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新高考数学一轮复习讲义 第29讲 等比数列（2份打包，原卷版+含解析）
展开第29讲 等比数列（精讲）题型目录一览一、知识点梳理一、等比数列的有关概念1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示，定义的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．2.等比中项：如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项．即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项 ⇔ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列 ⇒ SKIPIF 1 < 0 ． 二、等比数列的有关公式1.等比数列的通项公式设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则它的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．推广形式： SKIPIF 1 < 0 2.等比数列的前n项和公式等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 注：①在求等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和时，首先要判断公比 SKIPIF 1 < 0 是否为1，再由 SKIPIF 1 < 0 的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比 SKIPIF 1 < 0 是否为1时，要分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两种情况讨论求解．② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为关于 SKIPIF 1 < 0 的指数型函数，且系数与常数互为相反数．三、等比数列的性质1.等比中项的推广．若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，特别地，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．（2）①设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为非零常数）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍为等比数列．②设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 也为等比数列．2.等比数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性（等比数列的单调性由首项 SKIPIF 1 < 0 与公比 SKIPIF 1 < 0 决定）．当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为递增数列；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为递减数列．3.其他衍生等比数列．若已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则：①等间距抽取 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ．②等长度截取 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 （当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不为偶数）．【常用结论】1.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．2.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （项数相同）是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍是等比数列．3.在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ．公比不为－1的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍成等比数列，其公比为 SKIPIF 1 < 0 ．二、题型分类精讲题型一 等比数列基本量的计算题型一 等比数列基本量的计算策略方法 等比数列基本量运算的解题策略等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．【典例1】（单选题）已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的公比为（ ）A．2 B．1 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【题型训练】一、单选题1．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．设 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．8 B．-8 C．4 D．-44．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）A．9 B．72 C．9或70 D．9或 SKIPIF 1 < 0 5．英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）A．400 B．500 C．600 D．8006．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为其中的两项，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 7．已知 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为3”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．30 B． SKIPIF 1 < 0 C．40 D． SKIPIF 1 < 0 9．）在各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的n的最小值为（ ）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）A．4 B．9 C．6 D．8二、填空题11．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．13．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 .14．已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 15．若数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，写出一个满足题意的通项公式 SKIPIF 1 < 0 .16．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．题型二 等比数列的性质及其应用策略方法 应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sn≠0)成等比数列求解．【典例1】（单选题）在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C．2或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【典例2】（单选题）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列”的（ ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要【题型训练】一、单选题1．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．4 B．8 C．32 D．642．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．16 B．32 C．48 D．644．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．3 B．6 C．9 D．185．已知 SKIPIF 1 < 0 为递增的等比数列，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B．1 C．16 D．326．已知递增的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，前3项的和为7，前3项的积为8，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．87．已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 8．等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 9．已知 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．2023 B．2024 C．4046 D．404810．已知公差不为零的等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 11．已知递增等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则它的第4项到第11项的和为（ ）A．180 B．198 C．189 D．168二、多选题12．在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 13．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中正确的选项是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 三、填空题14．若数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．15．若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ．16．若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．17．等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公比q的值为 .18．已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列． SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列．则 SKIPIF 1 < 0 ．19．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，若数列 SKIPIF 1 < 0 的前4项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .题型三 等比数列的前n项和策略方法 等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式涉及对公比 SKIPIF 1 < 0 的分类讨论：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．【典例1】（单选题）等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为实数，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．4 B．16 C．32 D．64【题型训练】一、单选题1．已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 前n项和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．7 B．9 C．15 D．302．已知公比不为1的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．40 B．81 C．121 D．1563．记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．A．120 B．85 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 4．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 5．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则其前5项的和 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 6．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．15 D．407． SKIPIF 1 < 0 是由实数构成的无穷等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，关于数列 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列命题：①数列 SKIPIF 1 < 0 中任意一项均不为0；②数列 SKIPIF 1 < 0 中必有一项为0；③数列 SKIPIF 1 < 0 中一定不可能出现 SKIPIF 1 < 0 ；④数列 SKIPIF 1 < 0 中一定不可能出现 SKIPIF 1 < 0 .其中正确的命题个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．38．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，则其前3项的和 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 9．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列一定成立的是（ ）A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 10．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．5 B．6 C．7 D．811．已知正项等比数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）A．64 B．81 C．128 D．19212．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前4项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1 D．2二、多选题13．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下 SKIPIF 1 < 0 尺，第二天截取剩下的一半后剩下 SKIPIF 1 < 0 尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下 SKIPIF 1 < 0 尺，则下列说法正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 14．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 15．数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 是等比数列 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 16．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 三、填空题17．已知公比小于0的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．18．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前3项和为168， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．19．记 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公比为 ．20．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为数列的前n项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝ 21．若等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 ．22．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为2，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且6， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 .23．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前2023项和为 .24．已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = 25．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 .26．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大.四、解答题27．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值及数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和．28．从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．问：(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？29．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .30．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求满足条件的最大整数n.31．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)证明 SKIPIF 1 < 0 为常数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 落在区间 SKIPIF 1 < 0 内的项的个数，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和.32．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项.(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 ．题型四 等比数列中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系策略方法 等比数列中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系数列的前项和和通项的关系：则【典例1】（单选题）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，它的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数），若 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．0 B．1 C．3 D．4【题型训练】一、单选题1．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．3 B．6 C．9 D．182．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B．5 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．已知数列{ SKIPIF 1 < 0 }满足： SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 4．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．1 B．2 C．4 D．85．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．16 B．32 C．81 D．2436．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项合为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 二、多选题7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列C．若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若首项 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等差数列B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等比数列C．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 成等比数列三、填空题9．）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．10．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．12．数列{an}的前n项和为Sn，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ．四、解答题13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；(2)记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．14．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为正整数）.(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求正整数 SKIPIF 1 < 0 的值.题型五 等比数列的函数特性策略方法 （1）等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，所有奇数项之和 SKIPIF 1 < 0 与所有偶数项之和 SKIPIF 1 < 0 具有的性质，设公比为 SKIPIF 1 < 0 ．①若共有 SKIPIF 1 < 0 项，则 SKIPIF 1 < 0 ；②若共有 SKIPIF 1 < 0 项， SKIPIF 1 < 0 ．（2）等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 表示它的前 SKIPIF 1 < 0 项和．当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 也成等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ．【典例1】（单选题）各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为递增数列”的（ ）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【题型训练】一、单选题1．已知 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则其公比 SKIPIF 1 < 0 满足（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，公比是 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，设甲： SKIPIF 1 < 0 ，乙： SKIPIF 1 < 0 是严格增数列，则甲是乙的（ ）A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件5．设无穷等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）A． SKIPIF 1 < 0 为递减数列 B． SKIPIF 1 < 0 为递增数列C．数列 SKIPIF 1 < 0 有最大项 D．数列 SKIPIF 1 < 0 有最小项6．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 、则“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为递增数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数且公比大于1，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 的n的最小值为（ ）A．5 B．6 C．7 D．88．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，并且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 9．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 公差 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 二、多选题10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是各项均为正数的等比数列， SKIPIF 1 < 0 是公差大于0的等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 11．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，并且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 12．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 三、填空题13．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，写出一个满足下列条件的 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ．① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 是递减数列，③ SKIPIF 1 < 0 ．14．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大.15．能说明“设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”为假命题的一个等比数列是 ．（写出数列的通项公式）16．等比数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，前n项的积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．17．已知 SKIPIF 1 < 0 是递增的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么首项 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .题型六 等比数列的判定与证明策略方法 判定一个数列为等比数列的常见方法【典例1】（单选题）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【题型训练】一、单选题1．数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．1458 B．1460 C．2184 D．21863．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．94．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 5．记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列的条件是（ ）．A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 是等比数列6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 二、填空题7．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．8．数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．9．已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 ．三、解答题11．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；12．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证：数列是 SKIPIF 1 < 0 为等比数列．(2)记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求n的最大值．13．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列．(2)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．14．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求满足条件的最大整数n. ①等比数列基本量的计算②等比数列的性质及其应用③等比数列的前n项和④等比数列中中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系⑤等比数列的函数特性⑥等比数列的判定与证明
