新高考数学一轮复习讲义 第45讲 抛物线及其性质（2份打包，原卷版+含解析）

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一、知识点梳理
一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
二、抛物线的方程、图形及性质
三、抛物线的其他性质
1.点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2.焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3.的几何意义：为焦点到准线的距离
4.焦点弦：①若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）． （2）．
②焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
5.抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
【常用结论】
1.切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
2.抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
3.弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
4.焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
二、题型分类精讲
题型一 抛物线的定义及焦半径公式的应用
策略方法 抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2)．
【典例1】（单选题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据抛物线方程写出其准线方程，再利用抛物线定义即可求得结果.
【详解】如下图所示：

根据题意可得抛物线的准线方程为，
若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，
利用抛物线定义可知.
故选：A
【典例2】（单选题）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【分析】首先根据焦半径公式求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.
【详解】设点，,所以，得，,
所以的面积.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】先利用点在抛物线上，得到，再结合条件和抛物线的定义即可得出结果.
【详解】因为点在上，所以，得到，又点到其焦点的距离为4，根据抛物线定义知，，得到,
故选：D.
2．（2023·江西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义可得求出点的纵坐标，求出其横即，即可求解.
【详解】由，得，根据抛物线的定义，
知，解得，
代入，得.
所以点到轴的距离为.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】直接利用抛物线的定义即可求解.
【详解】依题意知，焦点，
由定义知：，
所以，所以．
故选：C.
4．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知.
【详解】设，
抛物线，则，
焦点恰好是的重心，
则，
故．
故选：A．
5．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.
【详解】因为点在抛物线上，，
所以，所以，
所以，所以，解得.
故选：C

6．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可.
【详解】设焦点为，则，解得．

故选：D
7．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为点是抛物线的焦点，所以，解得，所以抛物线的方程为：．
由抛物线的定义知：点到点的距离等于点到准线的距离，
结合点与抛物线的位置关系可知，的最小值是点到准线的距离，故的最小值为7．
故选：C.

8．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】求出焦点的坐标，根据两点间距离公式求得，即的长度，根据抛物线定义可求得点坐标，进而可求出面积.
【详解】
由题意得，，则，即点到准线的距离为2，
所以点的横坐标为，所以，
由各点坐标易知，所以.
故选：B.
9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】根据鸽子到抛物线焦点的距离为10米，利用抛物线的定义求解其位置，再利用两点间的距离求解.
【详解】解：如图所示：

设鸽子所在位置为点，
因为它到抛物线焦点的距离为10米，
所以，解得，
则，
所以鸽子到拱顶的最高点的距离为，
故选：B
10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为，所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D
11．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义可得动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项.
【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则，
所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于.
所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，
即其最小值是.

故选：D
12．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【答案】A
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【详解】，故,
记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故选：A.

13．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为1，且是抛物线上两点，线段的中点到轴的距离为， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线定义求焦半径即可.
【详解】由条件可得，设，
则，当时取得等号，
所以，解得：，
所以抛物线C方程为.
如图所示，
设，
因为AB的中点到y轴的距离为2，
所以，
所以由抛物线的定义可知.
故选：D.
14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线定义计算即可.
【详解】由抛物线定义可得，则.
故选：D
15．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
【答案】B
【分析】设，，联立得，则，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】设，，
联立得，
则.
所以.
当且仅当，即，时，上式取等号，
故.
故选：B
16．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由的面积求出，为定值，的周长最小，需最小，即最小，此时MQ垂直于抛物线C的准线，求值即可.
【详解】
由题可知，的面积为，则．
则有,准线方程为，，
Q点到准线距离为，的周长最小，需最小，即最小，
所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为．
故选：B
17．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得．
【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为

B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知，
所以的周长为，
,
,
故选：B．
18．（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ）
A．12B．6C．D．
【答案】D
【分析】由已知及抛物线定义证是正三角形，再求梯形的面积即可.
【详解】由题知，抛物线的焦点F为，准线l为，如图所示.

由题知，因为，所以，
则.
因为，所以，
由抛物线的定义知，所以是正三角形，
所以，则.
故选：D
19．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知圆与轴相交于E，F两点，与抛物线相交于A，B两点，若抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】利用抛物线定义化斜为直，借助平面几何性质建立等量关系，求解方程即可.
【详解】圆与轴相交于E，F两点，且抛物线开口向右，
所以，则，即．
如图，过点和点分别作和垂直于抛物线的准线，
易知，．
设，则，
则，
即，，
解得（舍），或，
所以；
，
则，
解得，
所以.
故选：D.

20．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值.
【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，设，
由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，
如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，
，且，
所以，令，则，
所以，由，
而，
得，取得最小值，则的最小值为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）.
二、多选题
21．（2023·河北·校联考模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据抛物线的定义列方程，化简求得的值，也即求得正确答案.
【详解】设焦点为F，则，解得或.
故选：BD
22．（2023·全国·高三专题练习）（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（ ）
A．(3，2)B．(3，－2)
C．(－3，2)D．(－3，－2)
【答案】AB
【分析】设点P的坐标为(x，y)，利用抛物线的定义可得x－(－2)＝5，求得x＝3代入抛物线方程中可求出y的值，从而可求出点P的坐标
【详解】抛物线y2＝8x的准线方程为，
设点P的坐标为(x，y)，
∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，
∴y＝±.
∴点P的坐标为(3，±).
故选：AB.
23．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解.
【详解】抛物线C：的焦点，准线为，
设准线与轴交于点，
∵，由与△相似得：，
∵，∴，即，故A错误；
由抛物线定义得，∴，
即，，故BC正确，D错误．
故选：BC．
24．（2023秋·广东肇庆·高三德庆县香山中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（ ）
A．若与轴垂直，则
B．若点的横坐标为2，则
C．以为直径的圆与轴相切
D．的最小值为2
【答案】ABC
【分析】结合抛物线定义逐个分析判断.
【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，
若与轴垂直，将代入抛物线方程，得，
故，选项A正确；
若点的横坐标为2，由抛物线定义，
，选项B正确；

如图，点C为中点，由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，
由点向准线作垂线，分别交轴和准线与点，
设以为直径的圆半径为，
则，
又由梯形中位线得，，
所以以为直径的圆与轴相切，选项C正确；
设点，
则，
当时，的值最小，为1,选项D错误.
故选：ABC
三、填空题
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）设为抛物线的焦点，点在上，过作轴的垂线，垂足为，若，则 .
【答案】4
【分析】利用抛物线的定义求解.
【详解】解：由抛物线的定义知，
所以.
故答案为：4
26．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则 ．
【答案】4
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线焦点为,由于在抛物线上，故，
根据题意可得,
由抛物线定义可得，
故答案为：4

27．（2023·全国·高三专题练习）设P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义进行求解即可.
【详解】设抛物线的焦点为，因为直线是该抛物线的准线，所以点P到直线的距离等于，所以当在同一条直线上时，点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小，最小值为，
故答案为：
28．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为 ．
【答案】
【分析】结合题意根据抛物线的定义和梯形中位线分析处理．
【详解】设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，
由梯形中位线得，，
∴准线方程为
故答案为：．
29．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则 ．
【答案】7
【分析】根据题意，设，，可得，联立即可得解.
【详解】
设，，
可得，
，
由，带入可得：，
所以，
故答案为：7.
30．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于不同的两点，.若，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点N的坐标，进而求出直线的方程，再与抛物线方程联立求出点M的坐标作答.
【详解】抛物线的焦点为，设，由抛物线的对称性不妨令，如图，

显然，而，则，，
于是直线的方程为，由得，解得，
所以.
故答案为：
31．（2023·河南·校联考模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，准线与轴交于点，且，则 .
【答案】
【分析】由题可得图形，设根据条件可得关系式，进而即得.
【详解】不妨取，因为，所以，
则，解得，则.

故答案为：.
32．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则
【答案】4
【分析】先求出准线方程为，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形中由平行线得比例线段，从而可得，即，从而可得．
【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，
，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，
所以，又由定义知，
所以.

故答案为：4.
33．（2023秋·上海普陀·高三上海市宜川中学校考阶段练习）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．
【答案】5
【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可.
【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为，
所以
故答案为：5.

34．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，推理论证与抛物线准线垂直，再借助抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线焦点为，点在准线上，
在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，

令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，
于是，
令，则，解得，
所以点坐标为.
故答案为：
35．（2023·广西柳州·统考模拟预测）抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 .
【答案】
【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得，，可得，进而可得的最大值为.
【详解】
如图，过点作，过作，设，，
则由抛物线的定义知，，
由题意知，
因得，
，
因，当且仅当，即时等号成立，
所以，，
所以，
故答案为：
36．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】设点的坐标为，根据题意可求得点的轨迹方程为，利用抛物线的定义可得出当点与抛物线的焦点重合时，为定值，进而可得解.
【详解】为圆的一条弦，是弦的中点，所以圆心在线段的中垂线上，
设，因为与直线相切，所以的半径为，
因为，所以，
因为，即，
化简得的轨迹方程为.
因为曲线：是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
若为焦点，则.
因为，
所以存在满足条件的定点，其坐标为.
故答案为：.

37．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.
【详解】如图所示：

由圆的标准方程为可知圆心，半径为，
抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线定义可知，
圆外一点到圆上点的距离满足，即；
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立；
即的最小值为．
故答案为：
38．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】不妨设，根据焦半径公式求出，从而求出，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出，从而求出抛物线方程，再求出焦点到直线的距离，即可得解.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，由抛物线定义知，，，，或（舍去），
当时，，，，
解得或（舍去），抛物线的方程为，焦点，准线方程为，
焦点到直线的距离，
抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为．
故答案为：
题型二 抛物线的标准方程
策略方法 求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p．
【典例1】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；
(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案.
【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，
可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，
故抛物线标准方程为；
（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，
则设抛物线标准方程为或，
分别将代入，求得，
故抛物线标准方程为或；
（3）由于直线与x轴的交点为，
由题意可知抛物线焦点为，则，
故抛物线标准方程为；
（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，
则设抛物线方程为，焦点为，准线为，
故，
故抛物线标准方程为.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决.
【详解】由题知，抛物线的准线方程为，
所以抛物线开口向左，，即，
设拋物线的标准方程为，
所以拋物线的标准方程为，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义和方程求解.
【详解】因为抛物线，所以焦点坐标为，
所以解得，所以此抛物线的方程为.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义以及方程求解.
【详解】由题可知，抛物线开口向上，设方程为，
设抛物线的焦点为，则准线为，
所以解得，所以方程为，
故选:B.
4．（2023·新疆·统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求解．
【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．
故选：C．
5．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出.
【详解】依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为3，所以，
所以的标准方程为.
故选：A
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得.
【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．

设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，
则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上第一象限的一点，以点B为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的定义列式求解.
【详解】由题意可得：抛物线的焦点坐标，准线，
则，解得.
故选：D.
8．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】点在C上，代入抛物线方程可得，过点A作l的垂线，垂足为H， l与x轴交于点G，有，所以为中点，可求.
【详解】由在上，有，得，所以，，

过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，有，又，所以为中点，有，．
故选：A．
9．（2023·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.
【详解】解：由题意得：
，，，所以
可得，由抛物线的定义得
所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是．
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用可求得，从而可得答案．
【详解】如图，连接，设准线与轴交点为

抛物线的焦点为，准线：
又抛物线的定义可得，又，所以为等边三角形，
所以，
所以在中，，则，所以抛物线的方程为.
故选：C.
11．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知是抛物线的准线，为的焦点，分别为和上的两点，与轴交于点，且四边形的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线定义知，结合已知有为直角梯形、△为等边三角形，进而可得，，应用梯形面积公式列方程求，即得答案.
【详解】由抛物线定义及，则，即为直角梯形，
又，则，即△为等边三角形，
所以，在Rt△中，，，
故四边形的面积为，可得，
又，则，故抛物线为.
故选：D
12．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点是F，点A是该抛物线上一点，O是坐标原点，的外接圆的圆心在C上，且该圆周长等于，则p的值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】设的外接圆的圆心为，根据抛物线定义得，结合圆心在的垂直平分线上在则有，最后得到方程解出即可.
【详解】设的外接圆的圆心为，设外接圆的半径为，则，
解得，则，
根据抛物线的定义及圆心B在C上得，即，
又圆心在的垂直平分线上，则，
所以，即，
故选：B.
13．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以，由此可求出，而，再由勾股定理可得，而已知，从而可求出的值，即可得到结果.
【详解】
依题意知，设以为直径的圆与直线相切于点N，圆心为M，则，因此，所以．
设双曲线的焦距为，则，解得，
由勾股定理可得，
于是，，
又因为双曲线C与抛物线有共同的右焦点，
则，所以，
即抛物线方程为
故选:A
二、多选题
14．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】分焦点在轴，轴上进行讨论，根据条件求出即可
【详解】由于焦点在直线上，
则当焦点在y轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：
当焦点在x轴上时，令，
所以焦点坐标为：，
设方程为，由焦点坐标知，
所以抛物线的方程为：，
故选：BC.
15．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知抛物线与直线有公共点，则的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，利用方程的根与公共点的个数之间的关系使即可求得的取值范围.
【详解】联立直线和抛物线方程，
消去得，，
由抛物线与直线有公共点，所以方程有实数根；
即，解得或（舍）
因此的值可以是3，4，5.
故选：BCD
16．（2023秋·江苏连云港·高三校联考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程.
【详解】因为抛物线C的方程为，所以焦点，
设，由抛物线的性质知，得．
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，
由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，
故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即，
代入抛物线方程，得，解得或．
所以抛物线C的方程为或．
故选：AC
17．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（ ）

A．的方程为B．的方程为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】BD
【分析】由焦点易得抛物线的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，通过抛物线的定义结合图象可得，即可求得答案.
【详解】由题可得，即的方程为，
设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，
将代入可得，
所以，
于是，
当与重合时，取得最小值.

故选：BD.
三、填空题
18．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C的标准方程 ．
【答案】（或或任写一个即可）.
【分析】设抛物线的标准方程为，由题意得，即可得出抛物线方程.
【详解】设抛物线的标准方程为，
由题意知，焦点到准线的距离，
所以，可取，
则抛物线的标准方程为.
故答案为：（或或任写一个即可）.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线方程为，则 .
【答案】
【分析】根据抛物线标准方程中焦距与准线的关系确定a.
【详解】因为抛物线的准线方程为
所以，解得；
故答案为： .
20．（2023·山东青岛·统考一模）已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性以及边长可得，进而代入抛物线方程即可求解.
【详解】根据抛物线的对称性可知：由为等边三角形，所以关于坐标轴对称，由,，所以,将代入可得，
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 .
【答案】
【分析】设，利用向量的关系式，求得点的坐标，代入抛物线方程即可．
【详解】抛物线的准线为，
由题意，，
设，则，，
因为，所以，
所以，，
代入得，解得（负值舍），
所以.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上．
则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可），
【答案】（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个）
【分析】根据抛物线焦点在坐标轴上，分别将、代入圆的方程，可求得焦点坐标，由此可得抛物线方程.
【详解】由已知得：抛物线的焦点在坐标轴上；
若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：，
抛物线的焦点为，；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
若抛物线的焦点在轴上，将代入可得：或，
抛物线的焦点为，；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
当抛物线的焦点为时，抛物线的方程为；
则可同时满足三个条件的抛物线的方程为或或或．
故答案为：（答案不唯一，只需填写或或或中的任意一个）．
23．（2023·北京丰台·统考二模）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
【答案】80
【分析】建立平面直角坐标系，待定系数法求出抛物线方程，得到答案.
【详解】以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由题意得，将其代入抛物线方程得，
解得，故安全抛物线的焦点到其准线方程为80米.
故答案为：80
24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线：的准线相交于点A，O为坐标原点，若则抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】由抛物线方程求得准线方程，联立直线方程求得点坐标，再根据斜率，即可求得，则问题得解.
【详解】对抛物线：，其准线方程为：，
又其与直线交于点，故可得点的坐标为，
因为，则，解得，则抛物线方程为：.
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】或
【分析】先根据点到直线的距离公式求出点的横坐标，再根据点在抛物线上，代入解方程即可求出，从而解出．
【详解】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，
于是，代入，得，解得或，
故该抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
26．（2023秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，的准线与轴相交于点，为上的一点，直线与直线相交于点，若，，则的标准方程为 ．
【答案】
【分析】首先根据题意得到，从而得到，设直线的方程为，与抛物线联立得到，再根据焦半径公式求解即可.
【详解】如图所示：
，，
∴，∴，
即，
∴，∴，
不妨令点在第一象限，则直线的方程为，
联立，得，即，
所以，解得，所以的标准方程为．
故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】由题可得，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解即得.
【详解】由题意可知，，，
可得，
所以，
由抛物线的定义得，
所以是等边三角形，
所以，
所以抛物线的方程是.
故答案为：.
28．（2023·山东聊城·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ．
【答案】4
【分析】做准线于点，轴于点可得，，再由抛物线定义可得答案.
【详解】如图，做准线于点，轴于点，所以，
因为， 所以，所以，
解得.
故答案为：.

29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点A，且满足，设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为 ．
【答案】
【分析】由可得点在准线上，则可得，可得抛物线的方程为，所以，从而可求出直线方程为，然后直线方程与抛物线方程联立可求出点的纵坐标
【详解】由题意可知，因为，所以点在准线上，
又因为准线方程为，所以，即，
所以抛物线的方程为，
因为点坐标为，所以，故直线方程为，
联立得，
解得（舍）或，故点纵坐标为．
故答案为：
30．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】设点的坐标为，根据题意可求得点的轨迹方程为，利用抛物线的定义可得出当点与抛物线的焦点重合时，为定值，进而可得解.
【详解】为圆的一条弦，是弦的中点，所以圆心在线段的中垂线上，
设，因为与直线相切，所以的半径为，
因为，所以，
因为，即，
化简得的轨迹方程为.
因为曲线：是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，
若为焦点，则.
因为，
所以存在满足条件的定点，其坐标为.
故答案为：.

31．（2023·陕西西安·统考三模）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据在抛物线上，代入解得值，从而得到坐标，在根据，得到是线段垂直平分线与线段垂直平分线的交点，求出两条垂直平分线方程，进而求出坐标.
【详解】解：焦点为的抛物线上有一点，
则，解得，所以抛物线方程为，
则焦点，，
因为，所以是线段垂直平分线与线段垂直平分线的交点.
线段垂直平分线方程为，
因为点与点的中点坐标为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线斜率，
所以线段的垂直平分线方程为，
则，解得，
所以坐标为，
故答案为：.
32．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为 ．
【答案】4
【分析】首先证明，求出，则，再利用证明的结论，得到，利用焦点弦公式求出值即可.
【详解】设，，则，
设直线的方程为，联立抛物线方程有
，，，
则，直线的方程为，
令，则，则，
则得，
∴，∴，，又，
则，∴点，，解得．
故答案为：4.
题型三 抛物线的性质
策略方法 抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【典例1】（单选题）下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】A
【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.
【详解】抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则实数的值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的准线方程列式得出结果.
【详解】由题意得：，
解得：.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于x轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，可得答案.
【详解】由抛物线的定义可得，解得，则抛物线C的准线方程是．
故选：B.
3．（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ）

A．1米B．2米C．4米D．8米
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，利用点的坐标代入即可求解，由的几何意义即可求解.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，
将代入可得，
所以焦点到准线的距离为，即为2，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．（0，－1）C．D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标求得，由此求得抛物线的焦点坐标.
【详解】依题意在抛物线上，
所以，
所以，
故，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：A
5．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点在抛物线上可得，利用抛物线定义可得，即可求得p的值，即可求得答案,
【详解】由题意可知，，所以
又知抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义可知，，整理得，解得，
所以的焦点坐标为，
故选：C．
6．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合圆的方程可求得点坐标，代入抛物线方程可确定的值，进而确定准线方程.
【详解】将代入圆方程得：，解得：，或，
在抛物线上，或，
解得：（舍）或，抛物线方程为，
抛物线的准线方程为：.
故选：D.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解.
【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
8．（2023·吉林·统考二模）已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=-1D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出，求出焦距和离心率，根据抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合求出，就能求出曲线和焦点到其准线的距离.
【详解】根据椭圆
可得：
所以椭圆E的焦距是，故A正确；
椭圆E的离心率为，故B正确；
又因为椭圆的焦点为，
抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合
，即
所以抛物线C的准线方程是，故C正确；
抛物线C的焦点到其准线的距离，故D不正确.
故选：D
9．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（ ）
A．有最大值，无最小值B．无最大值，有最小值
C．无最大值，无最小值D．有最大值，有最小值
【答案】D
【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2.
【详解】
由题意，设
由抛物线范围可知，，
所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0，
由AB中点M在上，可知，即，
所以，
即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2.
故选：D.
10．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数且的图象过定点，若抛物线也过点，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数图象恒过的点，求出抛物线方程即可作答.
【详解】因为对于，当，即时，恒有，
因此函数的图象过定点，而点在抛物线上，
则，解得，
所以抛物线的准线方程为.
故选：B
11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得抛物线标准方程，再去求其准线方程即可解决.
【详解】抛物线的焦点，
由，可得，不妨令
则，解之得
则抛物线方程为，其准线方程为
故选：B
12．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将点的坐标代入抛物线中，解得，从而得到点和点的坐标，要满足，则只需点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，进而求解即可．
【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得，
则，所以的斜率为1，且的中点为，
则的垂直平分线方程为，即，
又的垂直平分线方程为，
又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，
所以点的坐标为．
故选：B．
13．（2023·全国·高三专题练习）过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知设切点坐标为，，利用导数写出切线，的方程，联立求出交点坐标，，代入重心坐标公式利用已知条件可求出的坐标为，再代入抛物线方程，求出，进而求的焦点坐标．
【详解】设切点坐标为，，
由，得，所以，
故直线的方程为，即，
同理直线的方程为，
联立，的方程可得，，
设的重心坐标为，则，，
即所以，则的坐标为，
将点坐标代入抛物线，得到，解得，
故的焦点坐标为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
14．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A．B．64C．D．80
【答案】A
【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解.
【详解】因为线段的垂直平分线交于两点，
所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.
设点且则线段的垂直平分线方程为，
令与轴交于点,又，
则在直角三角形中
继而可得，
所以点坐标为，
代入抛物线，可得，解得，
直角三角形中,
所以四边形的周长为.
故选：A.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
【答案】B
【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.
【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,
由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,
又∵A在圆上，∴,解得,
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别为抛物线与圆上的动点，且的最小值为，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得的最小值为3，设点，然后表示出化简后可求出其最小值，从而可求出，进而可得答案.
【详解】因为的最小值为，
所以的最小值为，
设点（），，则
，
因为，，
所以当时，取得最小值，即，
所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离为3，
故选：C
17．（2023·全国·高三专题练习）抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得的取值范围，可得答案.
【详解】解：如图，
可得圆心也是抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得
故的周长，
由可得，.
的取值范围为
的周长的取值范围为
故选：.
【点睛】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题.
二、多选题
18．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
【答案】AC
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
19．（2023秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ）
A．
B．
C．直线的斜率为
D．的面积为
【答案】ABD
【分析】根据抛物线的标准方程确定的值，得抛物线方程与焦点坐标，再由抛物线定义求得的坐标，确定直线的斜率与的面积，逐项判断即可得答案.
【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；

由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得，
所以，故C不正确；
则的面积，故D正确.
故选：ABD.
20．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．此抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是
B．若，则点到轴的距离为3
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．
【答案】BCD
【分析】首先根据抛物线的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断A，设、，由焦点弦的性质判断B，根据三角形相似判断C，首先证明，再利用基本不等式判断D.
【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，
则抛物线：，所以焦点，准线为，
对于A：设该点为，则，解得，所以，解得，
所以此抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是或，故A错误；
对于B：设、，则，解得，
又为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故B正确；
对于C：过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确；
故选：BCD
21．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）已知抛物线：的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（ ）
A．B．直线的倾斜角为
C．D．点的横坐标为
【答案】AC
【分析】计算焦点的坐标，从而可得的值，判断选项A，再由已知条件分析可得为等边三角形，从而得，即可判断选项B，在，计算的值，即可得，判断选项C，利用点到准线的距离列式计算点的横坐标判断选项D.
【详解】依题意，可得点的坐标为，从而得，A正确；
因为点在准线上，轴，，
又，为等边三角形，，
如图，当点在第一象限，得，
即直线的倾斜角为，
若点在第四象限，同理可得直线的倾斜角为，B错误；
在中，，，C正确；
所以点的横坐标为，D错误.
故选：AC．
22．（2023·广东东莞·校考三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式即可判断C.
【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；
设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，
与抛物线方程联立，得，
因为是该抛物线的切线，所以，即，
且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，
设直线存在斜率且不为零，设为，
同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，
显然、是方程的两个不等实根，所以，
因为，
所以，因此选项D正确；
由上可知：的斜率为，
直线的方程为：，即，
又，所以，
所以，即，
所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，
由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由得，所以，，
所以
，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
故选：ACD

三、填空题
23．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线经过点，则其准线方程是 .
【答案】
【分析】把已知点坐标代入求得后可得准线方程．
【详解】由抛物线经过点，则，即，又抛物线的焦点在轴负半轴，故准线方程为．
故答案为：．
24．（2023·全国·高三专题练习）若点在抛物线（a≠0）上，则该抛物线的焦点到其准线的距离为 ．
【答案】
【分析】将点A坐标代入抛物线方程可得a，据此可得答案.
【详解】由于点在抛物线：（a≠0）上，则，
又a≠0，所以a＝1，所以抛物线的方程为，则抛物线焦点为 ，准线方程为：.
故该抛物线的焦点到其准线的距离为．
故答案为：
25．（2023秋·天津河西·高三统考期末）已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，利用抛物线的定义，由求解.
【详解】因为抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，
所以，
解得，
所以该抛物线的准线方程为，
故答案为：
26．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 .
【答案】
【分析】将圆M的圆心代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标.
【详解】由题可得圆的圆心为，
代入得，
将抛物线的方程化为标准方程得，
故焦点坐标为.
故答案为：.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
28．（2023·北京·高三专题练习）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性即可知在上，代入求p，写出抛物线方程即可.
【详解】由抛物线的对称性知：在上，
∴，可得，即抛物线的方程为.
故答案为：.
29．（2023秋·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为 .
【答案】
【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案.
【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，
过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为.
由抛物线的定义可知，，
同理：,
于是，，则抛物线的准线方程为：.
故答案为：.
30．（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）已知抛物线：与圆：，直线：与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若，则抛物线的准线方程为 .
【答案】
【分析】设，，联立，结合韦达定理及弦长公式可得，再根据圆求出弦长，进而列出方程即可求解.
【详解】设，，
联立，化简得，
所以，
，，
所以，
由圆：，即，
所以圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以，
由，得，解得，
所以抛物线：，
所以抛物线的准线方程为.
故答案为：.

题型四 与抛物线有关的距离和最值问题
策略方法
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。
【典例1】（单选题）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.
【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，

则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当D，B，A三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.
故选：B.
【典例2】（单选题）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得抛物线的方程，设出点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答案.
【详解】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，
且，所以抛物线的方程为，
设，则，
所以当时，取得最小值为.
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，
如图，过作于，
由抛物线的定义可知，所以
则当三点共线时，最小为.
所以的最小值为.
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】先根据题意和抛物线的性质可得到为等边三角形，进而即可求得的值．
【详解】依题意有，则为等边三角形，
又轴，所以．
故选：A．
3．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
【答案】A
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【详解】，故,
记抛物线的准线为，则：，
记点到的距离为，点到的距离为，
则.
故选：A.

4．（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．3
【答案】B
【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离.
【详解】由题意知，，设，则，
所以，

故当时，，
所以.
故选：B.
5．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得．
【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为

B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知，
所以的周长为，
,
,
故选：B．
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，取最小值，即可得解.
【详解】根据已知得到，圆，所以，圆的半径为，
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则，
由抛物线的定义可得，
所以，.
当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，两个等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圆的性质可得，设，结合两点距离公式和二次函数性质求的最小值，可得结论.
【详解】圆的圆心的坐标为，半径，
因为是圆上一点，
所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，
因为是抛物线上一动点，
设点的坐标为，则
，
当时，取最小值，最小值为，
所以，
当且仅当点的坐标为，且点为线段与圆的交点时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】设点，由点与点距离公式计算以及的长，代入所求结合二次函数的性质可求出最大值.
【详解】设，则，又，所以，则.令，则，，即时，取得最大值，此时.
故选：D
9．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值.
【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，设，
由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，
如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，
，且，
所以，令，则，
所以，由，
而，
得，取得最小值，则的最小值为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）.
10．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知为抛物线的准线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，根据几何意义即可求解.
【详解】作出图形，如图所示，根据题意可知:点，，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
则，
如图（当点三点共线时取等号）
因为，
所以的最小值为，
故选：.
11．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.
【详解】如图所示：
由知，抛物线焦点，
由，化为，
即为以为圆心，1为半径的圆，
又，得，恒过定点，
过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接，
则，
当三点共线时，最小,此时为3，
所以的最小值为：，
故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据题设知且，再利用抛物线定义及A在C上求出坐标，应用两点距离公式，即可得结果.
【详解】由题设知：，而，则，
又AB的中垂线经过点F，则，
不妨设且，则，可得，故，
所以，
综上.
故选：B
13．（2023·全国·高三专题练习）已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，知，当在抛物线上移动时，当三点共线时，最小，由此即可求出结果.
【详解】如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义，知
当在抛物线上移动时，的值在变化，显然移动到时，三点共线，最小，此时，把代入，得，

所以当取最小值时，点的坐标为．
故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
【答案】C
【分析】利用切线性质，构造的长度关于的函数关系，再求函数的最小值即可.
【详解】圆的方程：，
可知，，，，
故四边形的面积，
，
当取最小值时最小，
设，则，
当时，取最小值为，
的最小值为．
故选：．
15．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
【答案】B
【分析】设，，联立得，则，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】设，，
联立得，
则.
所以.
当且仅当，即，时，上式取等号，
故.
故选：B
16．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】B
【分析】由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
17．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心1为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
18．（2023秋·山东德州·高三统考期末）曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对于可直接利用两点间的距离公式结合二次函数进行求解，对于可利用抛物线的性质，结合图象观察发现取得最值时的的位置进行求解.
【详解】设，则，结合关系式可变形为：，当，即动点坐标为时，取到最小距离，即；
由题知，曲线为抛物线在第一象限的部分以及原点，其焦点为，准线为，设，过作准线，垂足为，根据抛物线定义，，过作准线，垂足为，交抛物线于，当在运动时，结合下图可知，，当运动到时取得等号，即的最小值为.故.
故选：C
19．（2023·全国·高三专题练习）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】A
【分析】求得直线的方程为，联立方程组求得，结合，得到，过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，当三点共线且与轴平行时，有最小值，即可求解.
【详解】由题意，抛物线，可得焦点，
又因为直线的倾斜角为，可得斜率，
故直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，解得，，
因为，所以
可得，
过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，
当三点共线且与轴平行时，有最小值，最小值，
所以的最小值为3.
故选：A.
二、多选题
20．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（ ）
A．的最小值为B．最小值为
C．最小值为D．最小值为
【答案】BCD
【分析】动点的轨迹为圆，通过抛物线上点的性质，通过设点，化折线为直线表示出距离，利用函数思想或数形结合判断最小值的大小.
【详解】抛物线焦点坐标为，
动点到距离为

设点为，则
整理得，，即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设点为，则点到距离
时，最小为，
最小值为，故A错误.
点为，最小为最小值为1，
最小为，故B正确.
等于点到直线的距离，
最小值为到直线的距离减去，即，故C正确.
到的距离为
最小值为到的距离与和的最小值，
即到的距离最小值，
设为
则到距离为
当时，最小值为2，
最小值为2，
得最小值为，故D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：
圆上的点到定点定直线或曲线的距离的最值，转化为圆心到定点定直线或曲线的距离的最值，抛物线上的点到到定点定曲线的距离之和的最小值利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，折线转化为直线.也可利用点到直线距离公式、两点间距离公式，利用函数思想求最值.
21．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考期末）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【分析】当时，得到为抛物线焦点，利用焦半径求出，从而判断A选项；作辅助线，得到当N，P，M三点共线时，取得最小值，求出最小值，判断C选项；延长AM交抛物线于点，此时为的最大值，求出最大值，判断D选项；当时，利用两点间距离公式和配方求出最小值，判断B选项.
【详解】当时，为抛物线的焦点，设，
则，故的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，
此时，
故当N，P，M三点共线时，取得最小值，
此时，C正确；
当时，，
连接AM，并延长AM交抛物线于点，
此时为的最大值，
当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，
因为，故D正确；
此时
当时，，B错误.
故选：ACD
22．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若点，则的最小值是5D．若倾斜角为，且，则
【答案】ACD
【分析】A选项由范围来判断，B选项由特殊点进行判断，C选项利用点到抛物线的准线的距离来判断，D选项求得两点的纵坐标来判断.
【详解】抛物线的准线为，焦点为.
设，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，
，
所以（时等号成立）.所以A选项正确.
当直线的方程为时，不妨设，此时，所以B选项错误.
根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以C选项正确.
当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限.
故，解得，
所以，即，所以D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解与抛物线有关的距离和的最值问题，要注意结合抛物线的定义来求解.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线为，焦点为F，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P分别作，垂足为A，，垂足为B，则（ ）
A．点F到直线的距离为B．
C．的最小值为1D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A，用点到直线的距离公式即可判断；对于B，利用抛物线的定义即可判断；对于C，利用基本不等式即可判断；对于D，利用抛物线的定义可得到，接着求出的最小值即可
【详解】由抛物线的准线为可得抛物线方程为，焦点为，
对于A，点F到直线的距离为，故A正确；
对于B，因为在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得，即，故B正确；
对于C，因为在抛物线上，所以，
所以，当且仅当时，取等号，故C错误；
对于D，由抛物线的定义可得，故，当且仅当三点共线时，取等号，此时，
由选项A可得点F到直线的距离为，故的最小值为，故D正确，
故选：ABD
三、填空题
24．（2023秋·上海普陀·高三上海市宜川中学校考阶段练习）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．
【答案】5
【分析】利用抛物线定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离即可.
【详解】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，
根据抛物线定义可知，又因为直线l方程为，
所以
故答案为：5.

25．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据抛物线的性质，做出图像即可得到当平行于轴时，取得最小值，从而得到结果.
【详解】
抛物线的准线方程为，
过点作垂直准线于点，
显然，当平行于轴时，
取得最小值，此时，
此时
故答案为:.
26．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】设出点的坐标，结合圆的切线的性质求出，再借助式子几何意义作答.
【详解】依题意，设，有，圆的圆心，半径，
于是，

因此，表示抛物线上的点到y轴距离与到定点的距离的和，
而点在抛物线内，当且仅当是过点垂直于y轴的直线与抛物线的交点时，取得最小值3，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.
【详解】如图所示：

由圆的标准方程为可知圆心，半径为，
抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线定义可知，
圆外一点到圆上点的距离满足，即；
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立；
即的最小值为．
故答案为：
28．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点的直线交抛物线于两点，点的坐标为. 设线段的中点为则的最小值为 .
【答案】
【分析】作辅助线，由抛物线的定义以及四边形的性质得出最小值.
【详解】由题意抛物线的焦点为，准线方程为，过点作准线的垂线，
垂足分别为，，取的中点为，连接，如下图所示：
点到准线的距离为，易知四边形为直角梯形，则由抛物线的定义可得
.
即（当三点共线时，取等号）
即的最小值为.
故答案为：
29．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知抛物线，圆，点，若分别是，上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由抛物线得焦点，准线为，，转化为求取得最小值，过点M作准线的垂线与抛物线相交，当点为此交点时，取得最小值，由此可求得答案.
【详解】解：由抛物线得焦点，准线为，
由圆，得，
所以圆是以为圆心，以为半径的圆，
所以，
所以当取得最小值时，取得最小值，
又根据抛物线的定义得等于点到准线的距离，
所以过点作准线的垂线，垂足为，且与抛物线相交，当点为此交点时，取得最小值，最小值为，
所以此时，
所以的最小值为.
故答案为：.
30．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用直线的点斜式方程写出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题可知直线的方程为，设，则
由,消去，整理得，，
所以，
所以，解得，
所以，而圆的圆心,
因为，
当且仅当点在同一条直线上取等号，且点位于点之间，如图所示：
又，
所以的最小值为.
故答案为：.
31．（2023·上海·高三专题练习）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出圆的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出，结合已知建立不等式，求解作答.
【详解】圆：的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，
即有，于是，
即，整理得，解得，
所以点P的横坐标的取值范围是.
故答案为：
32．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先得到圆心的坐标与半径，由抛物线方程得到焦点坐标与准线方程，依题意可得点到直线的距离，即可得到点到直线的距离与之和为，再数形结合得到的最小值.
【详解】解：因为圆，所以，半径，
抛物线的焦点，准线为直线，
则点到直线的距离，
所以点到直线的距离与之和为，
所以当、、、四点共线时，取得最小值，
其最小值为.
故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先利用抛物线定义，将转化为，然后通过三角函数分析，去求抛物线的切线方程，从而求解最小值.
【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足记为.
由已知得，，根据抛物线的定义知，点M到焦点F的距离等于点M到准线的距离．故．在直角△MNH中，表示的倒数，故求的最大值转化为求的最小值，此时，也最小值．而的最小值就是曲线在点M处切线过N点时的斜率．由得，故曲线在点处的方程为：．而点在此切线上，故有，则，取，此时切线斜率为：．故切线的倾斜角为45°，即．∴，故所求的最大值为．
故答案为：
①抛物线的定义及焦半径公式的应用
②抛物线的标准方程
③抛物线的性质
④与抛物线有关的距离和最值问题
图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径