2024届高考一轮复习收官检测卷 文科数学（全国卷）(含答案)

这是一份2024届高考一轮复习收官检测卷 文科数学（全国卷）(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．设复数z满足，则( )
A.B.C.D.
3．函数的大致图象为( )
A.B.
C.D.
4．已知向量a，b满足，，，则( )
A.B.C.D.
5．工厂为了了解某车间的生产效率，对该车间200名工人上月生产的产品数量（单位：件）进行抽样调查，整理得到如图的频率分布直方图，则下列估计正确的为( )
①该车间工人上月产量的极差恰好为50件；
②该车间约有120名工人上月产量低于65件；
③该车间工人上月产量的平均数低于64件；
④该车间工人上月产量的中位数低于63件.
A.①③B.①④C.②③D.②④
6．已知正实数a，b满足，若不等式对任意正实数a，b以及任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．执行如图的程序框图，则输出的结果为( )
A.4B.5C.6D.7
8．已知为等比数列，为数列的前n项和，，则的值为( )
A.3B.18C.54D.152
9．如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，，给出下列结论.
①AB与是相交直线；
②平面；
③平面平面；
④平面，
其中正确的结论是( )
A.①②B.③④C.②③D.②④
10．已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点P在C上且位于第一象限，于点Q，过点P作QF的平行线交x轴于点R，若，且四边形PQKR的面积为，则直线QR的方程为( )
A.B.
C.D.
11．已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
12．在体积为32的棱锥中，底面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知是等差数列，是其前n项和，，，则的值为__________.
14．某中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为__________.
15．已知圆，若圆C与y轴交于M，N两点，且，则__________.
16．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________.
三、解答题
17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
18．如图，四棱锥中，底面，，，E，F分别为PC，DC的中点，.
（1）证明：平面平面EBF；
（2）求三棱锥的体积.
19．为了改善小学生在校午休的质量，让小学生的午休从“趴睡”变“躺睡”，应市场需求，某公司推出了一款午休课桌椅，为小学生提供舒适角度定位.这款午休课桌椅的靠背调节器和脚托的操作小学生都可以独立完成，使用起来非常方便.这款午休课桌椅上市后好评不断，该公司销售部给出了2022年9月至2023年3月该款午休课桌椅的销售数据，记2022年9月至2023年3月的代码分别为1，2，…，7，其销售数据如下表所示：
并计算得之，，.
（1）用相关系数r说明y与x之间线性相关性的强弱；（若，则认为相关性较强）
（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年6月该款午休课桌椅的销量.
附：相关系数，，
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
20．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，且，证明：.
21．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积的最大值为，已知椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若从椭圆C的中心O出发的两束光线OM，ON，分别穿过椭圆上的A，B两点后射到直线上的M，N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请说明理由.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的半径为3，圆心.
（1）写出l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）若A，B分别为C和l上的动点，且直线AB和l的夹角为，求的取值范围.
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知正数a，b，c满足.
（1）求abc的最大值；
（2）证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：，又，所以，故选C.
2．答案：D
解析：依题意，.故选D.
3．答案：A
解析：由题意得的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D，又，排除选项C，故选A.
4．答案：D
解析：由题可得①，②，①②两式联立得，，，而，.故选D.
5．答案：D
解析：由频率分布直方图可知，该车间工人上月产量的极差大约为50件，故①不正确；
上月产量低于65件的频率为，所以，即该车间约有120名工人上月产量低于65件，故②正确；
因为（件），所以该车间工人上月产量的平均数为64件，故③不正确；
设该车间工人上月产量的中位数为x件，则，解得，所以④正确.故选D.
6．答案：C
解析：由题意得.由基本不等式，得，当且仅当，即，时等号成立.又，所以，则，因此实数m的取值范围是.故选C.
7．答案：B
解析：按以下步骤运行循环：第一次：，，不满足，；第二次：，，不满足，；第三次：，，不满足，；第四次：，，不满足，；第五次：，，满足，退出循环，输出，故选B.
8．答案：C
解析：因为，所以当时，，两式相减得，即，所以数列是公比的等比数列.当时，，又，所以，解得，所以，故选C.
9．答案：D
解析：对于①，在直三棱柱中，根据异面直线的定义知AB与是异面直线，所以①错误；
对于②，的中点为D，且O是与的交点，所以O是的中点，连接OD，则，因为平面，平面，所以平面，所以②正确；
对于③，因为平面，所以平面AOD与平面相交，所以③错误；
对于④，因为在直三棱柱中，，所以四边形是正方形，平面，因为平面，所以，又，，所以平面，所以④正确，故选D.
10．答案：D
解析：如图，因为，，所以四边形PQFR为平行四边形.又因为，所以四边形PQFR为菱形，所以.由抛物线的定义知，则，即与均为正三角形，设，则在中，，即，即.因为四边形PQKR的面积为，所以，解得，则，又直线QR的斜率，所以直线QR的方程为，即，故选D.
11．答案：A
解析：由题知.因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即，所以，得，所以，易知当时，单调递增，即在上单调递增，又在区间上单调递增，所以，所以，即的取值范围为.故选A.
12．答案：D
解析：由已知条件，得是等腰直角三角形.又，所以，所以三棱锥的体积，解得.因为，所以.又底面，底面ABC，所以.又，所以平面PAC.因为平面PAC，所以，所以，故三棱锥外接球的球心O为PB的中点.连接OA，由底面，底面ABC，得.由，易得外接球的半径，所以该三棱锥外接球的表面积.故选D.
13．答案：168
解析：数列是等差数列，设其公差为d.由已知可得，，则，所以，即.
14．答案：
解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，从中任选2人，有，，，，，，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为.
15．答案：2
解析：因为圆的圆心，半径为r，所以圆心到y轴的距离为1.因为圆C与y轴交于M，N两点，且，，所以.由垂径定理，得，即，解得.
16．答案：
解析：可化为，令，设，，则，设，令，可得的单调递增区间为，由在上单调递增可知，，则，解得.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在中，由余弦定理及，
得，得.
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，即.
因为A，B，C是三角形的内角，
（2）由（1）可得，因为，所以，
所以，，
，
由正弦定理得，，所以，
所以的面积.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由已知F为CD的中点，且，所以，
因为，所以，
所以四边形ABFD为平行四边形，所以，
又因为平面，平面PAD，
所以平面PAD，
在中，因为E，F分别为PC，CD的中点，所以，
因为平面，平面PAD，所以平面PAD，
因为，
所以平面平面EBF.
（2）由已知E为PC中点，，
又因为，
所以，
因为，，
所以三棱锥的体积.
19．答案：（1）y与x的线性相关性较强
（2）52.58万套
解析：（1）由题意知
.
所以y与x的线性相关性较强.
（2）由表格数据，得，
，
则，
所以，
所以y关于x的回归方程为.
由题意知，将2023年6月所对应的代码代入回归方程，
得，
所以预测2023年6月该款午休课桌椅的销量为52.58万套.
20．答案：（1）在上单调递减；在上单调递增
（2）证明见解析
解析：（1）易知函数的定义域是R，，
①若，则，所以在R上单调递增；
②若，令，解得，
当时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增.
（2）因为，是函数的两个零点，所以.
令，则.
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
且时，，，
所以，.
首先证明，即证，
只需证（，且在上单调递减）.
设，
则，当时，，
所以在上单调递增，
所以，
故，得证.
其次证明.
由于，故只需证，
即证.
由，得，，
所以，得证.
故.
即.
21．答案：（1）
（2）直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为
解析：（1）由题意设椭圆方程为，
则，，.
又，所以，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）设直线AB的方程为.
联立得，
消去y并整理，得，
则.
设，，则，.
由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN必相交于y轴上的定点.
由，得，
则直线BM的方程为.
令，则
.
又，
则，
所以直线BM过定点，
同理直线AN也过定点.
故直线BM与直线AN能交于一定点，且该定点为.
22．答案：（1）直线l的普通方程为；圆C的直角坐标方程为
（2）
解析：（1）消去参数t，可得直线l的普通方程为.
由可得圆心的直角坐标为，
又圆C的半径为3，
所以圆C的直角坐标方程为.
（2）设点A到直线l的距离为d，
因为直线AB和l的夹角为，所以.
又圆心C到直线l的距离，且圆C的半径为3，
故，，
，
所以的取值范围是.
23．答案：（1）1
（2）证明见解析
解析：（1），当且仅当时取得等号.
又，所以，
故当且仅当时，abc取得最大值1.
（2）要证，需证.
因为
，
所以，当且仅当即时取等号，
故.
月份代码x
1
2
3
4
5
6
7
销量y（万套）
21
25
28
34
36
39
41