．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
13．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
14．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，则 SKIPIF 1 < 0 ＝ .
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
题型三 等差数列的前n项和
策略方法
在等差数列中， SKIPIF 1 < 0 ，…仍成等差数列； SKIPIF 1 < 0 也成等差数列．
【典例1】设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．16B．18C．20D．22
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．7C．8D．9
【题型训练】
一、单选题
1．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．7B．10C．11D．13
2．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A．八层B．十层C．十一层D．十二层
3．记 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．
A．12B．20C．55D．110
5．《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（ ）
A．5尺2寸B．5尺3寸C．5尺4寸D．5尺5寸
6．记 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．25B．22C．20D．15
7．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．12C．18D．24
8．）在等差数列{an}中，a3+2a5+a9=10，则数列{an}前10项的和为（ ）
A．20B．24C．25D．28
9．在项数为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，其前 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，最后 SKIPIF 1 < 0 项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，所有项的和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．设 SKIPIF 1 < 0 为正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．若两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
13．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
15．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公差为 .
16．记等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ．
17．若等差数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项的和为 .
18．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
19．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前60项的和为 ．
20．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知两个等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
题型四 等差数列中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
策略方法 等差数列中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
数列的前项和和通项的关系：则
【典例1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．6C．7D．8
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．27B．28C．29D．30
5．设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.若 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4045B．4042C．4041D．4040
7．在无穷正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 是等差数列”是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列
二、多选题
9．设无穷数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等差数列且其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．等差数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
12．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的通项公式为 .
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .
14．正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 .
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时成立的k的值为 ．
题型五 等差数列的判定与证明
策略方法 等差数列的判定与证明的方法
【典例1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列.
【题型训练】
一、单选题
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项为正数， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等差数列B． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 是等差数列D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列
4．）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．2022
7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．9C．10D．11
8．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．47B．46C．45D．44
二、多选题
9．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列能判断数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ．
10．设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．下面几个条件中，能推出 SKIPIF 1 < 0 是等差数列的为（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．甲､乙两个机器人分别从相距70 SKIPIF 1 < 0 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 SKIPIF 1 < 0 ，以后每分钟比前1分钟多走1 SKIPIF 1 < 0 ，乙每分钟走5 SKIPIF 1 < 0 .若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过 分钟.
12．在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则正整数 SKIPIF 1 < 0 ．
13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
14．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
15．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，并求通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
16．已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
17．已知各项均为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
18．已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
(2)求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式．
①等差数列基本量的计算
②等差数列的性质及其应用
③等差数列的前n项和
④等差数列中中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系
⑤等差数列的判定与证明
方法
解读
适合题型
定义法
SKIPIF 1 < 0 为同一常数 ⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
SKIPIF 1 < 0 成立⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
通项公式法
SKIPIF 1 < 0 为常数）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 都成立
⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前 SKIPIF 1 < 0 项和公式法
验证 SKIPIF 1 < 0 为常数）对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 都成立⇔ SKIPIF 1 < 0 是等差数列
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