北京市房山区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份北京市房山区2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共35页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知tanA=1，则锐角A的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．函数y=﹣x2﹣3的图象顶点是（ ）
A．（0，3） B．（﹣1，3） C．（0，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
3．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3
4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则csB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若反比例函数y=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以为（ ）
A．﹣1 B．3 C．0 D．﹣3
6．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（ ）
A． B． C． D．
7．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5csα B． C．5sinα D．
8．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y=的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题
11．已知反比例函数的图象经过A（﹣3，2），那么此反比例函数的关系式为 ．
12．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是 ．
13．若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
14．若把函数y=x2+6x+5化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则k﹣m= ．
15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（﹣1，m），B（2，m）．写出一组满足条件的a、b的值：a= ，b= ．
16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ．

三．解答题：（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：2sin60°+（3.14﹣π）0﹣+（）﹣1．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，求sinA和tanB的值．
19．已知：二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向上，并且经过原点O（0，0）．
（1）求a的值；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．
21．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象（不用列表）．
（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．
22．如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，﹣m）．
（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
23．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，求m的整数值．
24．小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=﹣10x+500（20≤x≤50）．下面是他们的一次对话：
小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”
爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”
聪明的你，也来解答一下小明想要解决的两个问题：
（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的表达式．
（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
25．如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：
①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；
（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．
26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： ．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．
28．已知：如图，在四边形ABCD中，BC＜DC，∠BCD=60°，∠ADC=45°，CA平分∠BCD，AB=AD=，求四边形ABCD的面积．
29．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为 ；
（2）判断点A是否在抛物线L上；
（3）求n的值；
【发现】
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为 ．
【应用】
二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

2016-2017学年北京市房山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题
1．已知tanA=1，则锐角A的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据tan45°=1解答即可．
【解答】解：∵tanA=1，A为锐角，tan45°=1，
∴∠A=45°．
故选B．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

2．函数y=﹣x2﹣3的图象顶点是（ ）
A．（0，3）B．（﹣1，3）C．（0，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴函数y=﹣x2﹣3的图象顶点是（0，﹣3）．
故选C．
【点评】考查求抛物线的顶点坐标的方法．

3．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A．y=2（x+1）2+3B．y=2（x+1）2﹣3C．y=2（x﹣1）2﹣3D．y=2（x﹣1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2（x+1）2﹣3．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，
∴cs∠B==．
故选B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．

5．若反比例函数y=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以为（ ）
A．﹣1B．3C．0D．﹣3
【考点】反比例函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意列出不等式确定k的范围，再找出符合范围的选项．
【解答】解：根据题意k﹣1＞0，
则k＞1．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

6．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=（ ）
A．B．C．D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】根据sinA=设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanA的值．
【解答】解：由sinA=知，如果设a=3x，则c=5x，
结合a2+b2=c2得b=4x；
∴tanA===．
故选C．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．

7．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5csαB．C．5sinαD．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【专题】压轴题．
【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．
【解答】解：∵BC=5米，∠CBA=∠α．
∴AB==．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．

8．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y=的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】计算题．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后解绝对值方程即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，
∴S△AOP=|k|，
即|k|=3，
而k＜0，
∴k=﹣6．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB==13，．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴sin∠BCD=sinA==．
故选B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键．

10．如图，在等边△ABC中，AB=4，当直角三角板MPN的60°角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E．设BP=x，CE=y，那么y与x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据等边三角形的性质得BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，由于∠MPN=60°，易得∠DPB=∠PEC，根据三角形相似的判定方法得到△BPD∽△CEP，利用相似比即可得到y=x（4﹣x），配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵等边△ABC中，AB=4，BP=x，
∴BD=2，PC=4﹣x，∠B=∠C=60°，
∵∠MPN=60°，
∴∠DPB+∠EPC=120°，
∵∠EPC+∠PEC=120°，
∴∠DPB=∠PEC，
∴△BPD∽△CEP，
∴=，即=，
∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（0≤x≤4）．
故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等边三角形的性质．

二．填空题
11．已知反比例函数的图象经过A（﹣3，2），那么此反比例函数的关系式为 y=﹣ ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】设反比例函数的解析式为y=（k≠0），再把点A（﹣3，2）代入，求出k的值即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），
∵反比例函数的图象经过A（﹣3，2），
∴k=xy=（﹣3）×2=﹣6，
∴反比例函数的关系式为y=﹣．
故答案为：y=﹣．
【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟知用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤是解答此题的关键．

12．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度是1：2，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是 5 SHAPE \* MERGEFORMAT m ．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC=5m，tanA=1：2；
∴AC=BC÷tanA=10m，
∴AB==5 SHAPE \* MERGEFORMAT m．
故答案为：5 SHAPE \* MERGEFORMAT m．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．

13．若二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤3，且k≠0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2﹣4ac=36﹣4×k×3=36﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0，
故答案为：k≤3，且k≠0．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，得出b2﹣4ac的符号与x轴交点个数关系式是解题关键．

14．若把函数y=x2+6x+5化为y=（x﹣m）2+k的形式，其中m、k为常数，则k﹣m= ﹣1 ．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，比较系数，可知m、k的值，再代入k﹣m，计算即可求解．
【解答】解：y=x2+6x+5
=（x2+6x+9）﹣9+5
=（x+3）2﹣4，
所以，m=﹣3，k=﹣4，
所以，k﹣m=﹣4﹣（﹣3）=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．

15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（﹣1，m），B（2，m）．写出一组满足条件的a、b的值：a= 1 ，b= ﹣1 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，m），B（2，m）两点，把经过A（﹣1，m），B（2，m）两点代入解析式得到：a﹣b+c=m，4a+2b+c=m，所以a=﹣b，可以选定满足条件的a，b任意一组值．本题答案不唯一．
【解答】解：把A（﹣1，m），B（2，m）两点代入y=ax2+bx+c中，得
a﹣b+c=m，4a+2b+c=m，
所以b=﹣a，
由此可设a=1，b=﹣1，
故答案为1，﹣1．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，本题是一个需要熟练掌握的问题．

16．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 6或2或4 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
【解答】解：如图1：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：
当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP=BC=6；
如图3：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°﹣30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB===2；
如图4：
当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cs30°=4．
故答案为：6或2或4．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．

三．解答题：（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：2sin60°+（3.14﹣π）0﹣+（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2×+1﹣2+2
=3﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，求sinA和tanB的值．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】首先由勾股定理求出另一直角边AC的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴AC=6，
∴sinA===，
tanB==．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边．

19．已知：二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向上，并且经过原点O（0，0）．
（1）求a的值；
（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数的三种形式．
【分析】（1）根据二次函数图象开口向上判断出a＞0，再把原点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）根据配方法的操作整理成顶点式解析式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】解：（1）∵图象开口向上，
∴a＞0，
∵函数图象经过原点O（0，0），
∴a2﹣1=0，
解得a1=1，a2=﹣1（舍去），
∴a=1；
（2）y=x2﹣3x
=x2﹣3x+﹣
=（x﹣）2﹣，
故抛物线顶点坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及三种形式的转化，熟记性质并熟练掌握配方法的操作是解题的关键．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【分析】在Rt△DBC中利用三角函数即可求得CD的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长，则AD即可求得，进而求得AC的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：∵∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，
∴CD=DB•sin∠CBD=6×=4．
∴AD=CD=×4=2．
∵CB===2，
AC=AD+CD=2+4=6，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴tanA===．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

21．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
（1）求此二次函数的解析式；
（2）画出此函数图象（不用列表）．
（3）结合函数图象，当﹣4＜x≤1时，写出y的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a的值即；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）观察函数函数图象，当﹣4＜x≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为﹣5＜y≤4．
【解答】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），设y=a（x+1）2+4，
把（0，3）代入得a（0+1）2+4=3，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，
（3）当﹣4＜x≤1时，﹣5＜y≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．

22．如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，﹣m）．
（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把B的坐标代入y1=﹣x+2求得m的值，得出B（4，﹣2），再代入入y2=即可求得k的值；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵据题意，点B的坐标为（2m，﹣m）且在一次函数y1=﹣x+2的图象上，代入得﹣m=﹣2m+2．
∴m=2．
∴B点坐标为（4，﹣2），
把B（4，﹣2）代入y2=得k=4×（﹣2）=﹣8，
∴反比例函数表达式为y2=﹣；
（2）当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

23．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，求m的整数值．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）先分两种情况讨论，当m=0时方程的解为2和当m≠0时，△=b2﹣4ac=（m+1）2≥0有实数根，得出无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）根据（1）求出x的根，再根据x为整数，m为整数，求出m的值，从而求出x的值，再根据，x1≠x2，且x为正整数，即可求出m的值．
【解答】解：（1）分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x﹣2=0
∴x=2，方程有实数根；
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）=9m2﹣6m+1﹣8m2+8m=m2+2m+1
=（m+1）2≥0，
不论m为何实数，△≥0成立，
∴方程恒有实数根
综合上所述可知m取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0恒有实数根；
（2）设x1，x2为抛物线y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2与x轴交点的横坐标．
则有 x1==1﹣，
x2==2
∵x为整数，m为整数，
∴m=1，﹣1，
∴x1=0，2，
∵x1≠x2，且x为正整数，
∴m=1．
【点评】此题主要考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．

24．小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：y=﹣10x+500（20≤x≤50）．下面是他们的一次对话：
小明：“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？我就能帮你预测好多信息呢！”
爸爸：“咱家这种水果的进价是每千克20元”
聪明的你，也来解答一下小明想要解决的两个问题：
（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的表达式．
（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意可以得到w与x的函数关系式；
（2）根据题意可以将w关于x的函数关系式化为顶点式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，
即这个函数的表达式是w=﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x=35时，w取得最大值，
即销售单价为35元时，每月可获得最大利润．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

25．如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：
①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；
（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）根据题意，设计方案如图，选用的测量工具：高为1.5m的测角仪，皮尺；
（2）根据正切函数进行设计测量方法，先测得CA的大小，因为四边形ACDE是矩形；可得DE=AC，AE=CD=1.5；根据相正切函数求得BE，即AB=BE+1.5．
【解答】解：（1）测量方案示意图如图；选用的测量工具：高为1.5m的测角仪，皮尺；
（2）CA（测角仪离电线杆的距离）=a，DC测角仪的高=1.5m，∠BDE（测角仪测的仰角）=α，
根据正切函数；可得：tanα=；
因为DE=CA=a（m），AE=CD=1.5m，
即BE=tanα•a（m），
则AB=BE+AE=（tanα•a+1.5）m．
故电线杆高度为（tanα•a+1.5）米
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是 x≠1 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠1，
故答案为x≠1；
（2）令x=4，
∴y=+4=；
∴m=；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
该函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从而可求得抛物线的表达式；
（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y2=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x1=﹣1，x2=3，由抛物线的开口向下，可知当当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2；
（3）先根据题意画出点M关于y轴对称点M′的轨迹，然后根据点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，列出关于k的不等式组即可求得k的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=﹣=﹣=1．
解得：m=1．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．
（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．
将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．
解得：x1=﹣1，x2=3．
∵a=﹣1＜0，
∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．
（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：
∵当P=﹣1时，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．
∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣3）．
∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，
∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）．
①当k＜0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，
∴﹣2k﹣4≤0．
解得：k≥﹣2．
②当k＞0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，
∴k﹣4≤﹣3．
解得；k≤1．
∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想列出关于k的不等式组是解题的关键．

28．已知：如图，在四边形ABCD中，BC＜DC，∠BCD=60°，∠ADC=45°，CA平分∠BCD，AB=AD=，求四边形ABCD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】在CD上截取CF=CB，连接AF．过点A作AE⊥CD于点E，过A作AG⊥CB，交CB的延长线于G，根据全等得出S△AGB=S△AED，S△ACG=S△ACE，推出S四边形ABCD=2△ACE，证△ABC≌△AFC，推出AF=AD，求出AE=ED=2，，FE=ED=2．，求出△ACE的面积即可．
【解答】解：在CD上截取CF=CB，连接AF．过点A作AE⊥CD于点E，过A作AG⊥CB，交CB的延长线于G，
∵CA平分∠BCD，AG⊥BC，AE⊥CD，
∴AG=AE，∠G=∠AED=∠AEC=90°，
在Rt△AGB和Rt△AED中
∴Rt△AGB≌Rt△AED（HL），
∴S△AGB=S△AED，
同理S△ACG=S△ACE，
即S四边形ABCD=S△ABC+S△ACE+S△AED=S△ACE+SS△ACG=2△ACE
∵CA平分∠BCD，∠BCD=60°，
∴∠BCA=∠FCA=30°，
在△ABC和△AFC中
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，
∵AB=AD，
∴AF=AD，
在Rt△ADE中，∠D=45°，，
∴sin，
∴AE=ED=2，
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
∴tan，
∴，
∵AE⊥CD，
∴FE=ED=2．，
∴S四边形ABCD=2S△ACE=2××CE×AE
=2××2×2
=4．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，解直角三角形等知识点的应用，关键是推出四边形ABCD的面积等于2个△ACE的面积和求出△ACE的面积．

29．对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为 （1，﹣2） ；
（2）判断点A是否在抛物线L上；
（3）求n的值；
【发现】
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为 （2，0）、（﹣1，6）． ．
【应用】
二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】【尝试】
（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．
【发现】
将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
【应用1】
将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=﹣3x2+5x+2中进行验证即可．
【解答】解：【尝试】
（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．
（2）∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，
∴点A（2，0）在抛物线l上．
（3）将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：
n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．
【发现】
∵将抛物线E的解析式展开，得：
y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4
∴抛物线l必过定点（2，0）、（﹣1，6）．
【应用1】
将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．
将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，
即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，
二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．
【点评】考查了二次函数的综合知识，该题通过新定义的形式考查了二次函数等综合知识，理解新名词的含义尤为关键．最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在．

x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣
3
m
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣
﹣
﹣1
﹣
﹣
3
m
…