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新高考数学一轮复习讲义 第42讲 直线与椭圆（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习讲义 第42讲 直线与椭圆（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第42讲直线与椭圆原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第42讲直线与椭圆含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共145页， 欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、点与椭圆的位置关系
二、直线和曲线联立
1.椭圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 与过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，如此消去 SKIPIF 1 < 0 ，保留 SKIPIF 1 < 0 ，构造的方程如下： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出 SKIPIF 1 < 0 ，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
三、直线与椭圆的位置关系
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，把二者方程联立得到方程组，消去 SKIPIF 1 < 0 得到一个关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
SKIPIF 1 < 0 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
SKIPIF 1 < 0 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
四、根的判别式和韦达定理
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立，两边同时乘上 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，为了方便叙述，将上式简记为 SKIPIF 1 < 0 ．该式可以看成一个关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，判别式为 SKIPIF 1 < 0 可简单记 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
同理 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，为了方便叙述，将上式简记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可简记 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 与C相离 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与C相切 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与C相交 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：（1）由韦达定理写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，注意隐含条件 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互换位置即可．
五、弦长公式
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 根据两点距离公式 SKIPIF 1 < 0 ．
1.若 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，代入化简，得 SKIPIF 1 < 0 ；
2.若 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简，得 SKIPIF 1 < 0
3.构造直角三角形求解弦长， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．其中 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 斜率， SKIPIF 1 < 0 为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 SKIPIF 1 < 0 ，判别式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
六、已知弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，研究 SKIPIF 1 < 0 的斜率和方程
SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一条弦，中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
运用点差法求 SKIPIF 1 < 0 的斜率；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
二、题型分类精讲
题型一 点与椭圆的位置关系
策略方法 点与椭圆的位置关系问题的一般思路
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆外 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 >1;
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 <1;
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1.
【典例1】（单选题）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）
A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定
2．若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则下列说法正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆上B．点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆上
C．点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
3．点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．若直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，则过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
5．已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为C内一点，若在C上存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴均对称，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二 直线与椭圆的位置关系
策略方法 直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程．
(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．
【典例1】（单选题）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．若直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 没有交点，则过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点个数为（ ）
A．0个B．至多有一个C．1个D．2个
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能
4．）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离
B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
5．已知椭圆M： SKIPIF 1 < 0 的上顶点为A，过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），过B作l的垂线，交y轴于点C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则l的斜率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆E SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知交于点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互垂直，且均与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别与 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 恒过 SKIPIF 1 < 0 的焦点，则 SKIPIF 1 < 0
C．对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 总有两个互异公共点，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则一定存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点
10．已知直线l：y=kx+m与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切的椭圆的离心率为 .
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线方程为 .
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为其过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的弦，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
14． SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离之和与点 SKIPIF 1 < 0 的位置无关，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点．若 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于P，Q两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则k的取值范围为 ．
18．椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且上顶点到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为1，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于A， SKIPIF 1 < 0 两点且 SKIPIF 1 < 0 中点在坐标轴上，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
四、解答题
19．已知椭圆Ω：9x2+y2＝9，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与Ω有两个交点A，B，线段AB的中点为M.点K在椭圆Ω上， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的两个焦点，求 SKIPIF 1 < 0 的范围.
20．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 上点P处的切线与x轴交于点M，A，B分别是长轴的左、右顶点．过M作x轴的垂线，与直线PA，PB分别交于C，D两点，证明：CM＝MD．
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
22．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点A与上项点B的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与y轴相交于点Q，若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，求点P的坐标．
23．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且切点为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
24．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，满足 SKIPIF 1 < 0 轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程．
25．在xOy平面上，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，梯形ABCD的四个顶点均在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0
(1)若AB为 SKIPIF 1 < 0 的长轴，梯形ABCD的高为 SKIPIF 1 < 0 ，且C在AB上的射影为 SKIPIF 1 < 0 的焦点，求m的值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，直线CD经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
26．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方），直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
27．已知动圆P过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与圆N： SKIPIF 1 < 0 相切
(1)求圆心P的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)A，C为轨迹 SKIPIF 1 < 0 上两个动点且位于第一象限（不在直线 SKIPIF 1 < 0 上），直线AN，CN分别与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于B，D两点，若直线AD，BC分别交直线 SKIPIF 1 < 0 与E，F两点，求证； SKIPIF 1 < 0
题型三 椭圆的弦长问题、面积问题
策略方法 椭圆中的弦长问题
（1）弦长公式： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）涉及到面积的计算问题．
【典例1】（单选题）斜率为1的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】
（单选题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（其中点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），记 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．斜率为1的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知直线l是圆C： SKIPIF 1 < 0 的切线，且l与椭圆E： SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
3．已知过点（0，1）的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
4．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若线段MN的长等于椭圆 SKIPIF 1 < 0 短轴长的 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的2倍，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆第一象限上的点，直线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交两坐标轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点和右焦点分别为A，F，点B，C为椭圆上关于原点O对称的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
二、多选题
10．已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则弦长 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
11．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为 SKIPIF 1 < 0 B．椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0
C．弦长 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 共有四个交点，它们逆时针方向依次为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形
C．四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则弦 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
15．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，椭圆的两个焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程是.若圆 SKIPIF 1 < 0 的切线与椭圆C相交于M点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 .
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，经过左焦点F的直线和椭圆交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 ．
四、解答题
18．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且短轴长为2.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.
19．已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 的焦点关于其准线的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且与E有一个共同的焦点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点是C的左顶点．过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
20．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在椭圆上，并给出理由；
(2)已知与线段 SKIPIF 1 < 0 相交的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （不同于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）两点，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
22．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线被椭圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的线段长为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，连接 SKIPIF 1 < 0 并交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
23．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
24．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的三个点.当点 SKIPIF 1 < 0 ，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为原点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
25．已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为2．
(1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程．
(2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 （异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和 SKIPIF 1 < 0 ，求弦AB的长．
26．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，写出该圆的方程，并求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，若不存在，请说明理由.
27．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(3)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，求此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
28．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且切点为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
29．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且左焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 内接于椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
30．在直角坐标系xOy中，动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
31．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的下焦点 SKIPIF 1 < 0 、上焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .过焦点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）面积的最大值.
32．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 到右焦点距离的最大值为3，过点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
33．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4， SKIPIF 1 < 0 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
34．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积；若不是定值，请说明理由.
35．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆上任意一点到F的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，M为椭圆C上一点且满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形AOBM的面积.
36．过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条相互垂直的弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
37．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，下顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 的面积的2倍，求t的值.
38．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于C，D两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
题型四 椭圆的中点弦问题
策略方法 中点弦问题
常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
【典例1】（单选题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 四个顶点构成的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知椭圆，点 SKIPIF 1 < 0 为左焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为下顶点，平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点为B，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
8．已知椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线不经过原点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0
C．若直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0
D．若直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
9．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆C上有不同的两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则实数m的取值范围是 .
10．直线 SKIPIF 1 < 0 截椭圆 SKIPIF 1 < 0 所得弦的中点M与椭圆中心连线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在第一象限）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 ．
13．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．若直线l与直线PF的斜率之积等于 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为 ．
四、解答题
14．已知动点P与平面上点M SKIPIF 1 < 0 ，N SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若经过点E SKIPIF 1 < 0 的直线l与曲线C交于A，B两点，且点E为AB的中点，求直线l的方程．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中左焦点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且线段的中点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 过圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
17．已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于P，Q两点．
(1)若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的斜率；
(2)若l与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．
19．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，点 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点，若AB的中点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【
20．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上一动点 SKIPIF 1 < 0 到两定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)动弦 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
21.已知O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，直线l： SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
22．已知椭圆E： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点A，B分别为椭圆E的左右顶点，点C在E上，且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN．
23．已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点,且 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，并求该数列的公差．
24．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点中恰有三点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围.
①点与椭圆的位置关系
②直线与椭圆的位置关系
③椭圆的弦长问题、面积问题
④椭圆的中点弦问题
点和椭圆
的关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
一、知识点梳理
一、点与椭圆的位置关系
二、直线和曲线联立
1.椭圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
椭圆 SKIPIF 1 < 0 与过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，设为 SKIPIF 1 < 0 ，如此消去 SKIPIF 1 < 0 ，保留 SKIPIF 1 < 0 ，构造的方程如下： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出 SKIPIF 1 < 0 ，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
三、直线与椭圆的位置关系
设直线 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，把二者方程联立得到方程组，消去 SKIPIF 1 < 0 得到一个关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
SKIPIF 1 < 0 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
SKIPIF 1 < 0 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
四、根的判别式和韦达定理
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立，两边同时乘上 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，为了方便叙述，将上式简记为 SKIPIF 1 < 0 ．该式可以看成一个关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，判别式为 SKIPIF 1 < 0 可简单记 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
同理 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，为了方便叙述，将上式简记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可简记 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 与C相离 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与C相切 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 与C相交 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：（1）由韦达定理写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，注意隐含条件 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互换位置即可．
五、弦长公式
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 根据两点距离公式 SKIPIF 1 < 0 ．
1.若 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，代入化简，得 SKIPIF 1 < 0 ；
2.若 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入化简，得 SKIPIF 1 < 0
3.构造直角三角形求解弦长， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．其中 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 斜率， SKIPIF 1 < 0 为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 SKIPIF 1 < 0 ，判别式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
六、已知弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，研究 SKIPIF 1 < 0 的斜率和方程
SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一条弦，中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
运用点差法求 SKIPIF 1 < 0 的斜率；设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
二、题型分类精讲
题型一 点与椭圆的位置关系
策略方法 点与椭圆的位置关系问题的一般思路
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆外 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 >1;
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 <1;
点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1.
【典例1】（单选题）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系为（ ）
A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定
2．若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则下列说法正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆上B．点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆上
C．点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
3．点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．若直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 没有公共点，则过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
5．已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为C内一点，若在C上存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴､ SKIPIF 1 < 0 轴均对称，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，且焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 不在椭圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二 直线与椭圆的位置关系
策略方法 直线与椭圆位置关系判断的步骤
(1)联立直线方程与椭圆方程．
(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．
【典例1】（单选题）已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．若直线 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 没有交点，则过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点个数为（ ）
A．0个B．至多有一个C．1个D．2个
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能
4．）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离
B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
5．已知椭圆M： SKIPIF 1 < 0 的上顶点为A，过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），过B作l的垂线，交y轴于点C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则l的斜率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆E SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E相切，则椭圆E的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知交于点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相互垂直，且均与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线分别与 SKIPIF 1 < 0 相切于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
二、多选题
9．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 恒过 SKIPIF 1 < 0 的焦点，则 SKIPIF 1 < 0
C．对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 总有两个互异公共点，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则一定存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点
10．已知直线l：y=kx+m与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
三、填空题
11．与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点且与直线 SKIPIF 1 < 0 相切的椭圆的离心率为 .
12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线方程为 .
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为其过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的弦，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
14． SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，且点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离之和与点 SKIPIF 1 < 0 的位置无关，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点．若 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与C交于P，Q两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则k的取值范围为 ．
18．椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且上顶点到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为1，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于A， SKIPIF 1 < 0 两点且 SKIPIF 1 < 0 中点在坐标轴上，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ．
四、解答题
19．已知椭圆Ω：9x2+y2＝9，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与Ω有两个交点A，B，线段AB的中点为M.点K在椭圆Ω上， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的两个焦点，求 SKIPIF 1 < 0 的范围.
20．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 上点P处的切线与x轴交于点M，A，B分别是长轴的左、右顶点．过M作x轴的垂线，与直线PA，PB分别交于C，D两点，证明：CM＝MD．
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
22．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点A与上项点B的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与y轴相交于点Q，若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，求点P的坐标．
23．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且切点为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
24．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C．第一象限有一点M在曲线C上，满足 SKIPIF 1 < 0 轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程．
25．在xOy平面上，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，梯形ABCD的四个顶点均在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .设直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0
(1)若AB为 SKIPIF 1 < 0 的长轴，梯形ABCD的高为 SKIPIF 1 < 0 ，且C在AB上的射影为 SKIPIF 1 < 0 的焦点，求m的值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，直线CD经过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
26．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的上方），直线 SKIPIF 1 < 0 分别与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点．当点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点时， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
27．已知动圆P过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与圆N： SKIPIF 1 < 0 相切
(1)求圆心P的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)A，C为轨迹 SKIPIF 1 < 0 上两个动点且位于第一象限（不在直线 SKIPIF 1 < 0 上），直线AN，CN分别与轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于B，D两点，若直线AD，BC分别交直线 SKIPIF 1 < 0 与E，F两点，求证； SKIPIF 1 < 0
题型三 椭圆的弦长问题、面积问题
策略方法 椭圆中的弦长问题
（1）弦长公式： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）涉及到面积的计算问题．
【典例1】（单选题）斜率为1的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】
（单选题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（其中点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），记 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．斜率为1的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知直线l是圆C： SKIPIF 1 < 0 的切线，且l与椭圆E： SKIPIF 1 < 0 交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
3．已知过点（0，1）的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
4．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若线段MN的长等于椭圆 SKIPIF 1 < 0 短轴长的 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，则 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，若 SKIPIF 1 < 0 面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的2倍，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆第一象限上的点，直线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交两坐标轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点和右焦点分别为A，F，点B，C为椭圆上关于原点O对称的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．4
二、多选题
10．已知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则弦长 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
11．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为 SKIPIF 1 < 0 B．椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0
C．弦长 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 共有四个交点，它们逆时针方向依次为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形
C．四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
D．若四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，则弦 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
14．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
15．已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，椭圆的两个焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为
16．已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程是.若圆 SKIPIF 1 < 0 的切线与椭圆C相交于M点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 .
17．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，经过左焦点F的直线和椭圆交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 ．
四、解答题
18．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心在坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 且短轴长为2.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.
19．已知抛物线E： SKIPIF 1 < 0 的焦点关于其准线的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且与E有一个共同的焦点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点是C的左顶点．过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
20．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，弦 SKIPIF 1 < 0 被点 SKIPIF 1 < 0 平分．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在椭圆上，并给出理由；
(2)已知与线段 SKIPIF 1 < 0 相交的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （不同于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）两点，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
22．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的直线被椭圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的线段长为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，连接 SKIPIF 1 < 0 并交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
23．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
24．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的三个点.当点 SKIPIF 1 < 0 ，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为原点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
25．已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为2．
(1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程．
(2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 （异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和 SKIPIF 1 < 0 ，求弦AB的长．
26．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，写出该圆的方程，并求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，若不存在，请说明理由.
27．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
(3)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，求此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
28．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且切点为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
29．设椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且左焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 内接于椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
30．在直角坐标系xOy中，动点P到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是它到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线C交于A，B两点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
31．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的下焦点 SKIPIF 1 < 0 、上焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .过焦点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）面积的最大值.
32．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 到右焦点距离的最大值为3，过点 SKIPIF 1 < 0 且不与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
33．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4， SKIPIF 1 < 0 是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E交于A，B两点，D为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
34．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积；若不是定值，请说明理由.
35．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆上任意一点到F的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，M为椭圆C上一点且满足 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形AOBM的面积.
36．过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作两条相互垂直的弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
37．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，下顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 的面积的2倍，求t的值.
38．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于C，D两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
题型四 椭圆的中点弦问题
策略方法 中点弦问题
常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
【典例1】（单选题）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点.若 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 四个顶点构成的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于A，B两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知椭圆，点 SKIPIF 1 < 0 为左焦点，点 SKIPIF 1 < 0 为下顶点，平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上顶点为B，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0
C．直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0
8．已知椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线不经过原点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0
C．若直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0
D．若直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
9．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆C上有不同的两点关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则实数m的取值范围是 .
10．直线 SKIPIF 1 < 0 截椭圆 SKIPIF 1 < 0 所得弦的中点M与椭圆中心连线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 ．
11．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过左焦点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 在第一象限）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 ．
13．已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．若直线l与直线PF的斜率之积等于 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为 ．
四、解答题
14．已知动点P与平面上点M SKIPIF 1 < 0 ，N SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若经过点E SKIPIF 1 < 0 的直线l与曲线C交于A，B两点，且点E为AB的中点，求直线l的方程．
15．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，其中左焦点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且线段的中点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
16．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 过圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
17．已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，下顶点为A，不与坐标轴垂直的直线l与C交于P，Q两点．
(1)若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的斜率；
(2)若l与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交x轴于点M，N，求证：M，N的横坐标乘积为定值．
19．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，点 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点，若AB的中点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【
20．已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上一动点 SKIPIF 1 < 0 到两定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)动弦 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
21.已知O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，直线l： SKIPIF 1 < 0 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求C的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
22．已知椭圆E： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，点A，B分别为椭圆E的左右顶点，点C在E上，且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN．
23．已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点,且 SKIPIF 1 < 0 ．证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，并求该数列的公差．
24．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点中恰有三点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率的取值范围.
①点与椭圆的位置关系
②直线与椭圆的位置关系
③椭圆的弦长问题、面积问题
④椭圆的中点弦问题
点和椭圆
的关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
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