初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理14.2 勾股定理的应用精品习题

这是一份初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理14.2 勾股定理的应用精品习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD使其不变形.若AF=1米，AE=2米，则木条EF=( )(结果保留根号)
A. 3米B. 5米C. 6米D. 7米
2.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱AB的高度.如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度DB为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索AD到达AE的位置，测得推送的水平距离CE为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度EF为1.4米，则立柱AB的高度为( )
A. 3米
B. 4米
C. 4.4米
D. 5.4米
3.在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1 m，一阵风吹过来，荷花被吹倒伏，花朵齐及水面，其示意图如图所示．已知荷花移动的水平距离为2 m，则水深AC为 ( )
A. 1 mB. 1.5 mC. 2 mD. 3 m
4.如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向左移( )
A. 4米
B. 6米
C. 8米
D. 10米
5.如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=AB=10米，点P到AD的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是( )米．
A. 20B. 8 5C. 24D. 6 10
6.如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为2 cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是( )
A. 10cmB. 4 cmC. 17cmD. 5 cm
7.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，那么梯子顶端到地面的距离为1.5 m.由以上信息可知小巷的宽为 ( )
A. 2 mB. 2.5 mC. 2.6 mD. 2.7 m
8.小明要用铁杆制作一个直角三角形天线，要求最短边的长为8 cm，最长边的长为17 cm，则小明需要铁杆的总长度为( )
A. 42 cmB. 40 cmC. 35 cmD. 25 cm
9.如图，在离水面点A高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m，此人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动的距离BD的长为( )(假设绳子是直的)
A. 9米B. 8米C. 7米D. 6米
10.如图，韩彬同学从家(记作A)出发向北偏东30°的方向行走了4000米到达超市(记作B)，然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3000米到达卢飞同学家(记作C)，则韩彬家到卢飞家的距离为( )
A. 2000米B. 3000米C. 4000米D. 5000米
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出1m，当他把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是_ __m．
12.如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时测得该树的影长为8 m.若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为 m.
13.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔30 n mile的A处，该轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则B处与A处之间的距离为 n mile．
14.如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺(1丈=10尺)
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
(1)定理证明：
图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形(阴影).如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理；
(2)问题解决：
如图2，圆柱的底面半径为40cm，高为30πcm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？(结果保留π)
16.(本小题8分)
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
17.(本小题8分)
如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，测得AC=80cm，BC=60cm．
(1)若∠ACB=90°，求AB的长；
(2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB=30°，问与(1)中AB长度相比，此时AB的长度有何变化？(参考数据： 3≈1.732， 5≈2.236)
18.(本小题8分)
如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离点O80 m处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50 m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18 km/h．
(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，给学校A带来噪声影响的时间．
19.(本小题8分)
如图，有一个正方体盒子，在盒子内的顶点A处有一只蚂蚁，而在对角的顶点C1处有一块糖，蚂蚁应沿着什么路径爬行，才能最快吃到糖?请画出蚂蚁爬行的路线．
20.(本小题8分)
为了美化校园，学校要在一块直角三角形(△ABC,∠ACB=90∘)的草地上种植出如图阴影部分的图案.划出一个三角形(△ADC)后，测得CD=1米，AD=2米，BC= 2 3米，AB= 17米.求图中阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：EF= AF2+AE2= 12+22= 5(米)，
故选：B．
在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，据此解答即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
2.【答案】D
【解析】解：设绳索AD的长度为xm，
则AE=x m，AB=AD+BD=(x+0.4)m，
∵CD=BC−BD=EF−BD=1.4−0.4=1(m)，
∴AC=AD−CD=(x−1)m，
由题意得：∠ACE=90°，
在Rt△AED中，由勾股定理得：CE2+AC2=AE2，
即32+(x−1)2=x2，
解得：x=5，
∴x+0.4=5+0.4=5.4，
即立柱AB的高度为5.4m，
故选：D．
设绳索AD的长度为xm，则AB=x m，AC=AB+BC=(x+0.8)m，得到BE=EC−BC=DF−BC=1.8−0.8=1(m)，求得AE=AB−BE=(x−1)m，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】C
【解析】解：在直角△ABC中，已知AB=25米，BC=7米，
则由勾股定理得AC= 252−72=24(米)．
∵AC=AA1+CA1，
∴CA1=24−4=20(米)．
∵在直角△A1B1C中，A1B1=AB，且A1B1为斜边，
∴由勾股定理得CB1= 252−202=15(米)，
∴BB1=CB1−CB=15−7=8(米)．
故选：C．
在直角△ABCC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角△A1B1C中，已知A1B1=AB，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1=CB1−CB，即可求得BB1的长度．
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG=8(米)，AP=AB=10(米)，
∴PG= AP2−AG2= 102−82=6(米)，
∴BG=8+10=18(米)，
∴PB= BG2+PG2= 182+62=6 10(米)，
∴这只蚂蚁的最短行程应该是6 10米，
故选：D．
可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
本题主要考查了平面展开−最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出．分两种情况求出路径长，比较大小，求出最短路径．
【解答】
解：①如图，
它运动的最短路程AB= (2+2)2+(22)2= 17(cm)，
②如图，
它运动的最短路程AB= 22+2+2+12= 29(cm)，
∵ 17(cm)< 29(cm)，
∴从点A爬到点B的最短路程是 17(cm)，
故选C．
7.【答案】D
【解析】略
8.【答案】B
【解析】略
9.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．
【解答】
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=17m，AC=8m，
∴AB= BC2−AC2= 172−82=15(m)，
∵此人以1m/s的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD=17−1×7=10(m)，
∴AD= CD2−AC2= 102−82=6(m)，
∴BD=AB−AD=15−6=9(m)，
即船向岸边移动了9m．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出韩彬行走的路程和距离构成的是直角三角形，然后根据勾股定理可求出解，根据题意可得∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，然后利用勾股定理求得AC．
【解答】
解：如图，连接AC，
依题意得：∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，
则由勾股定理，得：
AC= AB2+BC2= 40002+30002=5000米
故选D．
11.【答案】12
【解析】解：如图，旗杆绳AC垂到地面B处时多出1m，∠ABC=90°，把绳子斜拉直时，绳子底端距离旗杆底部5m，
可知AC比AB多1m，BC=5m，
设AC=x m，
则AB=(x−1)m，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(x−1)2+52=x2，
解得x=13，
∴AC=13m，AB=12m，
故答案为：12m．
根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多1m，而另一条直角边长为5m，可以根据勾股定理列方程求出斜边的长，即为旗绳的长．
此题考查勾股定理及其应用，需要画出示意图，所以，通过解决实际问题，培养动手操作能力，也是学习的一个重要环节．
12.【答案】4
【解析】提示：如图，根据题意，得∠COD=90°，CE=2 m，ED=8 m.设树的高度为xm.在Rt△COE中，由勾股定理，得CO2=CE2+OE2=22+x2.在Rt△DOE中，由勾股定理，得DO2=OE2+ED2=x2+82.在Rt△COD中，CO2+DO2=CD2，即22+x2+x2+82=(2+8)2，则x2=16，所以x=4(负值舍去).所以该树的高度为4 m．
13.【答案】60
【解析】略
14.【答案】4.55
【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为(10−x)尺，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为(10−x)尺
由勾股定理得x2+32=10−x2
解得x=4.55
故答案为：4.55．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题．
15.【答案】解：(1)∵阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积，
∴(b−a)2=c2−4×12ab，
∴a2−2ab+b2=c2−2ab，
∴a2+b2=c2；
(2)画出圆柱侧面展开图：

根据圆柱底面半径为40cm，得出AC=2×40π2=40π(cm)，
∵高为30πcm，
∴AB= AC2+BC2=50π(cm)，
∴从点A爬到点B的最短路程是50π厘米．
【解析】(1)利用阴影部分的面积=大正方形面积−4直角三角形面积额即可得答案；
(2)画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．
16.【答案】解：设此时梯子底端到右墙角的距离BE长是x米，
由题意列方程为：2.2−x2+2.42=x2+4，
解方程得x=1.5，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．

【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离BE长是x米，根据AC=BD，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=80cm，BC=60cm，
∴AB= AC2+BC2= 802+602=100(cm)，
答：AB的长为100cm；
(2)AB的长度变长了，理由如下：
如图，过点C作CG⊥AB于点G，
则∠CGA=∠CGB=90°，
∵∠A=30°，AC=80cm，
∴CG=12AC=40(cm)，
∴AG= AC2−CG2= 802−402=40 3(cm)，
BG= BC2−CG2= 602−402=20 5(cm)，
∴AB=AG+BG=(40 3+20 5)cm，
∵ 3≈1.732， 5≈2.236，
∴AB=40 3+20 5≈40×1.732+20×2.236=114(cm)>100cm，
∴AB的长度变长了．
【解析】(1)由勾股定理求出AB的长即可；
(2)过点C作CG⊥AB于点G，由含30°角的直角三角形的性质得CG=40cm，再由勾股定理求出AG、BG的长，得出AB的长，然后比较即可．
本题考查了勾股定理的应用以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】【小题1】
解：过点A作AD⊥ON于点D.因为∠NOM=30°，AO=80 m，所以AD=40 m.答：对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40 m．
【小题2】
以点A为圆心，50 m长为半径画弧，交ON于B，C两点，点B靠近点O，即卡车P在经过BC段时对学校产生影响，连接AB，AC，则有AB=AC=50 m，BD=CD=12BC.由(1)得AD=40 m.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AB2−AD2，所以BD=30 m.故BC=2×30=60(m)因为卡车P的速度为18 km/h，即1800060×60=5(m/s)，所以经过BC段时需要60÷5=12(s). 答：卡车P沿道路ON方向行驶一次，给学校A带来噪声影响的时间为12 s．

【解析】1. 略
2. 略
19.【答案】解：如图，由于“两点之间，线段最短”，因此蚂蚁要从顶点A爬行到顶点C1，有三种情况．
若蚂蚁爬行经过面AB1，可将这个正方体展开，在展开图上连接AC1，与棱A1B1(或BB1)交于点P1(或P3)，蚂蚁沿线段AP1→P1C1(或AP3→P3C1)爬行，路线最短，
类似地，蚂蚁经过面AD1和AC爬行到点C1，
也分别有两条最短路线，因此蚂蚁爬行的最短路线有6条．

【解析】本题考查的是最短路径问题，解决此题的关键是将立体图形展开，转化为平面图形.先将平面图形展开，根据两点之间，线段最短，可知蚂蚁要从顶点A爬行到顶点C1，有三种情况；再让蚂蚁爬行经过面AB1，在展开图上连接AC1，可得到两条最短路线，类似地蚂蚁经过面AD1和AC爬行到点C1，也分别有两条最短路线，因此蚂蚁爬行的最短路线有6条，从图上画出即可．
20.【答案】解：因为∠ACB=90°，BC=2 3米，AB= 17米，
所以AC= AB2−BC2= ( 17)2−(2 3)2= 5(米)，
因为CD=1米，AD=2米，12+22=( 5)2，
所以AD2+CD2=AC2，
所以△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
所以图中阴影部分的面积=△ABC的面积−△ACD的面积
=12AC⋅BC−12AD⋅CD=12× 5×2 3−12×2×1=( 15−1)平方米．
答：图中阴影部分的面积为( 15−1)平方米．
【解析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理求出AC= 5米，再由勾股定理的逆定理证出∠ADC=90°，然后由三角形面积公式求解即可．