甘肃省白银市部分学校2024届高三上学期阶段检测数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省白银市部分学校2024届高三上学期阶段检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．的虚部为( )
A.1B.iC.3D.3i
2．若集合,,则( )
A.B.C.D.
3．圆的圆心在抛物线上,则该抛物线的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
4．2020年11月1日零时广西14个地区人口的男,女性别比如下表所示:
根据表中数据可知,这14个数据的第60百分位数对应的地区是( )
A.柳州市B.玉林市C.北海市D.南宁市
5．若,则的展开式中的系数的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．定义矩阵运算,则( )
A.B.C.D.
7．若某圆台上底面和下底面的半径分别为1,3,且圆台的体积为,则该圆台的母线与底面所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
8．若函数在内恰好存在8个,使得,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,,,则( )
A.B.
C.D.在上的投影向量为
10．若某正方体的棱长为,则( )
A.该正方体的体积为5
B.该正方体的内切球的体积为
C.该正方体的表面积为30
D.该正方体的外接球的表面积为
11．山东东阿盛产阿胶,阿胶与人参,鹿茸并称“中药三宝”.阿胶的主要原料是驴皮,配以冰糖,绍酒,豆油等十几种辅料,用东阿特有的含多种矿物质的井水,采取传统的制作工艺熬制而成.已知每盒某阿胶产品的质量M（单位:g）服从正态分布,且,( ).
A.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量大于249g的概率为0.75
B.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则这盒阿胶产品的质量在251g~253g内的概率为0.15
C.若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量大于253g的盒数的方差为47.5
D.若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量在251g~253g内的盒数的数学期望为200
12．已知实数a,b,c满足,且,则下列结论正确的是( )
A.
B.若,则的最小值为
C.的最大值为
D.若,则c的最小值为
三、填空题
13．若是奇函数.且,则________.
14．在数列中,,,若,,成等差数列,,,成等比数列,则________.
15．若曲线在处的切线的斜率为3,则该切线在x轴上的截距为________.
16．已知椭圆C:的左,右焦点分别为,,过点且倾斜角为的直线l与C交于A,B两点.若的面积是面积的2倍,则C的离心率为________.
四、解答题
17．山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上,渤海五路以西,南环路以北.整个黄河楼颜色质感为灰红,意味黄河楼气势恢宏,更在气势上体现黄河的宏壮.如图,小张为了测量黄河楼的实际高度AB,选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得,,,在点D处测得黄河楼顶A的仰角为,求黄河楼的实际高度（结果精确到0.1m,取）.
18．已知数列,满足,,.
（1）求的通项公式;
（2）求的前n项和.
19．某工厂的工人生产内径为28.50mm的一种零件,为了了解零件的生产质量,在某次抽检中,从该厂的1000个零件中抽出60个,测得其内径尺寸（单位:mm）如下:
这里用表示有n个尺寸为xmm的零件,p,q均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个,则这个零件的内径尺寸小于28.49mm的概率为.
（1）求p,q的值.
（2）已知这60个零件内径尺寸的平均数为mm,标准差为smm,且,在某次抽检中,若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在内,则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件是否合格?说明你的理由.
20．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是菱形,是正三角形,,E是AB的中点.
（1）证明:.
（2）求二面角的余弦值.
21．已知双曲线过点和点.
（1）求双曲线的方程.
（2）过的直线与双曲线交于P,Q两点,过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A,B两点,试问是否为定值?若是定值,求该定值;若不是定值,请说明理由.
22．已知函数,其中n为正整数.
（1）求的单调区间;
（2）证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：,虚部为3.
2．答案：C
解析：因为,,所以.
3．答案：A
解析：圆的圆心坐标为,则,得,所以该抛物线的焦点坐标为.
4．答案：B
解析：将这14个数据（单位:%）按照从小到大的顺序排列为103.33,104.18,104.69,105.66,106.71,106.77,107.52,107.74,107.81,108.29,108.48,108.90,110.66,119.01,因为,所以这14个数据的第60百分位数是排序后的第9个数据,即107.81,对应的地区是玉林市.
5．答案：D
解析：的展开式中的系数为,因为,所以.
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：设圆台的高为h,则,得.故该圆台的母线与底面所成角的正切值为.
8．答案：D
解析：由,得,
因为,,所以,
依题意可得,,解得.
9．答案：AC
解析：,A正确.因为,所以,则,所以,B错误.因为,所以,C正确.在上的投影向量为,D错误.
10．答案：BCD
解析：因为该正方体的棱长为,所以其体积为,表面积为,A错误,C正确.该正方体的内切球的直径为,所以内切球的体积为,B正确.该正方体的外接球的直径为,所以外接球的表面积为,D正确.
11．答案：ACD
解析：因为,所以,A正确.因为,所以,所以
,B错误.因为,所以,若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量大于253g的盒数,所以,C正确.0.2,若从该阿胶产品中随机选取1000盒,则质量在251g~253g内的盒数,所以,D正确.
12．答案：ABD
解析：因为,所以,即,因为,所以,则,所以,A正确.若,则,且a,b均为正数,则,则,当且仅当,即,时,等号成立,则的最小值为,B正确.因为,所以,因为,所以,所以,C错误.由,则,则,由,得,则c的最小值为,D正确.
13．答案：4
解析：因为是奇函数,所以
14．答案：32
解析：依题意可得的前8项为0,2,4,8,12,18,24,32.
15．答案：
解析：因为,所以,由,得或（舍去）.所以该切线的方程为,所以该切线在x轴上的截距为.
16．答案：
解析：如图,
由的面积是面积的2倍,可得,不妨设,,,则,.在中,由,得,整理得.在中,由,得整理得,则,整理得,即.故C的离心率为.
17．答案：70.7m
解析：,
在中,由正弦定理得,
则.
在中,,,
所以,
故黄河楼的实际高度约为70.7m.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由,得,
因为,所以,且是首项为,公比为2的等比数列,
所以.
（2）由（1）知,
所以
.
19．答案：（1）
（2）这次抽检的零件不合格
解析：（1）依题意可得
解得
（2）将每个数据都减去28.50后所得新数据的平均数为
所以,
所以,
所以这60个零件内径尺寸在内的个数为,
因为,所以这次抽检的零件不合格.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:取AD的中点F,连接EF,PF,BD.因为是正三角形,所以.
又平面平面ABCD,平面平面,所以平面ABCD.
因为平面ABCD,所以.
因为E是AB的中点,所以.又底面ABCD是菱形,所以,从而.
因为,所以平面PEF.
因为平面PEF,所以.
（2）连接BF,因为,所以是正三角形,所以.
以F为坐标原点,FA,FB,FP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
令,则,,,
则,.
设平面CEP的法向量为,则,
令,得
由题可知,.是平面ACE的一个法向量.
,
由图可知,二面角为锐角,则二面角的余弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）将点和点的坐标代入,得
解得
所以双曲线的方程为
（2）依题意可得直线PQ的斜率存在,设.
联立,得,
设,,则,
所以.
,直线.设,.
联立,得,
则
则
所以,所以为定值,定值为.
22．答案：（1）的单调递减区间为,单调递增区间为
（2）见解析
解析：（1）,
当时,;当时,.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2）证明:要证,只需证,即证.
设函数,则,的导函数,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以,当时,,
所以在上存在唯一零点.因为,,所以.
所以在上单调递减,在上单调递增,所以.又,所以,
所以.
设函数,则在上单调递减,所以,
因为n为正整数,所以,所以,所以.
地区
南宁市
柳州市
桂林市
梧州市
玉林市
防城港市
钦州市
男,女性别比/%
106.71
107.74
103.33
106.77
107.81
119.01
110.66
地区
贵港市
北海市
百色市
贺州市
河池市
来宾市
崇左市
男,女性别比/%
108.29
108.48
104.69
105.66
104.18
107.52
108.90