安徽省阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽省阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数（i是虚数单位），则( )
A.B.C.D.
3．已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为( )
A.2B.C.D.
4．已知函数，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
5．“”是“直线被圆截得的弦长为4”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.即不充分也不必要条件
6．已知正实数x，y满足，则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，，，则此球的表面积等于( )
A.B.C.D.
8．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是( )
A.36B.42C.72D.84
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列命题正确的有( )
A.若，则B.若，则
C.D.的最大值为3
10．已知在棱长为2的正方体中，M，N，P，Q分别是，，，的中点，点E为正方形内（包括边界）的动点，则下列说法中正确的是( )
A.平面
B.平面平面
C.三棱锥的体积为
D.若点E到直线与到直线的距离相等，则点E的轨迹为圆的一部分
11．已知函数及其导函数，若，，，则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析，且，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为________.
13．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则________.
14．已知椭圆的左､右焦点分别是，，A，B是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆C于点P，若，则椭圆C的离心率为________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值.
16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，E为的中点，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
17．过抛物线焦点F的直线l交C于A，B两点，特别地，当直线l的倾斜角为时，.
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点，若，求的面积（O为坐标原点）.
18．某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y，求使事件“”的概率最大时k的取值.
参考公式及数据：，其中.
19．如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”.
（1）若等比数列的前n项和为，且公比，，，求证：数列具有“性质P”；
（2）若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质P”，当且仅当；
（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质P”，且，，，四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，，则，
故选：B.
2．答案：A
解析：由已知有，故.
故选：A.
3．答案：C
解析：根据双曲线的几何性质可知，左焦点，
其到渐近线的距离为，
因为，所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：由于的定义域为R，且，故是偶函数.
而对，有，故.
所以在上递增.
从而不等式等价于，即.
此即，即，解得.
故选：D.
5．答案：A
解析：要使直线被圆截得的弦长为4，
当且仅当圆心到直线l的距离.
此即，即，即或，即或.
显然，“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
7．答案：B
解析：如图底面三角形的外心是，，
在中，，
可得，
由正弦定理可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为O，在中，
易得球半径，
故此球的表面积为
故选：B.
8．答案：C
解析：若和在上单调递减，在上单调递减增，则，，，此时有序数对的个数有：个；
若和在上单调递减，在上单调递增，
则，，，此时有序数对的个数有：个；
若和在上单调递减，在上单调递增，
则，，，此时有序数对的个数有：个；
若、和在上单调递减，
则，，，此时有序数对的个数有：个；
综上所述：共有个.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：A.，故，选项正确，符合题意；
B.当，则，有，故，选项正确，符合题意；
C.，则，选项错误，不符合题意；
D.，
当时，的最大值为3，选项正确，符合题意；
故选：ABD.
10．答案：AB
解析：
对于A，在棱长为2的正方体中，M，N，P，Q分别是，，，的中点，
，，平面，平面，所以平面，A正确；
对于B，在正方形中，，又，所以，
在正方体中，平面，，，因为，所以，
又因为，是平面内两条相交直线，所以平面
因为平面，因此平面平面，B正确；
对于C，连接，，，，则三棱锥的体积为
，C错误；
对于D，点E为正方形内（包括边界）的动点，点E到直线与到直线的距离相等，转化为当点E到B的距离与点E到直线的距离相等，则点E的轨迹是抛物线的一部分，D错误；
故选：AB.
11．答案：AC
解析：由，取，即得，故A正确；
又由，可得，即，则有，
将其两边求导得，，把代入可得，（*），
即，从而，即函数为周期函数，周期为4.
又由可得，关于直线对称，由（*）可得，，即得，
又，即得，，于是，即B错误；
因，故，即C正确；
对于D，由无从求得的具体函数值，故得不到，即D错误.
故选：AC.
12．答案：840
解析：，且，
，
估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为.
故答案为：840.
13．答案：4
解析：，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
则.
是偶函数，则，解得，
因为，则，即，
因为，则，
因为在上恰有4个零点，
则，解得，
则，，结合，则，因为，
则时，.
故答案为：4.
14．答案：/
解析：设，则由题意可得，，，
所以，
在中，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为，所以，
所以，解得，
所以离心率.
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）极小值，极大值
解析：（1）由，得.
从而，.
故曲线在处的切线经过点，且斜率为，从而方程为，即.
（2）由于对有，对有，
故在和上递减，在上递增.
所以的所有极值为：极小值，极大值.
16．答案：（1）证明过程见解析；
（2）
解析：（1）因为为等边三角形，E为的中点，所以，
又因为底面为矩形，，，所以，
又因为，所以，
因为E为的中点，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，平面，
所以，又因为，所以，
因为为等边三角形，，所以，
又因为，所以，
过点E作交于点F，
因为，所以，
又因为，平面，平面，平面平面，
所以就是二面角的平面角，
因为点E是中点，，
所以点F是中点，，
因为，，，
所以，
因为在三角形中，，，
所以，
在三角形中，，，，
从而由余弦定理有，，即，
在三角形中，，，，
从而由余弦定理有，，
所以，
所以二面角的正弦值为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）抛物线焦点F的坐标为，
当直线l的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程，
化简并整理得，，显然，
设，，则，，
则
，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）设，，
显然直线l的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程，
化简并整理得，显然，
所以，，
又，所以，，
因为，
所以
，
所以，则，
设的面积为S，
则，
所以的面积为.
18．答案：（1）依据的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联；
（2）分布列见解析，数学期望为；
（3）875
解析：（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；
则，
故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，
因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，
合格产品有件，不合格产品有2件，
而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X的可能值有1，2，3.
则，，.
故X的分布列为：
则；
（3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为，故，
则，，
由，
故由可解得，
因，故当时，单调递增；
由可解得，即当时，单调递减.
故当事件“”的概率最大时，.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3），
解析：（1），，
解得：，则，即
且，，，，
若，则，
则当，对任意正整数，都存在正整数k使得
则等比数列满足性质P.
（2）因为数列具有“性质P”，
则
若数列具有性质P，则，
则，
又，则
则，
，
则，
又则当时上式成立，
当时.，
则，
因为，则时，则则.，则，则.
反之，若，则，则上面各式成立，则数列具有“性质P”
综上数列具有“性质P”，当且仅当.
（3）从，，，这四个数中任选两个，共有以下6种情况：，；，；
，;，;，;，.
①对于，因为为正整数，可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1.
下面说明此数列具有性质P：
，，任取，，则，
为正整数，因此此数列具有性质P，
②对于，.因为为正整数，认为是等比数列中的项，，
首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质P：
，，若不为等比数列中的项，
因此此数列不具有性质P，
同理可得，；，；，；，
每组所在等比数列不具有“性质P’’
产品
合格
不合格
合计
调试前
45
15
60
调试后
35
5
40
合计
80
20
100
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
X
1
2
3
P