2024年高考数学教学教研-复习用书-必修第一册_1-50-2024年高考数学教学教研-复习用书-必修第一册专题

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1.元韋与集合的关系：属于，记为a∈A不属于，记为a∉A.
2.集合中元素的特征：
(1)确定性：一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，对于一个给定的集合，它的任何两个元凿都是不同的，这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合，这个特性通常被用来判断两个集合的关系.
3.常用数集及其记法：
4.集合的表示法
(1)列举法.
(2)描述法(又称特征性质描述法)：形如{x∈A∣px}，px称为集合的特征性质，x称为集合的代表元素.A为x的范围，有时也写为{x∣px，x∈A}.
(3)图示法，又叫韦恩(Venn)图.
(4)区间表示法：用来表示连续集.
例1.已知集合A=x∣ax2+2x+1=0，a∈R只有一个元素，则a的值( )
A.0
B.1
C.0或1
D.-1
解析：若集合A=x∣ax2+2x+1=0，a∈R只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4-4a=0，解得a=1故满足条件的a值为0或1故选：C.
例2.已知集合A=x∣ax2-3x+2=0至多有一个元素，则a的取值范围是___________
解：a=0时，ax2-3x+2=0即x=23，A=23，符合要求；a≠0时，ax2-3x+2=0至多有一个解，Δ=9-8a≤0，a≥98，综上，a的取值范围为a≥98或a=0.
二.集合与集合之间的关系
集合间的基本关系：
(1)若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n-1个非空子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集.
(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.
(4)⌀，{0}和{⌀}有什么区别？
提示：⌀是集合不含任何元素；{0}含有一个元素0；{⌀}含有一个元素⌀，且⌀∈{⌀}和⌀⊆{⌀}都正确.
三.集合的基本运算
(1)集合运算的相关结论
(2)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔CUA⊇CUB⇔A∩CUB=⌀
(3)集合的简单性质：
①A∩A=A，A∩⌀=⌀，A∩B=B∩A；
②A∪⌀=A，A∪B=B∪A；
③A∩B⊆A∪B；
④A⊆B⇔A∩B=A，A⊆B⇔A∪B=B；
⑤CUA∩B=CUA∪CUB
⑥CUA∪B=CUA∩CUB
四.充分条件与必要条件
1.命题之间的关系：充要条件与必要条件
①若p⇒q，则p是q成立的充分条件，q是p成立的必要条件.
②若p⇒q且q⇒∕∕p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
③若p⇔q，则p是q的充分必要条件.
2.对于充分条件、必要条件的判断要注意以下几点：
①要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的主分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
②p或q的否定：¬p且¬q；p且q的否定：¬p或¬q.
③要注意转化：若¬p是¬q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若¬p是¬q的充要条件，那么p是q的光要条件.
④要盖于利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.
⑤小区间能推大区间，大区间不一定能推出小区间.
例1.不等式kx2+kx+34>0对一切实数x都成立的主分不必要条件是(CD)
A.k3
B.0≤k0，x2+1=0等.如：∀x∈R，x2+1>0；∀x>0，x2=x.
(2)存在量词：短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题，如：有些人活着，他已经死了；至少有一种鱼不是用鳃呼吸的，存在性命题的符号：“存在集合M中的元素x，qx”记为：∃x∈M，qx.如：∃x>0，x20，x2-2x+1>0”的否定是(A)
A.∃x>0，x2-2x+1≤0
B.∀x>0，x2-2x+1≤0
C.∃x≤0，x2-2x+1≤0
D.∀x≤0，x2-2x+12n
B.∃n∈N，n2≤2n
C.∀n∈N，n2≤2n
D.∀n∈N，n20
C.x≤2
D.-10，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值___________
解法一：a+1+b+3=1，1⋅a+1，b+3≤2⋅3=32
解法二：a+1=x>1，b+3=y>3⇒a=x2-1，b=y2-3⇒x2+y2=9
圆心到直线x+y的距离d=t2≤r=3，⇒t=x+y≤32，
当且仅当x=y，即a+1=b+3，⇒a=72，b=32
解法三：同时平方，y2=a+1+b+3+2a+1b+3≤18⇒ymax=32，(均值不等式处理)
例7.(2013-新课标I理)设当x=θ时，函数fx=sinx-2csx取得最大值，则csθ=___________
解：fx=sinx-2csx=1，-2⋅sinx，csx≤5共线时取最大值-21=csxsinx⇒tanx⇒csθ=-255
例8.已知x，y∈R+，且x+y=3，则x2+1+2y2+4的最小值为___________
解析：根据柯西不等式：
x2+1+2y2+4=5x2+1+25y2+45=22+1x2+1+22+42y2+45≥2x+1+2y+85=35.
当且仅当：x=2，y=1时，等号成立.
例9.已知正数a>0，b>0满足1a+1b=3，求a+b的取值范围.
解析：方法一：由1a+1b=3得a+b=3ab，∴b=a3a-1，
由于a>0，b>0，可得a>13，于是a+b=a+a3a-1=a+13×3a-1+13a-1=a+13+19a-13=a-13+19a-13+23≥2a-13×19a-13+23=43，
当a-13=19a-13，即a=23时取等号，∴a+b的取值范围是43，+∞
方法二：由1a+1b=3得a+b=3ab.又ab≤a+b22，所以a+b3≤a+b22，
即4a+b≤3a+b2，所以a+b≥43，即a+b的取值范围是43，+∞
方法三：由1a+1b=3得13a+13b=1，
∴a+b=a+b13a+13b=23+a3b+b3a≥23+2a3b×b3a=43，
当且仅当a3b=b3a，即a=b=23时取等号，所以a+b的取值范围是43，+∞
方法四：由1a+1b=3得a+b=3ab(1)
设a+b=t，则b=t-a，代入(1)式得t=3at-a
整理得3a2-3ta+t=0，
又由1a+1b=3得a>13，即方程3a2-3ta+t=0在13，+∞上有解，
令ga=3a2-3ta+t，则ga=3a2-3ta+tΔ=3t2-4×3t≥0--3t2×3>13g13>0
解得t≥43，所以a+b的取值范围是43，+∞
方法五：轮换对称性：因为a，b的地位是样的，当取最值时，a，b在相等的时候取到：
1a=1b=32⇒a=b=23，所以最小值为43
方法六：何西不等式的推论
解：令a+bmin=z，1a+1b=1+12a+b=3⇒1+12z=3⇒z=43
例10.(2015年重庆卷文科第14题)设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为___________
解法一：∵a+1+b+32=a+1+b+3+2a+1⋅b+3≤9+a+1+b+3=18
当且仅当a+1=b+3且a+b=5，即a=72，b=32取等号，
所以a+1+b+3的最大值为32.
解法二：设x=a+1，y=b+3，则x2+y2=9x>1，y>3
依题意可得问题等价于求x+y的最大值，
令x+y=t，直线x+y=t与圆x2+y2=91