12.3乘法公式 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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12.3乘法公式华东师大版初中数学八年级上册同步练习一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列运算正确的是(    )A. a2+2a2=3a4 B. a6÷a2=a3C. (ab)3=a3b3 D. (a−b)2=a2−b22.下列运算正确的是(    )A. (−2a)2=−4a2 B. (a−b)2=a2−b2C. (−m+2)(−m−2)=m2−4 D. (a5)2=a73.从前，一位农场主把一块边长为a米(a>4)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(    )A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定4.下列能直接运用平方差公式计算的是(    )A. (a−2)(2−a) B. (a−2)(b+2)C. (2a−b)(a+2b) D. (−a+b)(−a−b)5.已知(x−y)2=49，xy=2，则x2+y2的值为(    )A. 53 B. 45 C. 47 D. 516.已知a−b=2，则a2−b2−4b的值是(    )A. −8 B. 2 C. 4 D. 67.从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形(如图1)，然后拼成一个平行四边形(如图2)，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为(    )A. a2−b2=(a−b)2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. (a−b)2=a2−2ab+b2 D. a2−b2=(a+b)(a−b)8.下列各式中，不能用平方差公式计算的是(    )A. (x−y)(−x+y) B. (−x+y)(−x−y)C. (−x−y)(x−y) D. (x+y)(−x+y)9.如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为(    ) A. (a−b)2=a2−2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2C. a2−b2=(a+b)(a−b) D. a2+ab=a(a+b)10.将一个长为2a，宽为2b的长方形纸片(a>b)，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为(    )A. a2+b2 B. a2−b2 C. (a+b)2 D. (a−b)2二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。11.某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成(4−1)后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4+1)(42+1)=(4−1)(4+1)(42+1)=(42−1)(42+1)=162−1=255.请借鉴该同学的经验，计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1215=          ．12.已知a+b=13，b−a=5，则b2−a2=________．13.已知m=20232+20242，则 2m−1=           ．14.观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，⋯按此规律，则第n个等式为2n−1=          ．三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)仔细观察下列各式：12+22+22=(2+1)2；22+62+32=(6+1)2；32+122+42=(12+1)2；……请你根据以上规律，写出第n(n为正整数)个等式，并说明等式成立的理由．16.(本小题8分)(1)计算：(x+y)(x−y)(x2+y2)；(2)从第(1)题中你有没有发现什么规律？如果有，你能不能利用这个规律计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)．17.(本小题8分)如图1，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积=长×宽=(a+2b)(a+b)，六个小图形面积和为：a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+3ab+2b2，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．(1)仿照上面的方法，由图2可得等式______；(2)利用(1)所得等式，解决问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．18.(本小题8分)如图①是一个长为2m、宽为2n的大长方形(m>n)，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．(1)图②中的阴影正方形的边长为          ；(2)用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：①          ，②          ；(3)观察图②，你能直接写出(m+n)2、(m−n)2和mn这三个代数式之间的等量关系吗？(4)根据第(3)问中的等量关系，解答如下问题：若a+b=6，ab=4，求(a−b)2的值．19.(本小题8分)如图①，沿虚线将长方形平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．观察发现：(1)图②中阴影部分的面积为________(用含m，n的代数式表示，且以幂的形式表示)；(2)观察图②，请你写出代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系式：________________；(3)解决问题：根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y=−6，xy=5，求(x−y)2的值．20.(本小题8分)【知识回顾】如图1，长方形的长与宽分别为a、b，请认真观察图形，解答下列问题：(1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的一个等量关系式：______；(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若x−y=7，xy=6，求x2+y2的值；【深入探究】(3)若a满足(2023−a)(a−2024)=−5，求(2023−a)2+(a−2024)2的值；【应用迁移】(4)如图3，长方形ABCD中，AB=2BC，E、F是边AB上的点(E在F左侧)，以EF为边向下作正方形EFGH，延长GH交AD于点M，再以MH为边向上作正方形MHQP，若BF=2k，DM=k+1，(k为常数，且k>0)，正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，求长方形AMGF的周长．答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，掌握计算法则是正确计算的前提．根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式判断即可解答．【解答】A.a2+2a2=3a2，故错误；B.a6÷a2=a4，故错误；C.(ab)3=a3b3，故正确；D.(a−b)2=a2−2ab+b2，故错误．2.【答案】C 【解析】解：(−2a)2=4a2，所以A错误；(a−b)2=a2−2ab+b2，所以B错误；(−m+2)(−m−2)=m2−4，所以C正确；(a5)2=a10，所以D错误．故选：C．分别对四个选项进行分析．本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大．3.【答案】C 【解析】解：原来租的土地面积：a2(平方米)．现在租的土地面积：(a+4)(a−4)=a2−16(平方米)．∵a2>a2−16．∴张老汉的租地面积会减少．故选：C．先计算变化前后的面积，比较即可．本题考查代数式大小的比较，正确表示前后租地面积，再用平方差公式计算是求解本题的关键．4.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了平方差公式，掌握a+ba−b=a2−b2是解题的关键．根据平方差公式的结构特征，即两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差进行判断即可．【解答】解：A．a−22−a=−a−2a−2=−a−22，不能利用平方差公式，故选项A不符合题意；B.a−2b+2，不能利用平方差公式，故选项B不符合题意；C.2a−ba+2b，不能利用平方差公式，故选项C不符合题意；D.(−a+b)(−a−b)=(−a)2−b2，能利用平方差公式，故选项D符合题意．故选：D．5.【答案】A 【解析】略6.【答案】C 【解析】因为a−b=2，所以a2−b2−4b=(a+b)(a−b)−4b=2(a+b)−4b=2a−2b=2(a−b)=2×2=4．7.【答案】D 【解析】解：图1中阴影部分的面积为：a2−b2，图2中阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，∵两图中阴影部分的面积相等，∴a2−b2=(a+b)(a−b)，∴可以验证成立的公式为a2−b2=(a+b)(a−b)，故选：D．运用不同方法表示阴影部分面积即可得到结论．本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．8.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了平方差公式，熟记公式并根据公式计算是解题关键．根据平方差公式，可得答案．【解答】解：A.(x−y)(−x+y)=−(x−y)(x−y)，故不能用平方差公式计算；B.(−x+y)(−x−y)=(x−y)(x+y)，能用平方差公式计算；C.(−x−y)(x−y)=−(x+y(x−y)，能用平方差公式计算；D.(x+y)(−x+y)=−(x+y(x−y)，能用平方差公式计算．故选A．9.【答案】C 【解析】略10.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握小正方形面积的计算方法是解题的关键．由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间小正方形的面积=大正方形的面积−4个小长方形的面积，代入计算即可．【解答】解：如图，由图1得每一个小长方形纸片的长为a，宽为b，∴图2中间小正方形的面积=大正方形的面积−4个小长方形的面积=(a+b)2−4ab=a2+2ab+b2−4ab=(a−b)2，故选：D．11.【答案】2 【解析】略12.【答案】65 【解析】【分析】本题考查了平方差公式，先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b=13，b−a=5，∴b2−a2=(a+b)(b−a)=13×5=65，故答案为65．13.【答案】4047 【解析】略14.【答案】n2−(n−1)2 【解析】【分析】本题考查数字的变化类，发现式子的变化特点是解答本题的关键．根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，从1开始；等号右边第一个数是连续正整数的平方，第二个数是比第一个数少1的平方，等号右边是两个数的平方作差，从而可以写出第n个等式．据此解答．【解答】解：∵1=12−02，3=22−12，5=32−22，…，∴n2−(n−1)2=(n+n−1)(n−n+1)=2n−1，∴第n个等式为2n−1=n2−(n−1)2，故答案为：n2−(n−1)2．15.【答案】解：第n个等式为n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.理由如下：∵n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=n2+(n2+n)2+n2+2n+1=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，[n(n+1)+1]2=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1=(n2+n)2+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，∴n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2． 【解析】略16.【答案】【小题1】解：原式=(x2−y2)(x2+y2)=x4−y4．【小题2】解：原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)=(22−1)(22+1)(24+1)…(232+1)=(24−1)(24+1)…(232+1)…=264−1． 【解析】1. 略2. 略17.【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)(2)a2+b2+c2 的值为45 【解析】解：(1)如图2，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为(a+b+c)2=a2+c2+b2+2(ab+bc+ac)．故答案为：(a+b+c)2=a2+c2+b2+2(ab+bc+ac)；(2)∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac)=121−76=45．(1)如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式；(2)由等式利用代入法即可求解．本题考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析．18.【答案】【小题1】m−n【小题2】(m+n)2−4mn(m−n)2【小题3】(m+n)2−4mn=(m−n)2．【小题4】因为a+b=6，ab=4，且(a−b)2=(a+b)2−4ab，所以(a−b)2=62−4×4=20． 【解析】1. 略2. 略3. 略4. 略19.【答案】【小题1】m−n2【小题2】(m+n)2−4mn=(m−n)2【小题3】解：因为x+y=−6，xy=5，所以(x−y)2=(x+y)2−4xy=(−6)2−4×5=16． 【解析】1. 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解数形结合的数学思想；结合图形，得出阴影正方形的边长为m−n，再根据正方形面积的求法进行解答，即可求解．【解答】解：由图②可知，阴影正方形的边长为m−n，所以图②中阴影部分的面积为m−n2．故答案为：m−n2．2. 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，解题的关键是理解数形结合的数学思想；根据图②中大正方形、小正方形、长方形的面积之间的关系进行解答，即可求解．【解答】解：由图可知，大正方形的边长为m+n，每个长方形的长、宽分别是m、n，阴影正方形的边长为m−n，因为大正方形的面积−4个长方形的面积=小正方形的面积，所以m+n2−4mn=m−n2．故答案为：m+n2−4mn=m−n2．3. 本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握利用完全平方公式进行代数式求值的思路与方法；根据完全平方公式对算式进行变形，再将x+y、xy的值整体代入计算即可．20.【答案】(a+b)2=(a−b)2+4ab 【解析】解：(1)根据题意得：(a+b)2=(a−b)2+4ab；故答案为：(a+b)2=(a−b)2+4ab；(2)把x−y=7两边平方得：(x−y)2=49，展开得：x2+y2−2xy=49，将xy=6代入得：x2+y2−12=49，整理得：x2+y2=61；(3)设2023−a=m，a−2024=n，则有mn=−5，m+n=1，把m+n=1两边平方得：(m+n)2=1，即m2+n2+2mn=1，把mn=−5代入得：m2+n2−10=1，即m2+n2=11，则(2023−a)2+(a−2024)2=m2+n2=11；(4)设BC=AD=x，则AB=2x，∵正方形EFGH，矩形AMGF，∴AM=FG=EF=AD−MC=x−(k+1)=x−k−1，AE=AB−EF−FB=2x−[x−(k+1)]−2k=x−k+1，∵正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，即矩形AEHM面积为214，∴AM⋅AE=(x−k−1)(x−k+1)=214，即(x−k)2−1=214，整理得：(x−k)2=254，开方得：x−k=52(负值舍去)，∴AM=52−1=32，AE=52+1=72，AF=AE+EF=AE+AM=5，则长方形AMGF周长为2(AF+AM)=2×(5+32)=13．(1)由图2中大正方形的面积直接求和间接求两种方法表示，可得出三式的关系式；(2)把x−y=7两边平方，利用完全平方公式化简，再将xy=6代入即可求出x2+y2的值；(3)设2023−a=m，a−2024=n，则有mn=−5，m+n=1，把m+n=1两边平方，利用完全平方公式化简，把mn=−5代入求出m2+n2的值，即为所求；(4)设BC=AD=x，则AB=2x，表示出AM与AE的长，由正方形MHQP与长方形ABCD重叠部分的长方形面积为214，求出x的值，确定出AM与AF的长，即可求出长方形AMGF的周长．此题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式的几何背景，平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．