天津市河东区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份天津市河东区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共32分）
一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求）
1. 下列调查方式较为合适的是（ ）
A. 为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式
B. 为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式
C. 调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式
D. 调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式
2. 为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A. 总体是指这1000袋方便面B. 个体是1袋方便面
C. 样本是按抽取的20袋方便面D. 样本容量为20
3. 下列条件中，能判断平面与平面平行是
A. 内有无穷多条直线都与平行
B. 与同时平行于同一条直线
C. 与同时垂直于同一条直线
D. 与同时垂直于同一个平面
4. 在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）
A. A与C是互斥事件，也是对立事件
B. 与B是互斥事件，也是对立事件
C. 与B是互斥事件，但不是对立事件
D. A与是互斥事件，也是对立事件
5. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒
A. 平面PACB. C. D. 平面平面PBC
6. 在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法错误的是（ ）
A. 值为B. 乙组样本数据的方差为36
C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同
8. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ）

①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得截面图形始终是四边形；④平面平面.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共两大题，
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
9. 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为________
10. 对某自行车赛手在相同条件下进行了次测试，测得其最大速度（单位：m/s）数据如下：，则他的最大速度的第一四分位数是________
11. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为.估计该田径队运动员的平均身高是________cm
12. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，…，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为________
13. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
14. 在三棱锥中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为的中点，则当的面积最大时，_________.
三、解答题：（本大题5个题，共44分）
15. 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：
（1）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
（2）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租型车的概率.
16. 如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：.
17. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）由频率直方图求样本中分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．
18. 如图，在三棱锥中，，底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值.
19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．

（1）求证：平面；
（2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．河东区2023~2024学年度第二学期期末质量检测
高一数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共32分）
一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求）
1. 下列调查方式较为合适的是（ ）
A. 为了了解灯管的使用寿命，采用普查的方式
B. 为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式
C. 调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样调查的方式
D. 调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用普查的方式
【答案】B
【解析】
【分析】根据实际情况选择合适的调查方式即可判断.
【详解】对A，为了了解灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A错误；
对B，为了了解我市中学生的视力状况，采用抽样调查的方式，故B正确；
对C，调查一万张面值为100元的人民币中有无假币，采用抽样普查的方式，故C错误；
对D，调查当今中学生喜欢什么体育活动，采用抽样普查的方式，故D错误.
故选：B.
2. 为确保食品安全，某市质检部门检查1000袋方便面的质量，抽查总量的.在这个问题中，下列说法正确的是（ ）
A. 总体是指这1000袋方便面B. 个体是1袋方便面
C. 样本是按抽取的20袋方便面D. 样本容量为20
【答案】D
【解析】
【分析】根据总体，个体，样本，样本的定义逐一判断即可得解.
【详解】对于A，总体是指这1000袋方便面的质量，故A错误；
对于B，个体是指1袋方便面的质量，故B错误；
对于C，样本是指按照抽取的20袋方便面的质量，故C错误；
对于D，样本容量为，故D正确.
故选：D.
3. 下列条件中，能判断平面与平面平行的是
A 内有无穷多条直线都与平行
B. 与同时平行于同一条直线
C. 与同时垂直于同一条直线
D. 与同时垂直于同一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】利用面面平行的判定直接判断即可．
【详解】解：对于，若内有无穷多条平行直线与平行，则不能说明平行；
对于，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；
对于，垂直于同一条直线的两平面平行；
对于，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．
综上，选项正确．
故选：．
【点睛】本题考查空间中面面平行的判定，考查空间直线、平面间的位置关系，属于基础题．
4. 在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）
A. A与C是互斥事件，也是对立事件
B. 与B是互斥事件，也是对立事件
C. 与B是互斥事件，但不是对立事件
D. A与是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据互斥与对立事件的意义逐个辨析即可.
【详解】由于A,B,C彼此互斥,且是必然事件,所以A与C是互斥事件,但不是对立事件,A错误；与B可以同时发生,不是互斥事件,也不是对立事件,B错误；任何一个事件与其余两个事件的和事件必然是对立事件,故C错误,D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型.
5. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒
A. 平面PACB. C. D. 平面平面PBC
【答案】C
【解析】
【分析】结合空间中点、线、面的位置关系，对选项逐个分析判断即可.
【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，
又由圆的性质可知，且，平面，
则平面，所以A正确；
对于B，由A可知平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正确；
对于C，假设成立，由平面，且平面，所以，而，且平面，所以平面，由A可知平面，所以，显然不成立，故假设错误，即C不正确；
对于D，由B可知，平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确.
故选：C.
【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生的推理能力与空间想象能力，属于中档题.
6. 在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角正切值，在中进行计算即可.
【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.
故选:C.
【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：
几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.
向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
7. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法错误的是（ ）
A. 的值为B. 乙组样本数据的方差为36
C. 两组样本数据的样本中位数一定相同D. 两组样本数据的样本极差不同
【答案】C
【解析】
【分析】结合平均数公式、方差公式、中位数和极差的定义，逐个选项判断即可.
【详解】甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，
又乙组样本数据，，，的平均数为4，
，解得，故A正确，
乙组样本数据方差为，故B正确，
设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，
两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误，
甲组数据的极差为，则乙组数据的极差为，
两组样本数据的样本极差不同，故D正确．
故选：C．
8. 如图，正方体中，点E、F、G、H分别为棱的中点，点M为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ）

①AM与 异面；②平面AEM；③平面AEM截正方体所得的截面图形始终是四边形；④平面平面.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体的几何性质逐项分析.
【详解】对于①，连接，四边形是平行四边形，
平面，平面，平面，
平面，又，所以与AM是异面直线，正确；

对于②，连接EH，则四边形是平行四边形，，
又平面AEM，平面AEM，平面AEM，正确；

对于③，取的中点T，当M与T重合时，连接，则有四点共面，
即平面AEM截正方体的图形是四边形，如下图：

当M点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于U，交于V，连接UM，
四点共面，平面，，
即平面AEM截正方体的图形是五边形，如下图：

错误；
对于④，在正方形ABCD内，
所以，又平面ABCD，平面ABCD，
，平面，平面，
平面AEM，平面平面，正确；
故选：C.
【点睛】难点点睛：本题的难点在于当M点移动时，平面AEM与正方体的交面需要在平面内寻找到与直线EM平行的直线AV，从而确定交面的形状.
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共两大题，
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
9. 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计.将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.则这400名学生视力的众数为________
【答案】##
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中众数的求法求解即可.
【详解】由图可知，众数为.
故答案为：.
10. 对某自行车赛手在相同条件下进行了次测试，测得其最大速度（单位：m/s）的数据如下：，则他的最大速度的第一四分位数是________
【答案】##
【解析】
【分析】利用第一四分位数的定义求解即可.
【详解】首先，我们把这些数字从小到大排列，
可得次测试的速度应为，
且第一四分位数即为第百分位数，由可得，
第百分位数即为第三项和第四项的平均数，则该数为.
故答案为：
11. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为.估计该田径队运动员的平均身高是________cm
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数的求法求得该田径队运动员的平均身高
【详解】依题意，估计该田径队运动员的平均身高为
.
故答案为：.
12. 某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照，，…，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为________
【答案】
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中平均数的求法求解即可.
【详解】由题意，，解得，
平均数为.
故答案为：.
13. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
【答案】答案表述不唯一)
【解析】
【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论.
【详解】连接交于O，连接OE，
平面平面，平面平面 ，
.
又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，
故为的中点, 为的中点，
故当满足条件: 时，面.
故答案为: 答案表述不唯一)
14. 在三棱锥中，平面，是等腰直角三角形，，，，垂足为H，D为的中点，则当的面积最大时，_________.
【答案】
【解析】
【分析】由线面垂直的判定和性质定理可得，结合基本不等式确定面积取得最大值时，设，由等面积法解得，即可得出答案．
【详解】因为平面，面，所以，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，又面，所以，，
连接CD, 是等腰直角三角形,易知，，
则，当且仅当等号成立，
此时取得最大值，设，
则在中，，
由等面积，即，解得
故答案为：．
三、解答题：（本大题5个题，共44分）
15. 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：
（1）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
（2）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租型车的概率.
【答案】（1）2，3；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用各年级的比例，抽样即可；（2）列举出基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，
高二学生的人数为:；
【小问2详解】
记抽取的2名高一学生为，3名高二的学生为，
则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：，(a2,b1), (a2,b2),
(a2,b3), (b1,b2), (b1,b3), (b2,b3)，共10种可能；
其中至少有1人在市场体验过程中租型车的有：，共9种，
故所求的概率
16. 如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.
【小问1详解】
设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
17. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）由频率直方图求样本中分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差．
【答案】（1）72.5
（2）20人 （3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图数据求解；
（2）由频率分布直方图数据求解；
（3）由总样本的均值与方差的公式计算求解即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图，设分数中位数为，则有，解得，
所以分数的中位数为72.5；
【小问2详解】
由频率分布直方图知，分数在的频率为，
在样本中分数在的人数为（人），
在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为20人；
【小问3详解】
总样本的均值为，
所以总样本的方差为．
18. 如图，在三棱锥中，，底面.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，是的中点，求与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）在平面内，过点作，连接，证明出平面，可得出与平面所成角为，计算出的边、的长，由此可计算出与平面所成角的正切值.
【详解】（1）证明：在三棱锥中，底面，平面， ，
又，即，，平面，
平面，因此，平面平面.
（2）解：在平面内，过点作，连接，
平面，平面，，
，，平面，
是直线与平面所成的角.
平面，平面，，
在中，，，
，为的中点，且，
又是的中点，在中，，
平面，平面，，
在中，.
【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了线面角的正切值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD中点．

（1）求证：平面；
（2）求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；
（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.
【小问1详解】
因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点，
所以，
因为，面面，面面，面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
取的中点，的中点，连接，
则且，，
故，
因为面面，面面，面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为；
【小问3详解】
当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.