初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形课时作业

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一、单选题
1．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（ ）
A．3cm，5cmB．4cm，4cm
C．3cm，5cm或4cm，4cmD．以上都不对
2．如图，在中，，，，则下列结论中不正确的是（ ）

A．B．C．D．
3．如图，在中，，，，点O为的中点，点M为内一动点且，点N为的中点，当最小时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（ ）
A．αB．C．D．
5．如图，，点在线段上，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接，，则的度数为（ ）
A．20°B．35°C．40°D．70°
7．如图，在中，，是的中点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．等腰三角形的一个底角为，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．，B．，或，
C．，D．，或，
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．B．C．或 D．
10．如图，以图中的格点为顶点，全等的等腰直角三角形共有（ ）
A．14对B．15对C．16对D．17对
11．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，OC＝OE，∠A＝50°，则∠C的大小为（ ）
A．10°B．15°C．25°D．30°
12．等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为( )
A．22厘米B．17厘米C．13厘米D．17厘米或22厘米
二、填空题
13．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC于点D，AD=4，BC=6，点E、F分别是AD、AB上的任意一点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为 ．
14．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC上一点，且BD＝BC，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②D是AC的中点；③DE垂直平分AB；④AB＝BC+CD；其中正确的结论是 （填序号）．
16．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，BE=13，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
17．已知等腰三角形的两边a，b，满足|a-b-2|+=0，则此等腰三角形的周长为
18．等腰三角形腰长10cm，底边16cm，则腰上的高是 ．
19．已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的顶角的度数是 ．
20．已知，如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，过点E作DE∥BC交AB于点D，若AE=3cm，△ADE的周长为10cm，则AB= cm．
三、解答题
21．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．
22．在ΔABC中，，，，设，.
（1）如图1，当点P在ΔABC内，
①若，求的度数；
小汪同学通过分析已知条件发现：ΔABC是等腰直角三角形，且，从而容易联想到构造一个等腰直角三角形，于是，他过点A作，且，连接DP，DC，可证得：，再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出的度数
请利用小汪同学分析的思路，通过计算求得的度数为______；
②小汪在①的基础上进一步进行探索，发现，之间存在一种特殊的的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明；
（2）如图2，点P在ΔABC外，连接PC，那么，之间的数量关系是否改变，若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由.
23．计算
(1)求出图中的x的值．
(2)已知等腰三角形的周长是14cm．若其中一边长为4cm，求另外两边长．（分类讨论）
24．（1）等腰三角形的两边长满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|－|c＋b－a|．
参考答案：
1．C
【详解】解：当长是5cm的边是底边时，腰为cm，三边为4cm，4cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是5cm的边是腰时，底边长是：13-5-5=3cm，三边为5cm，5cm，3cm，等腰三角形成立．
故另两边的长是：3cm，5cm或4cm，4cm．
是解题的关键．
2．B
【详解】A、∵，，∴，选项正确，不符合题意；
B、∵，∴．
∵，
∴，选项错误，符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项正确，不符合题意．
3．C
【详解】如图1，取的中点D，连接．
∵，点O为的中点，
∴，
∵，
∴．
∵D是的中点，点N为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点D，M，C共线时最短．
如图2，
∵，
∴，
∵
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
4．D
【详解】解：∵线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
5．C
【详解】解：∵，
∴，
∴，
6．B
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的外角，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2∠B=70°，
∴．
7．A
【详解】解：∵在中，，是的中点，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
8．C
【详解】解：等腰三角形的一个底角为时，则另两个内角一个为底角，一个为顶角
；
9．C
【详解】当为锐角三角形时如图1，于点，∠°，
∴∠°∠°°°；
当为钝角三角形时如图2，于点，∠°，
∴∠°-∠°°°，
∴∠°∠°．
10．C
【详解】试题分析：如图所示，
假如等腰直角三角形ABC，则与之全等的有BCD，BCE，BDE，CDE，CEF，
等腰直角三角形BCD，与之全等的有CDE，BCE，CEF，BDE
等腰直角三角形BCE，与之全等的有BDE，CDE，CEF
等腰直角三角形BDE，与之全等的有CDE，CEF
等腰直角三角形CDE，与之全等的有CEF
等腰直角三角形ACD与等腰直角三角形CDF也全等，
所以题中共有16对等腰直角三角形全等．
11．C
【详解】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DOE＝25°，
12．A
【详解】解：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；
若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．
13．4.8
【详解】解：连接EC，根据等腰三角形性质有：BE=EC
BE+EF的值转化为CE+EF,当CE+EF为一条直线，且时，BE+EF和最小
∵AB=AC， AD⊥BC，AD=4，BC=6
∴AB=AC==5
利用面积法有：

14．假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，则有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立．
【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接．
在和中，
∵是边上的中线．
∴，
∵，，
∴；
∴，；
∵（）是的平分线，
∴，
∴，
则，
即，与相矛盾．
因而M与点D重合是错误的．
所以点M与点D不重合．
15．①③④
【详解】①∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝36°，
∴∠ABD＝∠CBD=36°，即BD是∠ABC的平分线，①正确．
②∵∠A+∠ABD=36°，
∴AD＝BD，
∵BD≠CD，
∴AD≠CD，故②错误；
③∵∠ABD＝∠A＝36°，
∴AD＝BD，
∵DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴DE垂直平分AB，③正确；
④由①③可知，AD＝BD＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD+CD＝BC+CD，④正确；
16．78
【详解】解：∵长方形纸片按图中那样折叠，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，BE=13，
∴，
∴重叠部分的面积．
17．11或13
【详解】试题分析：因为等腰三角形的两边满足，所以，，所以，，所以得出，，根据三角形两边之和大于第三边的关系，可以得出无论底边是5还是3，三角形都能够成立，所以当底边为，腰为时，此时等腰三角形的周长为11，当底边为，腰为时，此时等腰三角形的周长为13
18．9.6
【详解】试题分析：等腰三角形腰长，底边，可求出底边上的高是6cm，利用三角形面积公式可得
×16×6=×10×腰上的高 所以腰上的高=9.6cm.
19．或
【详解】解：当这个内角是顶角时，则顶角的度数是，
当这个内角是底角时，则顶角的度数是，
20．7
【详解】∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠DEB，
∴BD=DE，
∵△ADE的周长为10cm，AE=3cm，
∴AD+DE=AD+BD=AB=10-3=7cm，
21．(1)8cm，8cm，4cm
(2)能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为
【详解】（1）解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则
∴
∴各边长为：8cm，8cm，4cm．
（2）①若为底时，腰长，
三角形的三边分别为，能围成三角形
②若为腰时，底边，
，
不能围成三角形，
综上所述，能围成一个底边是，腰长是的等腰三角形．
22．（1）①160°；②，证明见解析；（2）.
【详解】解：（1）①过点A作，且，连接DP，DC，
∴∠APD=∠ADP=45°
∴PD=
∵，
∴∠DPC=∠APC－∠APD=70°，BP=PD
∵ΔABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°
∴∠BAP＋∠PAC=∠CAD＋∠PAC=90°
∴∠BAP =∠CAD
在△BAP和△CAD中
∴
∴BP=DC，∠APB=∠ADC
∴PD=DC
∴∠DCP=∠DPC=70°
∴∠CDP=180°－∠DCP－∠DPC=40°
∴∠APB=∠ADC=∠ADP＋∠CDP=85°
∴=360°－∠APB－∠APC=160°
②，
证明：过点A作，且，连接DP，DC，
∴∠APD=∠ADP=45°
∴PD=
∵，
∴∠DPC=∠APC－∠APD=°，BP=PD
∵ΔABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°
∴∠BAP＋∠PAC=∠CAD＋∠PAC=90°
∴∠BAP =∠CAD
在△BAP和△CAD中
∴
∴BP=DC，∠APB=∠ADC
∴PD=DC
∴∠DCP=∠DPC=°
∴∠CDP=180°－∠DCP－∠DPC=
∴∠APB=∠ADC=∠ADP＋∠CDP=
∴=360°－∠APB－∠APC=；
（2），理由如下
过点A作，且，连接DP，DC，如下图所示，
∴∠APD=∠ADP=45°
∴PD=
∵，
∴∠DPC=∠APC＋∠APD=°，BP=PD
∵ΔABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°
∴∠BAC+∠PAC=∠DAP+∠PAC
∴∠BAP =∠CAD
在△BAP和△CAD中
∴
∴BP=DC，∠APB=∠ADC
∴PD=DC
∴∠DCP=∠DPC=°
∴∠CDP=180°－∠DCP－∠DPC=
∴∠APB=∠ADC=∠ADP－∠CDP=
∴=∠APC－∠APB=
∴
23．(1) (2)另外两边长分别为4cm、6 cm或5 cm、5 cm
（2）根据等腰三角形有两个边是相等的，其中一边长为4cm，需要考虑腰长为4cm或者底边长为4cm两种情况，分情况计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知
解得
（2）解：当腰长为4cm时，则底边长为cm，
当底边长为4cm时，则腰长为 cm，
则另外两边长分别为4cm、6 cm或5 cm、5 cm．
24．（1）22；（2）．
【详解】解：（1）∵，且，
∴，
解得：，
①4是腰长时，三角形的三边分别是4、4、9，
∵，
∴不能组成三角形．
②4是底边时，三角形的三边分别是4、9、9，
能组成三角形，
周长，
综上所述，等腰三角形的周长是22．
（2）的三边长分别是、、，
，，，
原式

．