2024年高考数学教学教研-复习用书-必修第一册_101-150-2024年高考数学教学教研-复习用书-必修第一册专题

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B.aa
D.c>a>b
例83.已知2lna=aln2，3lnb=bln3，5lnc=cln5，且a，b，c∈0，e，则( )
A.ac
B.a>c>b
C.b>a>c
D.c>a>b
例97.已知a=243，b=425，c=2513，则( )
A.b0，
(1)若b2-3ac≤0，则fx在-∞，+∞上为增函数；
(2)若b2-3ac>0，则fx在-∞，x1和x2，+∞上为增函数，fx在x1，x2上为减函数，其中
x1=-b-b2-3ac3a，x2=-b+b2-3ac3a.
证明 f'x=3ax2+2bx+c， △=4b2-12ac=4b2-3ac，
(1)当Δ≤0即b2-3ac≤0时，f'x≥0在R上恒成立，即fx在-∞，+∞为增函数.
(2)当Δ>0即b2-3ac>0时，解方程f'x=0，得x1=-b-b2-3ac3a，x2=-b+b2-3ac3af'x>0⇒xx2⇒fx在-∞，x1和x2，+∞上为增函数.
f'x0，且fx1⋅fx2>0，则fx=0恰有一个实根；
(3)若b2-3ac>0，且fx1⋅fx2=0，则fx=0有两个不相等的实根；
(4)若b2-3ac>0，且fx1⋅fx20，且fx1⋅fx2>0.
(3)fx=0有两个相异实根的充䙲条件足曲绕y=fx与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以b2-3ac>0，且fx1⋅fx2=0.
(4)fx=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=fx与x轴有三个公共点，即fx有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以b2-3ac>0且fx1⋅fx20在[m，+∞)上恒正的充要条件是fm>0m≥x2，或fm>0且fx2>0m0的图象关于点-b3a，f-b3a对称，并且f'x在x=-b3a处取得最小值，其图象关于直线x=-b3a对称.
证1 fx=ax3+bx2+cx+d=ax+b3a3+c-b23ax+b3a+f-b3a，易知gx=ax3+c-b23ax是奇函数，图象关于原点对称，则fx关于点-b3a，f-b3a对称.f'x=3ax2+2bx+c，∵a>0∴当x=-b3a时，f'x取得最小值，显然y=f'x图象关于x=-b3a对称.
证2 设y=fx的图象关于点m，n对称，任取y=fx图象上点Ax，y，则A关于m，n的对称点A'2m-x，2n-y也在y=fx图象上2n-y=a2m-x3+b2m-x2+c2m-x+d，
∴y=ax3-6ma+bx2+12m2a+4mb+cx-8m3a+4m2b+2mc+d-2m
∴b=-6ma-bc=12m2a+4mb+cd=-8m3a+4m2b+2mb+d-2n⇒m=-b3an=f-b3a
综上所述：由上又可得以下结论：
y=fx是可导函数，若y=fx的图象关于点m，n对称，则y=f'x图象关于直线x=m对称.
证明y=fx的图象关于m，n对称，则fx+f2m-x=2n，
∵f'x=limΔx→0fx+Δx-fxΔx∴f'2m-x=limΔx→0f2m-x+Δx-f2m-xΔx=limΔx→02n-fx-Δx-2n+fxΔx=limΔx→0fx-fx-ΔxΔx=f'x.
∴y=f'x图象关于直线x=m对称.
证3 若y=fx图象关于直线x=m对称，则y=f'x图象关于点m，0对称.
证明y=fx图象关于直线x=m对称，则fx=f2m-x，
∵f'x=limΔx→0fx+Δx-fxΔx∴f'2m-x=limΔx→0f2m-x+Δx-f2m-xΔx∴f'2m-x+f'x=0， ∴ y=f'x图象关于点m，0对称.
掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.
总结
1.三次函数理论：此结论可以演变很多选择题，填空题以及大题，考生务必掌握.
(1)三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0图象：反N型和大N型
(2)函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0单调性、极值点个数情况；
f'x=3ax2+2bx+c，记Δ=4b2-12ac=4b2-3ac，x1，2=-b±b2-3ac3a x1，x2中较大根为极小值，点，较小根为极大值点.由以下图可看出，Δ≤0fx无极值点，但有1个零点！
2.终极总结版
(1)结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是-b3a，f-b3a；
(2)结论二：其导函数为f'x=3ax2+2bx+c=0对称轴为x=-b3a，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，y=fx图象的对称中心在导函数y=f'x的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
(3)结论三：y=fx是可导函数，若y=fx的图象关于点m，n对称，则y=f'x图象关于直线x=m对称.
(4)结论四：若y=fx图象关于直线x=m对称，则y=f'x图象关于点m，0对你，
(5)结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
(6)结论六：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+d的对称中心横坐标为x0，若fx存在两个极值点x1，x2，则有fx1-fx2x1-x2=-a2x1-x22=23f'x0.
证明：fx1-fx2x1-x2=ax13-x23+bx12-x22+cx1-x2x1-x2=ax12+x1x2+x22+bx1+x2+c
由于f'x=3ax2+2bx+c，
所以f'x1=3ax12+2bx1+c=0，f'x2=3ax22+2bx2+c=0，x0=-b3a，
fx1-fx2x1-x2=4ax1+x222+2bx1+x22+c-ax1x2=4ax02+2bx0+2c3=-2b29a+2c3，
23f'x0=2ax02+43bx0+23c=-2b29a+2c3，-a2x1-x22=-a2⋅4b2-12ac9a2=-2b29a+2c3，
命题得证.
(7)极大值到对称中心距离为Δx，极小值到对称中心距离为Δx，极小值等值点到极大值距离为Δx，极大值等值点到极小值距离为Δx；如右图
(8)对称中心为极值与极值等值点的三等分点(三次函数性质(7)).
(9)对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R且a≠0.
①fx不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数.
(10)三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数fx图象的对称中心作切线L，则坐标平面被切线L和函数fx的图象分制为四个区域，有以下结论：
①过区域Ⅰ、Ⅳ内的点作fx的切线，有且仅有3条；
②过区域Ⅱ、Ⅱ内的点以及对称中心作fx的切线，有且仅有1条；
③过切线L或函数fx图象(除去对称中心)上的点作fx的切线，有且仅有2条.
记忆：外3，内1，线上2
(11)三次函数韦达定理的应用
设原方程为ax3+bx2+cx+d=0有三个根；则韦达定理：x1+x2+x3=-bax1x2+x2x3+x1x3=cax1x2x3=-da
[2023年深圳市高三年级第一次调研考多选第11题]
已知函数fx=xx-32，若存在fa=fb=fc，a0f'3>0120，令f'x=0，得x1=1-2a2，或x2=1+2a2，得故fx的单调增区间为-∞，1-2a2，1+2a2，+∞；单调减区间为1-2a2，1+2a2.
①当00，ga=-a3-3a+b0，x1+x2=10，x1x2=12a-3>0，解30时，令f'x>0，得0