人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题练习

这是一份人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题练习，共19页。试卷主要包含了4 课题学习 最短路径问题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，四边形中，， 在上分别找一点M、N，使周长最小，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）
A．1B．2C．4D．1.5
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，7），点B的坐标为（5，0），点C是y轴上一个动点，且点A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，直线1表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河1上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（ ）
B．
C．D．
7．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．下列命题中,不正确的是( )
A．关于某条直线对称的两个三角形全等
B．若两个图形关于直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线
C．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合
D．两个全等的三角形不一定是轴对称图形
9．如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④．
其中一定正确的有（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
10．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
12．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
二、填空题
13．如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ．
14．如图，在ΔABC中，，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是 .
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则PB+PE的最小值是 ．
16．如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．

17．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ．
18．如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．

19．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．
20．等边三角形的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中边在x轴上，边的高在y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿到达C点，已知电子虫在y轴上运动的速度是在上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为 ．
三、解答题
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)计算出的面积__________；
(2)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(3)在直线l上找一点P，使的长最短．
22．计算：在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作关于y轴成轴对称的，并写出的坐标；
(2)在y轴上有一点P，使的值最小，请在坐标系中标出点P的位置．
23．一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫（A，B，C，D都在格点上）．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中
（1）A→C（ ， ），B→C（ ， ），C→ （+1， ）；
（2）若这只甲虫沿着网格线的行走路线为A→D→C→B，请计算该甲虫走过的最短路程；
（3）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+1），（+3，+2），（﹣2，﹣1），（﹣2，﹣2），请在图中标出P的位置．
（4）在（3）中甲虫若每走1m需消耗1.5焦耳的能量，则甲虫从A走到P的过程中共需消耗多少焦耳的能量？
24．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：
路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为．
路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为．
(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；
(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留）
①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ；
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
参考答案：
1．D
【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，
连接与、的交点即为所求的点、，
，，
，
由轴对称的性质得：，，
．
2．A
【详解】解：分别作点P关于OB和OA的对称点和，连接O、O、，则与OB的交点为点，与OA的交点为点，连接P、P，则此时的值即为△PMN的周长的最小值，过点O作OC⊥于点C，如图所示：
由对称性可知OP＝O＝O＝2，
∵∠AOB＝60°，
∴∠＝2×60°＝120°，
∴∠＝∠＝30°，
∵OP＝2，OC⊥，
∴OC＝O＝1；
3．B
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
当△ABC的周长最小时，即最小，
设直线的解析式为：，代入的坐标得，
解得
当时，解得
4．A
【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短．
5．B
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，
∴，,
∴，
当三点共线，时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
6．B
【详解】试题分析：作点P关于l的对称点P'，连结QP'交直线l于点M，根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，所需管道最短．故选B．
7．A
【详解】如图,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F,此时, △PEF的周长最小,连接OC,OD,PE,PF,
因为点P与点C关于OA对称,所以OA垂直平分PC,所以∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,
同理可得, ∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP,
所以∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=a,OC=OD=OP=2,
所以∠COD=2a,
又因为△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2,
所以OC=OD=CD=2,
所以△COD是等边三角形,
所以2a=60°,
所以a=30°,
故选A.
8．C
【详解】解：根据轴对称图形的性质可知：A、B、D正确，C应改为等腰三角形底边上的高、中线及这边所对角的平分线重合，故错误．故选C．
9．D
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
过P作于M，于N，于S，
∵平分，平分，
∴，
∴平分，
∵；故②不正确；
∵，平分，
∴垂直平分，故③正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故④不正确．
10．D
【详解】解：∵，平分，
∴，
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，
则，，，，，
∴，，，，
当在一条直线上，且时，取最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
11．B
【详解】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值是C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝12BC'＝84，
∴CE+EF的最小值为4，
12．D
【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∵AF=CF，
∴FM⊥AC，
∴∠CFE′=90°，
13．10
【详解】解：如图，连接，
∵点是的角平分线上一动点，则 ，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，
又∵是等边三角形，，
∴的最小值为10，
14．7
【详解】∵EF垂直平分BC,

∴B、C关于EF对称，
连接AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是4+3=7.
15．3．
【详解】∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处，
∴点C、E关于AD对称，
∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC，
∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∴AC=CD=，
BC=AC=×=3．
16．4
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．

是的垂直平分线，
，，
，，
，
为等边三角形．
又与均为等边三角形的高，
，
，
的最小值是4．
17．
【详解】解：在下方作，使，连接．
则，．
∴，
即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
18．8
【详解】解：如图，连接，
，
等边三角形的边长为4，
，，
与关于直线对称，
也是边长为4的等边三角形，
，，
，
在和中，，，，
，
，
，
由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，
，
的最小值为8，
19．．
【详解】解：∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，∵等边三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，
作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，
在Rt△B′BG中，BG===3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，B′D===．
20．
【详解】解：如图，连接，作于，
设电子虫在上的速度为，
电子虫走完全程的时间，
在中，，
∴电子虫走完全程的时间，
当、、共线时，且时，最短，
此时，易知，
∴点的坐标为．
21．【详解】（1）；
（2）如图，根据题意，可得：
点 、、 关于直线 对称的点分别为点 、、 ， 连接 、、，则 即为所作；

（3）如图， 连接 交直线 于点 ， 连接 ，
∵点 和点 关于直线 对称，
∴直线 垂直平分 ，
∴，
∴，
这时 的长最短，
∴点 即为所求；

22．【详解】（1）解：如图，
（2）解：连接交y轴于一点，即为所求的点P．
23．【详解】(1)A→C(3，4)，B→C(2， 0)， C→D(+1，-2)．
(2)(4+2)+(1+2)+2= 11
∴该甲虫走过的最短路程为11；
(3)如图，P在A往右1个单位的格点上；
(4)(2+1)+(3+2)+(2+1)+(2+ 2)
= 3+5+3+4= 15
15×1.5= 22.5（焦耳）
24．【详解】（1）解：剪开前，，，
∴，
剪开后，，，
∴；
∵
∴即所以选择路线1较短；
（2）解：①，
．
②，
∴即所以选择路线2较短．