河南省信阳市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(Word版附解析)
展开本试卷共4页,19题,满分150分,考试时间120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知,是平面,,是直线,下列命题中不正确的是( )
A. 若,,则
B. 若,,则
C. 若,,则
D. 若,,则
3. 已知向量,,若与共线且反向,则实数值为( )
A. 4B. 2C. D. 或4
4. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次,命中环数频率分布条形图如下.设甲、乙命中环数的众数分别为,,方差分别为,,则( )
A. ,B. ,
C. ,D. ,
5. 已知函数的部分图象如图所示,若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 已知,,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
7. 已知正三棱台的体积为,,,则与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B. 1C. 2D. 3
8. 已知边长为2的菱形中,点为上一动点,点满足,,则的最大值为( )
A. 0B. C. D. 3
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 一个平面截正方体所得的截面图形可以是( )
A. 等边三角形B. 正方形C. 梯形D. 正五边形
10. 若,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 在锐角中,设,,分别表示角,,对边,,,则下列选项正确有( )
A.
B. 的取值范围是
C. 当时的外接圆半径为
D. 若当变化时,存在最大值,则正数的取值范围为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
12. 若函数在上为严格增函数,则实数的取值范围是______.
13. 已知函数是偶函数,对任意,均有,当时,,则函数零点有__________个.
14. 已知正方体的棱长均为2.以中点为球心,为半径的球面与侧面的交线长为________________.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 已知.
(1)求与的夹角;
(2)若在方向上的投影向量为,求的值.
16. 在中,内角的对边分别为的面积为S,已知,且.
(1)求;
(2)求的取值范围.
17. 为迎接冬季长跑比赛,重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识测试,统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计,测试满分为100分,统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内,并制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100名学生的平均成绩;
(2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26,在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106,据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差.
18. 已知函数,求:
(1)的最小正周期及最大值;
(2)若且,求的值;
(3)若,在有两个不等的实数根,求的取值范围.
19. 在直角梯形ABCD中,,(如图1),把△ABD沿BD翻折,使得平面BCD,连接AC,M,N分别是BD和BC中点(如图2).
(1)证明:平面平面AMN;
(2)记二面角A—BC—D的平面角为θ,当平面BCD⊥平面ABD时,求tanθ的值;
(3)若P、Q分别为线段AB与DN上一点,使得(如图3),令PQ与BD和AN所成的角分别为和,求的取值范围.
2023-2024学年普通高中高一(下)期末教学质量检测
数学试题
本试卷共4页,19题,满分150分,考试时间120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】对复数进行分母实数化,根据复数的几何意义可得结果.
【详解】,
复数在复平面内对应的点的坐标是,位于第四象限.
故选:D
2. 已知,是平面,,是直线,下列命题中不正确的是( )
A. 若,,则
B. 若,,则
C. 若,,则
D. 若,,则
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】对于A:若,,则或与异面,故A错误;
对于B:两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,
故若,,则,故B正确;
对于C:垂直于同一条直线的两个平面互相平行,
故若,,则,故C正确;
对于D:根据面面垂直的判断定理可知,若,,则,故D正确;
故选:A
3. 已知向量,,若与共线且反向,则实数的值为( )
A. 4B. 2C. D. 或4
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示求出,再结合反向共线即可得解.
【详解】由向量,共线,得,解得或,
当时,,,与同向,不符合题意,
当时,,,与反向,符合题意,
所以实数的值为4.
故选:A
4. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次,命中环数的频率分布条形图如下.设甲、乙命中环数的众数分别为,,方差分别为,,则( )
A. ,B. ,
C. ,D. ,
【答案】A
【解析】
【分析】观察给定图表,利用众数的意义运动员命中环数的集中与分散程度判断即可.
【详解】根据图表知,甲、乙命中环数的众数均为7环,则;
甲运动员命中的环数比较分散,乙运动员命中的环数比较集中,则.
故选:A
5. 已知函数的部分图象如图所示,若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的图象特征,结合五点法作图列式求出和,再根据图象的平移变换,以及图象的对称性即可得解.
【详解】由,得,又点及附近点从左到右是上升的,则,
由,点及附近点从左到右是下降的,且上升、下降的两段图象相邻,得,
联立解得,,而,于是,,
若将函数的图像向右平移个单位后,得到,
则,而,因此,
所以当时,取得最小值为.
故选:A
6. 已知,,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和的余弦展开式化简可得的值,再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答案.
【详解】由,
得,
因为,,所以,且,
,
当且仅当取等号.
故选:C.
7. 已知正三棱台的体积为,,,则与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】解法一:根据台体的体积公式可得三棱台的高,做辅助线,结合正三棱台的结构特征求得,进而根据线面夹角的定义分析求解;解法二:将正三棱台补成正三棱锥,与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角,根据比例关系可得,进而可求正三棱锥的高,即可得结果.
【详解】解法一:分别取的中点,则,
可知,
设正三棱台的为,
则,解得,
如图,分别过作底面垂线,垂足为,设,
则,,
可得,
结合等腰梯形可得,
即,解得,
所以与平面ABC所成角的正切值为;
解法二:将正三棱台补成正三棱锥,
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角,
因为,则,
可知,则,
设正三棱锥的高为,则,解得,
取底面ABC的中心为,则底面ABC,且,
所以与平面ABC所成角的正切值.
故选:B.
8. 已知边长为2的菱形中,点为上一动点,点满足,,则的最大值为( )
A. 0B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设,求得,得到,以与交点为原点,建立平面直角坐标系,设,求得,进而求得的最大值为.
【详解】由,可得,
设,
可得
,所以,
因为,所以,
以与交点为原点,以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,
设,且,则,,,
当时,.
故选:D.
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 一个平面截正方体所得的截面图形可以是( )
A. 等边三角形B. 正方形C. 梯形D. 正五边形
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合截面图形的性质逐项判断即可.
【详解】对于A,截面是正三角形,如图甲所示,故A正确;
对于B,截面可能是正方形,如图乙所示,故B正确;
对于C,截面可能为梯形,如图丙所示,故C正确;
对于D,截面有可能是五边形,如图丁所示,但截面五边形必有两组分别平行的边,同时有两个角相等,截面五边形不可能是正五边形,故D错误;
故选:ABC.
10. 若,,则下列结论正确是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知可得,由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C; 由不等式的性质可判断D.
【详解】对于A:∵,幂函数在上单调递增,
且,∴,故选项A错误;
对于B:∵,∴函数在上单调递减,
又∵,∴,
∴,即,故B正确;
对于选项C:∵,则,幂函数在上单调递减,
且,∴,∴,故选项C正确;
对于选项D:由选项B可知:,∴,
∵,
∴,∴,故D错误.
故选:BC.
11. 在锐角中,设,,分别表示角,,对边,,,则下列选项正确的有( )
A.
B. 的取值范围是
C. 当时的外接圆半径为
D. 若当变化时,存在最大值,则正数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由对进行化简得,在利用正弦定理可以推出;再由为锐角三角形化简出的取值范围,且根据正弦定理化简出可判断出的取值范围;同样根据,加上,求出,再利用正弦定理即可求出的外接圆半径;由的取值范围,且对进行化简得,且,当取到最大值时转化成求出的取值范围.
【详解】对于A:,且,即,
由正弦定理得:,
即,
或(舍去),
,故A正确;
对于B:由正弦定理,
则,
锐角三角形,则,即,
,所以,故B不正确;
对于C:且,
,所以,
由正弦定理,求得,即的外接圆半径为;故C正确;
对于D:
,且,
,即;
要使得有最大值,即有最大值,
此时,当有最大值时,即时,
有最大值为,此时,
,又,
,,
∴的取值范围为,故D正确.
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛:本题B选项的关键是利用正弦定理得到,再求出角的范围即可判断;D选项的关键是充分利用辅助角公式得到其范围.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
12. 若函数在上为严格增函数,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切型函数的单调性可得,即可求解.
【详解】在上为严格增函数,则,
由于,则,故,
因此,解得,
故答案为:
13. 已知函数是偶函数,对任意,均有,当时,,则函数的零点有__________个.
【答案】4
【解析】
【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解.
【详解】函数是偶函数,说明函数的图象关于轴对称,说明的周期是2,
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象,如图所示:
如图所示,共有4个不同的交点,即有4个零点.
故答案为:4.
14. 已知正方体的棱长均为2.以中点为球心,为半径的球面与侧面的交线长为________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,由条件可得球与侧面的交线为一段圆弧,即可得到结果.
【详解】
取中点,中点,中点,中点,
由题意可得,,,
在平面内取一点,使得,则,
且,所以以中点为球心,为半径的球面与侧面的交线
是以为圆心,为半径的圆弧,且,则,则圆弧的长为.
故答案为:.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 已知.
(1)求与的夹角;
(2)若在方向上的投影向量为,求的值.
【答案】(1)
(2)10
【解析】
【分析】(1)根据数量积的运算和性质计算可得;
(2)先求投影向量,然后利用数量积有关性质计算即可.
【小问1详解】
,
,即,
,,
.
【小问2详解】
,
.
16. 在中,内角的对边分别为的面积为S,已知,且.
(1)求;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】(1)利用三角形面积公式及余弦定理计算可得,再根据弦化切计算即可;
(2)利用正弦定理结合(1)化简得,再结合角的范围及三角函数的性质计算即可.
【小问1详解】
因为,所以,
在中,由余弦定理,得,
因为,所以,
所以,所以,因为,所以.
【小问2详解】
在中,由正弦定理,得,
所以
因为,所以,所以,
所以,即的取值范围为.
17. 为迎接冬季长跑比赛,重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试,统计人员从高二学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计,测试满分为100分,统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内,并制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这100名学生的平均成绩;
(2)若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26,在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106,据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差.
【答案】(1)69.5分
(2)平均数80,方差112
【解析】
【分析】(1)根据频率分布直方图直接求平均数即可;
(2)利用平均数和方差公式直接计算求解即可.
【小问1详解】
由图表可知,这100名学生的平均成绩为分
【小问2详解】
在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为74和26,
区间的学生频率为,
在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为89和106,
区间的学生频率为,
所以在内的所有学生测试成绩的平均数为,
方差为
18. 已知函数,求:
(1)的最小正周期及最大值;
(2)若且,求的值;
(3)若,在有两个不等的实数根,求的取值范围.
【答案】(1)函数的最小正周期为,最大值为;(2);(3).
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期,利用正弦函数的有界性可求得函数的最大值;
(2)求出的取值范围,由可得出,可得出,进而可求得角的值;
(3)令,由可求得,由可得出,问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点,数形结合可得出关于实数的不等式,由此可解得实数的取值范围.
【详解】(1),
所以,函数的最小正周期为,最大值为;
(2),则,
,可得,,解得;
(3)当时,,令,则.
由可得,即,即,
所以,直线与曲线在上的图象有两个交点,如下图所示:
由上图可知,当时,即当时,
直线与曲线在上的图象有两个交点,
因此,实数的取值范围是.
【点睛】通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是,选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.
19. 在直角梯形ABCD中,,(如图1),把△ABD沿BD翻折,使得平面BCD,连接AC,M,N分别是BD和BC中点(如图2).
(1)证明:平面平面AMN;
(2)记二面角A—BC—D平面角为θ,当平面BCD⊥平面ABD时,求tanθ的值;
(3)若P、Q分别为线段AB与DN上一点,使得(如图3),令PQ与BD和AN所成的角分别为和,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)利用垂足关系和平行关系,转化为证明平面;
(2)首先利用的垂线,利用垂线构造二面角的平面角,再根据几何关系求解的值;
(3)利用垂足关系和平行关系,得到,即可化简,并求取值范围.
【小问1详解】
因为,且点是的中点,
所以,
因为是等腰直角三角形,,,,
则,
则,得,
因为点分别是的中点,所以,即,
,且平面,
所以平面,且平面,
所以平面平面;
【小问2详解】
因平面平面,且平面平面,
因为,所以平面,
取的中点,连结,
因为,则,,
所以,
所以为二面角的平面角,
;
【小问3详解】
在线段取点,使得,
从而易得且,,,
另一方面,,,从而,
所以,,,平面,
所以平面,平面,
所以,
因为,,
所以,
从而,
则.
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