2024年高考数学教学教研-复习用书-必修第二册_201-250-2024年高考数学教学教研-复习用书-必修第二册专题

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A.8π
B.16π3
C.4π3
D.323π27
解法一：双半径单交线终极公式：取BC之中点D，连接AD，PD.
由：R2=m2+n2-2mncsθsin2θ+l24
对于△ABC，外接圆半径，由正弦定理得1，AD=12∴m=1-12=12
对于△PBC，外接圆半径，由余弦定理得cs∠BPC=58∴sin∠BPC=398
再由正弦定理得：R1=413=O1B∴n=4132-322=552
又因为在△PBA中，由二面角θ：余弦定理得csθ=-113，再因为l=3.
代入双半径单交线终极公式R2=m2+n2-2mncsθsin2θ+l24=122+5522-2⋅12⋅552⋅11315613×13+324=43
∴S=4πR2=16π3.
注：如果二个面都为锐角三角形或者都为钝角三角形时，可以直接把二面角当α，如果一锐一钝，用二面角的补角当α.即：外心在一外一内是用补角，其它正常就好了.此题就是一锐一钝的情况，所以在代入双半径单交线终极公式时，csθ取113，不要直接用csθ=-113.记住：一锐一钝的情况的情况，用二面角的补角.
解法二：过点P澂底面ABC的重，足为O1，因为：PA=PB=PC=2，由勾股定理得：O1B=O1A=O1C，即O1为△ABC的外心.
对于△ABC，外按圆半径，由正弦定理得1，由于PO1⊥ABC，不妨设O为三棱锥外接球球心，则h-R2+BO12=R2，∵h=PB2-BO12=22-12=3所以由：h-R2+BO12=R2⇒R=23，∴S=4πR2=16π3.
mn例10.(2020年广州市普通高中毕业班综合测试(一))已知直三桻柱ABC-A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B-APQC的体积为( )
A.16V
B.29V
C.13V
D.79V
解析：设正三角形边长为a，三棱柱的高为h，则V=34a2h，所以VB-APQC=13×13ah×32a=318a2h=2B9V.
例11.已知三棱锥P-ABC的每个顶点都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且2PB=PA=PC，若球O的表面积为36π，则球心O到平面ABC的距离为( )
解析：如图：构建长方体：可知PB=2，建立空间直角坐标系：O2，2，1，A4，0，0，C0，4，0，P4，4，0，B4，4，2
设平面法向量为n=x，y，z，求之得：n=1，1，-2，设球心O到平面ABC的距离为d，则d=OA⋅nn=63
例12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D、E、F分别是AB、BC、CP的中点，且cs∠DFE=34，则球O的表面积为( )
A.28π3
B.8π3
C.4π
D.16π
解析：EF=DF=1+h22，DE=1⇒cs∠DFE=1+h24+1+h24-12×1+h24=34⇒h2=4
R2=14h2+13a2=14×4+13×4=73⇒S=28π3.
例13.在三棱锥A-BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD体积的最大值为( )
解析：如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB=4，设AD=x，则BD=16-x2，又BD边上的高CH=1，当CH⊥平面ABD时，棱锥A-BCD的体积最大，此时V=13×12⋅x⋅16-x2=16-x4+16x2，当x2=8时，体积V最大，最大值为43.
例14.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为12，则球O的表面积为( )
解析：AG=2，tan∠DGA=12，则DA=1，在等腰三角形ABC中，可求出sin∠CAB=2×35×45=2425，2R=8sin∠CAB=82425=253，R2=122+2562=63436，所以S=634π9
例15.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是( )
A.36
B.24
C.183
D.123
解析：易知△APD：△MPC，则PDPC=ADMC=2，欲使三棱锥P-BCD的体积最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值23，∴VP-BCDmax=13×12×6×6×23=123∴故选D.
例16.三棱锥P-ABC中，点P到A，B，C三点的距离均为8，PA⊥PB，PA⊥PC，过点P作PO⊥平面ABC，足为O，连接AO，此时cs∠PAO=63，则三棱锥P-ABC外接球的体积为( )
解析：由PA=8，cs∠PAO=63，∴AO=863，AD=46，PD=42，BC=82，PB⊥PC，r=43，V=43π⋅r3=43π⋅64⋅33=2563π
例17.已知在半径为2的球面上有ABCD四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为( )
A.233
B.433
C.23
D.833
解法一：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有
V四面体ABCD=13×2×12×2×h=23h，当直径通过AB与CD的中点时，hmax=222-12=23，故Vmax=433.
解法二：如图，过OCD三点作球的截面，交AB于点M，由条件知：△OAB，△OCD均为边长为2的等边三角形，设M到CD的距离为h，A到面MCD的距离为h1，B到面MCD的距离为h2，则VA-BCD=VA-MCD+VB-MCD=13S△MCDh1+h2=13⋅12⋅h1+h2=13⋅12⋅CD⋅h⋅h1+h2因此，当AB⊥面MCD时，VA-BCD=13⋅12⋅2⋅23⋅1+1=433最大，故选B
例18.已知三凌锥P-ABC的底面是正三角形，PA=3，点A在侧面PBC内的射影H是△PBC的垂心，当三棱锥P-ABC体积最大值时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )
A.932π
B.63π
C.6π
D.92π
解析：设点D为BC的中点，则AD⊥BC，因为点A在侧面PBC内的射影H是△PBC的垂心，所以PA⊥BC，PC⊥AB，设点O是点P在底面ABC的射影，则BC⊥平面PAD，所以O一定在AD上，因为AB⊥PC，AB⊥PO，所以CO⊥AB，所以O是底面ABC的垂心，也是外心，所以PA=PB=PC=3，则当PA，PB，PC互相垂直时体积最大，设球的半径为R，则2R=PA2+PB2+PC2=3，所以R=32，所以球的体积为V=43πR3=43π×323=92π
例19.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，M，N分别在线段AA1和AC上，MN=2，则三棱锥D-MNC1的体积最小值为( )
A.4
B.32-1
C.43-2
D.62-4
解析：如图，面MNC1就是平面ACC1A1，因此D点到面MNC1的距离为定值125，由题意ACC1A1是正方形，由对称性知当M(或N)与A重合时，C1到直线MN的距离最小，最小值为5，此时S△C1MN=12×2×5=5，∴VD-MNC1取小=13×5×125=4.选A.
例20.在三棱锥P-ABC中，已知PA=4，∠BAC=90∘，AB=1，AC=3，若三棱锥P-ABC的外接球的体积为32π3，则三棱锥P-ABC的体积为( )
ก.1
B.233
C.33
D.2
解析：根据球的体积可得球半径，由PA=4为直径长，所以球心O是PA中点，由底面三角形的条件分析得△ABC为直角三角形，BC中点E是直角△ABC的外心，所以OE⊥平面ABC，进而由VP-ABC=2VO-ABC可得解.设球半径为R，则43πR3=323π，R=2，而PA=4，所以PA是球的直径，球心O是PA中点，AB⊥AC，所以BC中点E是直角△ABC的外心，所以OE⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，所以OE⊥AE，BC=AB2+AC2=2，AE=12BC=1，OE=OA2-AE2=22-12=3，O是AP中点，所以VP-ABC=2VO-ABC=2×13S△ABC⋅OE=2×13×12×1×3×3=1，故选A.
例21.在三棱薙P-ABC中，AB=BC=4，PC=8，PA=8，AB⊥PA，AB⊥BC，则该三棱锥外接球的表面积为( )
解析：双半径单交线终极公式，不妨取AC中点M，csθ=8+56-802⋅22⋅56=-17⇒sinθ=67
圆心到交线的距离n=0，2r=8568⇒r=3256，m=56-3256=2456则公式：
R2=m2+n2-2mncsθsin2θ+324=24×245667+324=20，答案为：80π.
例22.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB=AC=DB=DC，AD=2BC=4，则球O的表面积的最小值为( )
解析：不妨令AB=AC=DB=DC=x，由双半径单交线终极公式：下面先求二面角csθ=x2-1+x2-1-162x2-1=x2-9x2-1⇒sinθ=x2-12-x2-92x2-1，下面求圆心到交线的距离m，n，由于是全等结构，所以m=n，先求外接圆
半径：2r=xx2-1x⇒r=x22x2-1⇒m=x2-1-x22x2-1=x2-22x2-1，
则公式：R2=m2+n2-2mncsθsin2θ+224=x2-22x2-12+x2-22x2-12-2x2-22x2-1⋅x2-22x2-1⋅x2-9x2-1x2-12-x2-92x2-12+224=x4+4-4x24x2-20+1=14x4+4-4x2x2-5+1=14x4-5x2+x2+4x2-5+1=14x2+x4-5+9x2-5+1=14x2-5+9x2-5+6+1≥3+1=4，则R≥2⇒S=16π
例23.体积为3的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2，∠ABC=120∘，则球O的体积的最小值为( )
A.773
B.2873
C.19193
D.76193
解析：设AB=x，AC=y，体积为3的三棱锥P-ABC，则xy=6，AC2=x2+y2+xy≥3xy=18⇒R2=14⋅PA2+AC2sin120∘2≥7，故选B
例24.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M在平面PBC内，且AM=7，设异面直线AM与BC所成角为α，则csα的最大值为( )
解析：过点A作AO⊥平面PBC，取BC的中点Q，经过计算可得：
AO=AQ2-OQ2=43M是点以O点为圆心，以半径为1的国，csα=MHAM≤M1OAM=17
例25三棱锥的四个面都是直角三角形，各棱长的最小值为4，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A.4π3
B.8π3
C.16π3
D.32π3
解析：首先要分析好哪4个面是直角三角形，自己画出图来，取PC中点O，则知道OA=OB=OC=OP⇒O为三棱锥的外接球的球心，则R=2⇒S=43πR3=323π
例26.如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120∘，若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则PBCD的体积最大值为( )
解析：设PD=DA=x，x∈0，23∵AC=23∴CD=23-x，∵∠ACB=30∘∴S△BCD=12BC⋅DC⋅sin∠ACB=1223-x要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的距离最大为x，则VP-BCD=13×1223-xx≤12，当且仅当x=3时，体积最大为12
例27.在三棱锥P-ABC中，已知PA=3，PB=4，AB=5，H为平面ABC的垂心，且PH⊥平面ABC，则S△PACS△PBC=___________
解析：经分析，不妨取BC的中点Q，可得BC⊥平面APQ⇒AP⊥平面PBC，同理可得：PB⊥平面PAC，所以推出：PA⊥PB，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC⇒S△PACS△PBC=PAPB=34(等体积法)
例28.在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△PAC是等腰直角三角形，PA=6，AB⊥BC，CH⊥PB，是为H，D为PA的中点，则当△CDH的面积最大时，CB=( )
解析：因为CH⊥PB，CH⊥AB⇒CH⊥平面，设CH=x⇒DH=9-x2⇒S△CDH=12x9-x2=12⋅x2+9-x22=94当且仅当x2=9-x2，即x=322时取得最大值，此时∠CPH=π6，故CB=6
例29.(多选)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，AD=4，则下列命题为真命题的是( )
A.若直线AC1与直线CD所成的角为φ，则tanφ=52
B.若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面BCC1B1交于点M，则AM=29
C.若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则sinθ=33
D.若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sinμ=63
解析：A：如图，直线AC1与直线CD所成角，即为直线AC1与直线AB所成角∠BAC1，则tanφ=tan∠BAC1=BC1AB=52，正确；
B：构建如下图示的坐标系，过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，与面BCC1B1交于Mx，2，z且x，z>0，又AA1=0，0，3，AB=0，2，0，AD=4，0，0，则cs=zx2+4+z2=cs⟨AB，AM⟩=2x2+4+z2=cs⟨AD，AM⟩=xx2+4+z2，故x=z=2，则AM=23，错误.
C：如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，故sinθ=33，正确；
当然也可以从另一方面理解：若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则线面角sinθ=m⋅n法m⋅∣n法∣，
又因为以A点为顶点的三个平面的法向量分别为AD，AB，AA1，故转化为B选项经过点A的直线l与长方㮦所有棱所成的角相等，此时M2，2，2，所以线面角sinθ=AM⋅ADAM⋅AD=AM⋅ABAM⋅AB=AM⋅AA1AM⋅AA1=33D：如下图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需面β与以4为梭长的正方体中相郃的三条棱顶点所在平面平行，如面EDF，故csμ=SAEDFS△ADE=33，则sinμ=63，正确.
当然也可以从另一方面理解：若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二百角都为μ，即两者法向量夹角相等，因为长方体所有面法向量可以用AD，AB，AA1，这三个表示，与这三个法向量夹角相等的且过A点的法向量，即为AM，所以csμ=AM⋅ADAM⋅AD=823⋅4=33⇒sinμ=63，综上所述：选ACD
例30.已知A，B，C，D是表面积为20π的球体表面上四点，且AB=2，CD=4，则( )
A.若AB//CD，则平行直线AB与CD间距离的最大值为3
B.若AB//CD，则平行直线AB与CD间距离的最小值为3
C.若A，B，C，D四点能构成三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为4
D.若AC=25，则AC⊥AD
解析：球的表面积为20π，则此球的半径为20π4π=5，设球心为O，则球心O到直线AB的距离为52-12=2，球心O到直线CD的距离为52-22=1选项A：当平行直线AB与CD确定的平面过球心O且分居于球心O的两侧时，平行直线AB与CD间距离取最大值2+1=3.判断正确；选项B：当平行直线AB与CD确定的平面过球心O且位于球心O的同侧时，平行直线AB与CD间距离取最小值2-1=1.判断错误；选项C：A，B，C，D四点能构成三棱锥，则当AB与CD直，AB与CD的中点与球心O共线且分居于球心O的两侧时，三棱锥体积取得的最大值.
此时直线AB与CD间距离为2+1=3，三棱锥体积为13×12×2×3×4=4.判断正确；选项D：若AC=25，则AC为球O的直径，△ACD为直角三角形，AD⊥CD，∠CAD为锐角，即AC与AD不直.判断错误.故选：AC
例31.刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体.如图，现有一个刍甍ABCDEF，AB=BC=6，EF=4，BF=CF=59，△ADE≅△BCF，则该刍甍的外接球体积为___________
解析：AE=DE=59，AD=6⇒EM=52，FH=7，GO1=7，GO=7-h，OF2=7-h2+4
∴18+h2=7-h2+4⇒h=52，故R2=18+254=974⇒R=972⇒V=43π⋅R3=97976π.
例32.如图所示，半径均为r的四个小球两两外切，它们又内切于正四面体ABCD，即正四百体的每个面均与其中三个球相切，已知正四面体的棱长为a，则小球半径r=
解析：四个球心组成一个棱长为2r的正四面体，设它的中心O到各面的距离为d，正四面体高为h，且h=2r2-233r2=263r，由等体积法可得，13S底面h=13S表面d=4×13S底面d，所以d=14h，且d=66r，正四面体D-ABC的各面分别与上述正四面体的各面平行，距离均为r，它们有公共中心O，且两正四面体位似，位似中心为O，而位似比为：dd+r=66r66r+r=16+1，所以正四面体D-ABC的边长为：2r×d+rd=2r6+1，又正四面体D-ABC的边长为a，所以a=2r6+1，得r=a26+1=6-110a故答案为：6-110a
例33.(2022年深圳实验中学第一次高三质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=CC1=2，BC=1，点M为正方形CDD1C1对角线的交点，则三棱锥M-A1CC1的外接球的表面积为( )
A.13π
B.15π
C.9π
D.11π
解析1：如图，分别找出Rt△A1C1C和Rt△MC1C的外接圆圆心O1，O2分别过O1，O2作该面的垂线，如图1，2交于O点，即为三棱锥M-A1CC1的外接球的球心，半径即为OC，由图3，可知OO2=32⇒R2=OC2=322+222=114⇒S=11π
解析2：双半径单交线终极公式：图2，图3，可知A1-C1C-M的二面角即为设为：∠O1O2M=θ，csθ=D1C1A1C1=23⇒sinθ=13，由终极公式：R2=322+02-2⋅32⋅0⋅csθsin2θ+224=114⇒S=11π
例34.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，点E，F分别为AB，CD中点，D1-BEF的外接球的表面积为( )
A.14π
B.13π
C.12π
D.11π
解析：双半径单交线终极公式，找出D1-EF-B二面角即为∠D1FC=135∘，R2=222+122-2⋅22⋅12⋅csθsin2θ+14=114⇒S=11π
例35.(2023・梅州-统考一模)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”、现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF//平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB=2，且AE=6，则此刍甍的外接球的表面积为( )
A.60π
B.64π
C.68π
D.72π
解析：AE=DE=6，AN=1，∴EN=2，∴O2O1=1，所以：R2-12±R2-222=1⇒R=17，故选C
例36.直角△ABC中，AB=2，BC=1，D是斜边AC上的一动点，沿BD将△ABD翻折到△'ABD，使二面角A'-BD-C为直二面角，当线段A'C的长度最小时，四面体A'BCD的外接球的表面积为( )
A.13π4
B.21π5
C.13π3
D.14π3
解析：如图：作CE⊥l，A'F⊥l，则A'C=A'F+FE+EC⇒A'C2=A'F2+FE2+EC2⇒
A'C2=2sinθ2+2csθ-1⋅csπ2-θ2+1⋅sinπ2-θ2=5-2sin2θ，所以∴θ=45∘⇒A'Cmin=3
由双半径单交线，由角平分线性质得：DC=53，DA=253；在△CBD，由正弦定理：DCsin45∘=2r⇒r=532
在△BDA，由正弦定理：DAsin450=2r⇒r=2532，再由角平分线性质：BD2=AB⋅BC-DC⋅DA⇒BD2=89
所以：R2=5322+25322-BD24=76⇒S=4π⋅76=14π3，故选D
例37.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则ra=( )
A.22
B.34
C.2-2
D.322-1
解析：设储物盒所在球的半径为R，如图，小球最大半径r满足2+1r=R⇒r=R2+1=2-1R，正方体的最大棱长a满足2a2+a22=R2⇒a=23R，所以rR=322-1
例38.(多选题)(2022年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校五月模拟试题)已知四面体ABCD中，AB=CD=2，BC=4，AC=BD=25，直线AB与CD所成角为π3，则下列说法正确的是( )
A.AD的取值可能为25
B.AD与BC所成角的余弦值一定为255
C.四面体ABCD体积一定为433
D.四面体ABCD的外接球的半径为可能为22
解析1：先来手撕秒杀C项，V=16⋅2⋅2⋅4⋅sinπ3=433&V=16⋅2⋅2⋅4⋅sin2π3=433，C正确再来手搓D项，由数据可知CB⊥BA，CB⊥DC，所以CB⊥平面ABD'
所以：R2=14⋅42+13⋅22=163&R2=14⋅42+22=8，所以D正确；直线AB与CD所成角为π3，即∠ABD'=π3&∠ABD'=2π3⇒AD=AA'2+AD2=42+22=25&AD=AA'2+AD2=42+232=27，所以A正确.当AD=25时，cs⟨AD，BC⟩=csAD，DD'=252+42-222⋅25⋅4=255
当AD=27时，cs⟨AD，BC⟩=csAD，DD'=272+42-2322⋅27⋅4=277，故B错！
解析2.由空间夹角公式：csπ3=AD2+BC2-AC2+DB22AB⋅CD⇒AD=25&AD=27，由A可推出B错误.对于C：V=16abdsinθ，V=16⋅2⋅2⋅4⋅sinπ3=433&V=16⋅2⋅2⋅4⋅sin2π3=433，对于D可以用终极公式处理！
例39.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为( )
A.3+263
B.2+263
C.4+263
D.43+263
解析：4个球的球心连线也是正四面体，棱长是2r=2，这两个正四面体的中心位置应该是同一个位置，这个中心位置就是正四面体的外接球的球心或者说内切球的球心，在此不妨设为球心为O.正四面体的中心到底面的距离应该是高的14，设D-ABC的高为h，所以14h+r14h=14⋅63⋅2r+r14⋅63⋅2r=6+1=H63⋅2⇒H=4+263
例40.棱长为a的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球，则a的最小值( )
A.3+26
B.1+26
C.5+26
D.4+26
解析：由对称性知两正四面体的中心为同一点O，设D-ABC的高为h，14h14h+r=14⋅63⋅4r14h+r=6363+1=a4⇒a=4+26
例41.矩形ABCD，AD=3Ab=3，M是AD边上一点，将矩形ABCD沿BM折叠，使平面ABM与平面BMDC互相垂直，则折叠后A，C两点之间距离的最小值是( )
A.1654169
B.10-10
C.10
D.7
解析：作出二面角，不妨作AN⊥l，CE⊥l，再设∠ABM=θ，
AC=AN+NE+EC⇒AC2=AN2+NE2+EC2=1⋅sin2θ+3⋅csπ2-θ-1⋅csθ2+3⋅sinπ2-θ2=10-3sin2θ∴ACmin=7
例42.A，B，C，D是半径为4的球面上的四点，已知AB=5，BC=3，cs∠BAC=45，当AD取得最大值时，四面体ABCD的体积为
A.613
B.213
C.639
D.239
解析：在△ABC中，cs∠BAC=AB2+AC2-BC22AB⋅AC=16+AC210AC=45，解得AC=4，则AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC设球心到平面ABC的距离为d，则d=42-522=392.当AD为直径时AD取得最大值，点D到平面ABC的距离为2d，故四面体ABCD的体积V=13S△ABC2d=239.故选：D
例43.(多选)如图，已知二面角α-l-β的棱上有不同两点A和B，若C∉l，D∉l，AC⊂α，BD⊂β，则( )
A.直线AC和直线BD为异面直线
B.若AC=AB=BD=2，则四面体ABCD体积的最大值为2
C.若AC=3，AB=6，BD=4，CD=7，AC⊥l，BD⊥l则二面角α-l-β的大小为π3
D.若二面角α-l-β的大小为π3，AC=AB=BD=6，AC⊥l，BD⊥l则过A，B，C，D点的球的表面积为84π
解析：对于A，由异面直线的定义知A正确：对于B，要求四面体ABCD体积的最大值，则AC⊥面ADB且AD⊥BD，此时四面体ABCD体积的最大值：V=13SADB⋅AC=13×12×2×2×2=43，故B不正确；对于C，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE=BD，连接CE，ED，四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角，且AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，从而CE=CD2-ED2=CD2-AB2=72-62=13.在△AEC中，由余弦定理可知：cs∠CAE=12所以∠CAE=π3.故C正确；
对于D，因为二面角α-l-β的大小为π3，AC=AB=BD=6，AC⊥l，BD⊥l，如下图，所以平面ABC与平面ABD所成角的大小为π3，CA⊥AB，AB⊥BD，取AD的中点O1，BC的中点O2，O1，O2为△ABD，△ABC的外心，取AB的中点M，连接MO1，MO2，则O2M⊥AB，O1M⊥AB，所以∠O2MO1是二面角α-l-β的一个平面角，则∠O2MO1=π3，过O2作平面ABC的垂线和过O1作平面ABD的垂线，交于点O，O即为外接球球心，所以OO2⊥面CAB，OO1⊥面DAB，连接OM，OM=O2M=3，所以易证得：△O1MO与△O2MO全等，所以∠OMO1=∠OMO2=π6，所以在直角三角形O1MO，tan30∘=OO1MO1=OO13=33⇒OO1=3，OD=R=OO12+O1D=3+18=21，则过A，B，C，D四点的球的表面积为S=4πR2=84π.故D正确.故选：ACD
例44.(2022年8月广州一测第7题)若空间中经过定点O的三个平面α，β，γ两两垂直，过另一定点A做直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面δ和这三个平面所夹的锐二面角都相等，记所作直线的条数为m，所做平面的个数为n，则m+n=
A.4
B.8
C.12
D.16
解析：l与三个侧面OBD，OBC1，ODC1夹角相等的条数，容易知道其中一条为OA，其实正方体的体对角线与共顶点的三个侧面夹角相等，又正方体共有4条对角线，OA，BD1，C1A1，B1D，过A点可以作与BD1，C1A1，B1D平行的直线，即满足条件，故m=4
平面δ三个平面OBD，OBC1，ODC1所夹的锐二面角都相等，即：平面δ法向量与三个平面OBD，OBC1，ODC1的法向量所成夹角相等，又因为三个平百OBD，OBC1，ODC1的法向量是以O为起点的棱OC1，OD，OB，，故寻找过A点且与OC1，OD，OB，夹角相同的向量即为平面δ的法向量，那么过A点与OC1，OD，OB，夹角相同的直线为该正方体的4条体对角线，OA，BD1，C1A1，B1D，那么过A点可以作与BD1，C1A1，B1D平行的直线有3条，即满足条件，故n=4
当然也可以从另一个方面研究：容易知道平面BC1D与以O为顶点的三个侧面夹角相等，过A点可以作与BC1D平行的平面，即满足条件，其实类似该方法作出的截面与三个侧面的夹角相等，既有面ABC1，ABD，AC1D1，因为它们的法矢都是与棱OC1，OD，OB，夹角相等的，故以下四个阴影图行都可以平移到过A，点即为所求平面δ，即n=4，所以m+n=8
例45.(2022年11月温州一模)在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=2，则三棱锥A-BCD外接球表面积的最小值为( )
A.25-2π
B.25-1π
C.25+1π
D.25+2π
解析：不妨设：∠ABD=θ，则∠DBC=θ2，由题意：R2=14AD2+r2(r为底面△DBC的外接圆半径)由三角函数关系：AD=2tanθ在△DBC中，由余弦定理csπ2-θ=4+4-CD22⋅2⋅2⇒CD=22⋅1-sinθ⇒CDsinπ2-θ=2r⇒r=2⋅1-sinθcsθ∴R2=142tanθ2+r2=sin2θcs2θ+2-2sinθcs2θ=3-2sinθcs2θ-1
不妨令3-2sinθ=t⇒R2=4t-t2+6t-5-1=4-t+6-5t-1≥46-25-1=1+52，故选D
例46.在正四棱锥P-ABCD中，已知异面直线PB与AD所成的角为60∘，给出下面三个命题：p1：若AB=2，则此四棱锥的侧面积为4+43；p2：若E，F分别为PC，AD的中点，则EF//平面PAB；p3：若P，A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积是四边形ABCD面积的2π倍.在下列命题中，为真命题的是( )
A.p2∧p3
B.p1∨¬p2
C.p1∧p3
D.p2∧¬p3
解：如图.p1：S侧=4×34×22=43，故为假命题；p2：由平面EFH//平面PAB，知EF//平面PAB，故为真命题；p3：∵2-R2+22=R2，解得R=2，∴S球=4πR2=8π，SABCD=22=4，故为真命题.
例47.已知矩形ABCD满足AB=23，AD=2，若将ABD沿BD翻折到ABD的位是，使得平面ABD⊥平面BCD，MN分别为A'B，DC的中点，则直线MN被四面体A'-BCD的外接球所㦯得的线段长为( )
解析：过M做MP⊥BD于点P，连接PN，因为平面ABD⊥平面BCD，所以MP⊥PN，可求得MP=32，BP=32，所以DP=52，在三角形DPN中，∠PDN=30∘，DN=3，所以PN=72，所以MN=102，由题意可知，四面体ABCD的外接接半径为BD中点，设为O，过O做OH⊥MN于H，连接ON，可求得ON=1，从而得HN=104，所以OH=64，因为球的半径为2，故所截得的线段长为222-642=582.
例48.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若将ABD沿BD翻接A'BD的位置，使得平面A'BD⊥平面BCD，M，N分别为A'B和CD的中点，则直线MN被四面体A'-BCD的外接球所截得的线段长为( )
A.5
B.25
C.7
D.27
解析：取BD的中点O，连接A'O，CO，如图所示：因为A'O=CO=12BD，BD=42+42=42，所以O为四面体A'-BCD外接球的球心，且半径R=22.因为A'B=A'D，且O为BD中点，所以A'O⊥BD.平面A'BD⊥平面BCD=BD，所以A'O⊥平面BCD.过N作NE⊥BD，过M作MF⊥BD，连接NO，MO如图所示：在RT△NEB中，BN=2，∠NBE=45∘，所以NE=BE=2，同理MF=FD=2，所以EF=22.在RT△EFM中，EM=10，所以在RT△NEM中，MN=102+22=23.又因为OM=ON=12A'B=2，所以O到MN的距离=22-MN22=4-3=1，所以直线MN被球O截得的线段长=2R2-1=2222-1=27.故选：D
例49.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA=2.若点E、F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥P-ABCD的外接球所截得的线段长为( )
解析：如图所示：可得外接球的球心O为PC的中点，则R=12PC=12PA2+AC2=3，取EF的中点G，因为PCAC=2322=62，GCOC=34×223=62，所以PCAC=GCOC，则△PAC∼△GOC，所以GO⊥PC，所以球心到直线的距离为d=GO=GC2-OC2=62，所以l=2R2-d2=6，所以所截得的线段长为6，故答案为：6.
例50.已知正四棱锥的底边边长为2，侧棱长为5，现要在该四棱锥中放入一个可以任意旋转的正方体，则该正方体的体积最大值是___________
解析1：设正方体外接球半径为R，体积最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SE，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R，易知四棱锥的高为3，四个侧面三角形的底为2，高为2，∴VA-BCDE=VS-BCDE+VS-ABC+VS-ABE+VS-ADE+VS-ACD，即13×2×2×3=13×2×2×R+4×13×12×2×2×R，∴R=33，正方体的体对角线是其外接球直径，故其体对角线为2R=233，棱长为23，∴正方体体积的最大值为V=827.故答案为：827，
解析2：由R=3VS，可求出R=33，其体对角线为2R=233，棱长为23，V=827
例51.已知三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个半径为3的球，四边形A1ACC1与B1BCC1为两个全等的矩形，M是A1B1的中点，且C1M=12A1B1，则三棱柱ABC-A1B1C1体积的最大值为( )
A.12
B.16
C.4
D.43
解析：可得：所以CC1⊥平面ABC；因为M是A1B1的中点且C1M=12A1B1，所以底面△A1B1C1是直角三角形；综上，三棱柱ABC-A1B1C1是底面为等腰三角形的直棱柱.设AC=BC=a，CC1=b，将三棱柱还原为长方体，得其外接球直径为a2+a2+b2=23，即2a2+b2=12；所以三棱柱的体积V=S△ABC⋅CC1=12a2b=1412-b2b=14-b3+12b，b∈0，23；记fb=14-b3+12b，则所以fb在0，2上单调递增，2，23上单调递减，故fbmax=f2=4.故选C.
例52.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是棱AD，CC1，C1D1的中点，给出下列四个命题：
(1)EF⊥B1C；
(2)直线FG与直线A1D所成角为60∘；
(3)过E，F，G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；
(4)三棱锥B-EFG的体积为56.
其中，正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：(1)(2)(4)对，(3)错误
例53.在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是边长为46的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为4，该四棱锥的外接球O的半径为7，若球心O在四棱锥P-ABCD内，则顶点P的轨迹长度为( )
解析：因为底面ABCD是边长为46的正方形，所以该正方形外接圆半径r1=43，所以球心O到底面ABCD的距离d=72-432=1又顶点P到底面ABCD的距离为4，所以点P在与底面ABCD平行的截面圆的圆周上，由球心O在四棱锥P-ABCD内，可得截面圆的半径r2=72-4-12=210故顶点P的轨迹长度为410π，故：410π
例54.古代文人墨客都善于在纸扇上题字、题画，题宇、题画的部分多为扇环，如图是扇环的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若S1S2=8，则l1l2=( )
1.2
B.3
C.4
D.5
解析：设∠AOD=θ，OA=r1，OB=r2，扇形AOD面积为S，则l1=θr1，l2=θr2，S1=S-S2=12l1r1-12l2r2，S2=12l2r2，因为S1S2=8，所以12l1r1-12l2r212l2r2=8，则l1r1=9l2r2，即θr1​2=9θr2​2，故r1=3r2，所以l1l2=θr1θr2=3.故选：B.
例55.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5-1和3，则此组合体的外接球的表面积是( )
A.16π
B.20π
C.24π
D.28π
解析：设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则：OO12+12=R2，而OO=5+2-R，故R2=1+5+2-R2，∴R=5，∴S=4πR2=20π，故选：B.
例56.在三棱锥P-ABC中，PC=5，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且BC=5，AC=12，点P到△ABC三边距离相等，且点P在平面ABC上的射影落在△ABC内，则CP与平面ABC所成角的正切值为( )
解析：由题意知：点O为△ABC的内心.设△ABC的内切圆与直角边BCAC分别相切于ED，易知四边形OECD是正方形.因为AC⊥BC，且BC=5，AC=12，所以AB=13，则△ABC的内切圆半径OE=OD=2，所以OC=22.
因为PO⊥平面ABC，所以∠PCO为CP与平面ABC所成的角.因为PC=5，所以PO=17，所以CP与平面ABC所成角的正切值为POOC=1722=344.
例57.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A'-BD-C，设三棱锥A'-BDC的外接球和内切球的半径分别为r1，r2，球心分别为O1，O2.若正方形ABCD的边长为1，则r2r1=___________；O1O2=___________
解析：如图，M为外接球球心，且r1=22，r2=3VA'-BCDS表面积=24+23，∴r2r1=2-3，由对称性，内切球球心在平面A'MC内，且到A'M，CM的距离都等于其半径，∴O1O2=2r2=2-3.
例58.(多选)已知四面饰ABCD的一个平面展来图如图所示，其中四边形AEFD是边长为22的䒬形，B，C分别为AE，FD的中点，BD=22，则在该四面体中( )
A.BE⊥CD
B.BE与平面DCE所成角的余弦值为21015
C.四面体ABCD的内切球半径为10530
D.四面体ABCD的外接球表面积为9π
解析：由展开图知，该四面体四个面都为腰长为22，底长为2的等腰三角形，则该四面体对棱相等，可补形为长方体，且矩形左右两个面为正方形，如图，设长方体长宽高分别为a，b，c，所以a2+b2=BD2=8，c2+b2=DC2=2，c2+a2=AD2=8，解得a=7，b=c=1，因为长方体左右两个而为正方形，则对角线垂直，BE⊥CD，A正确；四面体体积等于长方体体积减去四个小三棱锥的体积，V=abc-4×13×12abc=13abc=73=13S△ACD⋅h，h表示点B到平面ACD的距离，区h=7S△ACD=7152=210515所以BE与平面DCE所成角的余弦值为22-h22=1515，所以为展开图面积，可求得D到AB的距离为302故表面积为302×22=215，r=3VS=7215=10530，C正确.四面体外接球即为长方体外接球，故直径为体对角线，4R2=a2+b2+c2=9，S外=4πR2=9π，D正确.故选ACD.
例59.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则( )
A.平面α分正方体所得两部分的体积相等
B.四边形BFD1E一定是菱形
C.四边形BFD1E的面积有最大值也有最小值
D.平面α与平面DBB1始终垂直
解析：对于A：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故A正确；
对于B：因为平面ABB1A1//CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1=BE，平面BFD1E∩平面CC1D1D=D1F，∴BE//D1F.同理可证：D1E//BF，故四边形BFD1E是平行四边形，当E不是AA1的中点时，BE≠D1E，此时四边形BFD1E不是蔆形，故B错误；对于C：由B得四边形BFD1E一定是平行四边形，所以四边形BFD1E的面积等于三角形BD1E面积的两倍，而BD1为定值，所以当E到直线BD1距离最大时，三角形BD1E面积取最大值，因为E棱AA1中点时，E到直线BD1距离恰为异面直线AA1、BD1距离，即为最小值，此时三角形BD1E面积取最小值，即四边形BFD1E的面积取最小值.因此当E与A重合或A1重合时，三角形BD1E面积取最大值，即四边形BFD1E的面积即取最大值，故C正确；对于D：因为平面ACC1A1⊥平面BB1D，又平而ACC1A1∩平面BFD1E=EF，所以只有当EF⊥平面BB1D时，才有平面BFD1E⊥平面BB1D，故D错误.故选：AC
五、立体几何分类试题
1).题型一：双距离单交线公式以及双半径单交线公式
1.如图，在四边形ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB=2，∠BAD=π2，∠CBD=π2，沿BD把△ABD翻折起来，形成二面角A-BD-C，且二面角A-BD-C为5π6，此时A，B，C，D在同一球面上，则此球的体积为(A).
A.2053π
B.16π
c.65π
D.36π
2.A，B，C，D四点均在以点O为球心的球面上，且AB=AC=AD=25，BC=BD=42，CD=8.则球O的半径为(C)
A.2
B.3
C.5
D.6
3.已知三棱锥P-ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90∘，AB=AC=4，PA=10，PC=2，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(D)
A.24π
B.28π
C.32π
D.36π
4.三棱锥P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2，AB=23，PC=1，则三棱锥P-ABC的外接球表面积(D)
A.43π
B.4π
c.12π
D.523π
5.已知半径为4的球面上有两点A，B，AB=42球心为O，若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60∘，则四面体OABC的外接球的半径为A.
A.463
B.263
c.63
D.823
6.在三棱锥S-ABC中，AB=BC=2，SA=SC=AC=2，二面角S-AC-B的余弦值是33，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是(D)
A.32π
B.2π
c.6π
D.6π
7.已知边长为23的菱形ABCD，∠BAD=60∘，沿对角线BD折成二面角A-BD-C大小为120∘的四面体，则四面体外接球的表面积为(D)
A.36π
B.12π
C.16π
D.28π
8.在三棱锥S-ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=3，SB=23，若此三棱锥外接球的表面积为21π，则二面角S-AB-C的余弦值为(A)
A.-12
B.-22
c.-32
D.-522).
题型二：定义法
1.三掕锥A-BCD的外接球为球，球O的直径是AD，且△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是( )A
A212
B18
c16
D28
2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的求而上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为( )A
A.26
B.36
c.23
D.22
3.已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，AC=23，∠ABC=60∘，且棱锥O-ABC的体积为463，则球O的表面积为(D)
A.10π
B.24π
c.36π
D.48π
4.已知点ABCD在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2若四面体ABCD的体积为233，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为D
A.254π
B.4π
C.8π
D.16π
5.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为针边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是( )A
A.33
B.1
c.3
D.332
6.三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是( )B
A.26
B.212
c.24
D.312
7.已知三棱锥O-ABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若AB=BC=2，∠ABC=120∘，且三棱锥O-ABC的体积为3，则球O的表面积为C
A.32π3
B.16π
c.52π
D.64π
8.已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC=3，BC=1，若三棱锥的体积是33，则球体的表面积是(A)
A.254π
B.2512π
C.12548π
D.25π
9.已知球O是三棱锥P-ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2，CP=22，点D是PB的中点，且CD=7，则球O的表面积为( )A
A.28π3
B.14π3
c.2827π27
D.16π3
10.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是( )A
A.33
B.1
C.3
D.332
11.已知三棱锥D-ABC的每个顶点都在球O的表面上，AB=6，AC=26，AB⊥AC，顶点D在平面ABC上的投影E为BC的中点，且DE=5，则球O的体积为(A)
A.256π3
B.64π3
C.128π3
D.24π
12.已知三棱锥O-ABC的底面△ABC的顶点都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱锥O-ABC的体积为43，则球O的体积为D
A.32π3
B.64π3
c.128π3
D.256π3
13.已知A，B，C是球O的球面上的三点，AB=2，AC=23，∠ABC=60∘，且球O的表面积为32π，则点B到平面OAC的距离为( )B
A.2
B.455
C.5
D.25
14.已知A、B、C都在半径为2的球面上，且AC⊥BC，∠ABC=30∘，球心O到平面ABC的距离为1，点M是线段BC的中点，过点M作球O的截而，则截面面积的最小值为(B)
A.3π4
B.3π4
C.3π
D.3π
15.球的直径SC=4，A，B是球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=30∘，则棱锥S-ABC的体积为(C)
A.33
B.23
c.3
D.1
3).题型三：一条侧棱垂直于底面
1.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(C)
A.8π
B.12π
C.20π
D.24π
2.在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A
A.36π
B.32π
C.24π
D.18π
3.在S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120∘，SA=AC=2，AB=1，则该四面体外接球表面积为(D)
A.11π
B.7π
C.103π
D.403π
4.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(C)
A.63
B.123
C.183
D.243
5.在四面体ABCD中，AB=AC=23，BC=6，AD⊥底面ABC，△DBC的面积是6，若该四面体的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是(D)
A.24π
B.32π
C.46π
D.49π
6.(2019年全国I卷)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90∘，则球O的体积为(D)
A.86π
B.46π
c.26π
D.6π
7.已知球O是三棱锥P-ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2，CP=22，点D是PB的中点，且CD=7，则球O的表面积为( )A
A.28π3
B.14π3
c.2821π27
D.16π3
8.三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=3，∠ACB=60∘，∠BCD=90∘，AB⊥CD，CD=22，则该球的体积为A.
A.43π
B.46π
c.26π
D.6π
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘且AB=3，BB1=4，设其外接球的球心为O，且球O的表面积为28π，则△ABC的面积为A.
A.332
B.32
c.3
D.23
10.三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，BC⊥CD，AC⊥平面BCD，且AC=22，BC=CD=2则球O的表面积为(C)
A.4π
B.8π
C.16π
D.22π
11.(2020年10月广州市调研考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=CC1=2，BC=1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M-A1CC1的外接球表面积为( )C
A.112π
B.7π
c.11π
D.14π
解析：做出图可知：在△A1MC中，MC=1，A1M=2，A1C=5，由正弦定理可求r，则由公式：R2=14C1M2+r2=14×1+1022=114，S=4π⋅114=11π
12.在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=23，AD=2，∠ASB=120∘，SA⊥AD，则四棱锥外接球的表面积为(C)
A.8π
B.12π
C.20π
D.24π
13.(2020届广东省潮州市高三上学期期末，理12)三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30∘，△APC的面积为2，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为(C)
A.8π3
B.16π3
C.32π3
D.64π3
14.体积为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则是三棱锥E-BCD的外接球体积的最小值为(A)
A.9π16
B.3π16
c.π8
D.2π3
解析：设底面边长与高为a，h，则a2h=1⇒R=h2+a222h=h2+14h2⇒Rmin=34⇒Vmin=9π16
15.已知三棱锥A-BCD的四个顶点均在球O的球面上，该球的体积为86，且AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，则直线AD与平面ABC所成角的余弦值为A
A.13314
B.10514
c.34
D.74
16.已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=30∘，AC=3AB，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为(A).
A.818
B.323
C.643
D.12
4).题型四：对棱相等的三棱锥
1.已知A，B，C，D四点在半径为52/2的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是(A)
A.20
B.25
c.24
D.18
2.三棱锥A-BCD中，AB=AC=1，DB=DC=2，AD=BC=3，则三棱锥A-BCD外接球的表面为( )C
A.π
B.4π
C.7π
D.9π
3.四面体P-ABC的三组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5.则该四面体的外接球的表面积(D)
A.294π
B.28π
c.29296π
D.29π
4.在四面体A-BCD中，AC=BC=AD=BD=3，AB=CD=x，则四面体A-BCD体积的最大值为(B)
A.12
B.23
c.13
D.34
5.在平行四边形ABCD中，AB=22，BC=3，且csA=23，以BD为折痕，将△BDC折起，使点C到达点E处，且满足AE=AD，则三棱锥E-ABD的外接球的表面积为(B).
A.4π
B.13π
c.16π
D.36π
6.在四面体ABCD中，AD=AC=BD=BC=3，则四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A
A.5π
B.6π
C.20π
D.24π
7.正四面体ABCD的棱长为4，E棱AB的中点，过E作此正四面体ABCD的外接圆的截面，则截面面积的最小值为(B)
A.8π
B.4π
C.5π
D.13π
8.在内接于球O的四面体ABCD中，有AB=CD=tAD=BC=6，AC=BD=7，若球O的最大截面的面积是55π4，则t的值为(A)
A.5
B.6
C.7
D.8
9.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上若这两个正四棱锥的体积之比为1：2，则该球的表面积为A
A.4π
B.13π
c.16π
D.36π
10.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=4，AC=BD=AD=BC=3，则该三棱锥的内切球的表面积为( )A
A.4π5
B.17π
C.3π2
D.3π4
5)，题型五：切爪棋型
1.已知A，B，C，D四点在球O的表面上，且AB=BC=2，AC=22，若四面体ABCD的体积的最大值为43，则球O的表面积为(B)
A.7π
B.9π
c.10π
D.12π
2.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=6，∠ABC=π2，若该三棱锥体积的最大值为3.则其外接球的体积为( )A
A.32π3
B.64π3
C.128π3
D.256π3
3.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为3的球面上，AB⊥AC，则该三棱锥体积的最大值是(A)
A.323
B.643
C.1283
D.2563
4.设A，B，C，D，是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为(B)
A.123
B.183
C.243
D.543
5.已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为(D)
A.8π
B.9π
C.25π3
D.121π9
6.三棱锥A-BCD内接于半径为2的球0，BC过球心0，当三棱锥A-BCD体积取得最大值时，三棱锥A-BCD的表面积为( )D
A.6+43
B.8+23
c.4+63
D.8+43
7.已知△ABC的三个顶点落在半径为R的球O的表面上，三角形有一个角为π3且其对边长为3，球心0到△ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半，点P为球面上任意一点，则P-ABC三棱锥的体积最大值为C
A.833
B.733
c.934
D.734
8.三棱锥P-ABC的顶点都在半径为53的球面上，AB=1，BC=3，AC=2，则P-ABC体积的最大值为A
A.32
B.1
C.3
D.5318
9.设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球O的球面上，△PAB是面积为3的等边三角形，∠ACB=45∘，则当三棱锥P-ABC的体积最大时，球O的表面积为(D)
A.8π
B.9π
C.25π3
D.28π3
6).题型六：圆领圆柱的外接球
1.已知球O的体积为36π，则该捄的内接圆锥的体积最大值为( )
A.323π
B.9π
c.12π
D.24π
解析：设圆锥的底面半径为r，高为h则h-32+r2=32⇒r2=6h-h2，V=13πr2h=13πh26-h=16πh212-2h≤16π12+h+h-2h33=323π
2.某圆锥母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得侧面面积的最大值为(A)
A.2
B.3
c.2
D.1
3.圆锥的轴截面是等边三角形，其表面积与体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为，该圆锥的内切球体积为___________
解析：设底面半径为r，则高h=3r，母线长l=2r，可得13πr2h=πrl+πr2，即33πr3=2πr2+πr2=3πr2，解得r=33，该三棱锥的内切球半径即为截面正三角形内切圆的半径，13h=33r=3，所以V=43π×33=36π.
4.(2021年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学)已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=21，先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为___________
解析：如图SABC=12×6×6×32=93，点P到平面ABC的距离为d=21-232=3∴VP-ABC=13⋅93⋅3=93⇒SPBC=SPAB=SPAC=12⋅23⋅6=63设球O1的半径为r，所以93=12183+93r⇒r=1∴V1=43π
设球O2的半径为R，所以R2-1-R=13⇒R=13∴V2=49π，其实：求第一空可以用秒杀公式，更酸爽r=3VS表！5.设圆锥的内切球的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为( )
解析：设∠OAB=θ，tanθ=OBAB⇒AB=1tanθ，tan2θ=BPAB⇒BP=AB⋅tan2θ=21-tan2θ
V=13Sh=13⋅π⋅AB2⋅AB=π3⋅2tan2θ1-tan2θ令tan2θ=t，t⋅1-t=t-t2=14-t-122≤14⇒V≥8π3.
6.已知圆锥的顶点为S，过母线SA，SB的猚面为正三角形，SA与圆锥底面所成角为30∘，若△SAB的面积为43，则该圆锥的侧面积为___________
答案：83π
7.已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积比值为(B).
A.53
B.329
c.43
D.259
8.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为3π，则球O的表面积等于( )A
A.81π8
B.81π2
C.121π8
D.121π2
9.学生到工厂参加实践劳动，永薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8π，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是(B)
A.45-1π
B.85-1π
C.45+1π
D.85+1π
7).题型七：正棱锥及正棱锥的外接球
1.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A-BCD的外接球BC=3，AB=23，点E在线段BD上，且BD=6BE，过点E作球O的袋面，则所得侧面圆面积的取值范围是( )B
A.3π4，4π
B.3π4，4π
C.7π4，4π
D.11π4，4π
解析：R=2∵∠EBO'=π3⇒O'E=3+14×2×3csπ6=72⇒OE=112⇒r2=R2-OE2=4-114=54
2.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，G，H圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为___________
解析：如下图，连结OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P.正方形的边长为xx>0，则OI=x2，IE=6-x2.因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以6-x2=2⋅x2，解得x=4.设该四棱锥的外接球的球心为Q，外接球半径为R，则OC=22，OP=42-22E23，R2=23-R2+222，解得R=53，外接球的体积V=43π533=500327π.
3.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面​6ABCD所成角为60∘，EPC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为( )B
A.π3
B.π4
C.π6
D.π2
4.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为(C)
A.1
B.3
c.2
D.3
解析：设底面边长为a，则h=232-22a2=12-a22所以：V=13a212-a22=13a2⋅a212-a22=1314⋅a2⋅a248-2a2≤1314⋅a2⋅a248-2a2=1314⋅a2+a2+48-2a233=323
5.在三棱锥A-BCD中，BC=CD=BD=22，AB=AC=AD=2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的3倍，则该三被锥外接球的表面积为(B)
A.8π
B.12π
C.20π
D.24π
6.已知点A，B，C在半径为2的球O的球面上，且OA，OB，OC两两所成的角相等，则当三棱锥O-ABC的体积最大时，平面ABC截球O所得的截而圆的面积为(D)
A.4π
B.2π
c.43π
D.83π
7.蹴球类似今日足球.已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，满足任意两点间的直线距离为26cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCL组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为1g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为(Ｃ)(参考数据：取π=3.142=1.41，3=1.73精确到0.1)
解析：正四面体外接球问题，所需要材料即为正四面体外接球体积与正四面体体积差.
8.已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为33，若A，B，C，D，E在同一球面上，则此球的体积为(D)
A.2π
B.823π
c.2π
D.23π
9.正三棱锥P-ABC的侧棱长为2，M是AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )
解析：不防设AC=2a，M是AB的中点，所以AB⊥平面PMC，可得PM=4-a2MC=3a，因为PM⊥PC，4-a2+22=3a2⇒a=2，所以AC=22，AQ=4-QC2=233，故R=b22h=42⋅233⇒S=4πR2=12π
8)，题型八：回避二级结论
1.已知球的直径AB=4，C，D是球面上的两点，且CD=2，若∠ABC=∠ABD，则三棱锥A-BCD的体积的最大值是___________.
答案：433
2.已知∠ACB=90∘，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为( )A
A.2
B.22
C.3
D.1
3.在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=32，侧面PAC为正三角形，且顶点P在底面上的射影落在△ABC的重心G上，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.答案：630π13
4.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=AC=3，∠PAC=∠PAB，PA=2，PA与平面ABC所成角的余弦值为33，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为___________.答案：12π
5.已知三棱锥P-ABC的底面是正三角形，PA=3，点A在侧面P-BCD内的射影H是△PBC的垂心，当三棱锥P-ABC体积最大值时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为D
A.932π
B.63π
C.6π
D.92π
6.在四面体ABCD中，DA⊥底面ABC，侧而ABD⊥侧面BCD，BD=BC=2，三个侧面DAB、DBC、DCA的面积的平方和为8，则∠ADB=___________
解析：由DA⊥底面ABC知侧面DAB⊥底面ABC，结合侧面ABD⊥侧面BCD有BC⊥平面DAB.故四面体三个侧面均为直角三角形.设∠ADB=α0