2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册_81-120---2024年高考数学教学教研-复习用书-选择性必修第一册专题

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4.切线问题与弦长问题
(1)圆的切线方程的求法
①点Mx0，y0在圆上，
法一：利用切线的斜率k1与圆心和该点连线的斜率kOM的乘积等于-1，即kOM⋅k1=-1.
法二：圆心O到直线l的距离等于半径r.
点Mx0，y0在圆外，则设切线方程：y-y0=kx-x0，变成一般式：kx-y+y0-kx0=0，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k.
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.
(2)常见圆的切线方程
过圆x2+y2=r2上一点Px0，y0的切线方程是x0x+y0y=r2；
过圆x-a2+y-b2=r2上一点Px0，y0的切线方程是x0-ax-a+y0-by-b=r2.
过圆x2+y2=r2外一点Px0，y0作圈的两条切线，则两切点切线弦所在直线方程为x0x+y0y=r2
过圆x-a2+y-b2=r2外一点Px0，y0的两切点的切线弦所在直线方程为x0-ax-a+y0-by-b=r2
过曲线上Px0，y0，做曲线的切线，只需把x2替换为x0x，y2替换为y0y，x替换为x0+x2，y替换为y0+y2即可，即：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则AB切点弦方程：xx0+yy0+D⋅x+x02+E⋅y+x02+F=0
(3)弦长问题
①利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系r2=d2+l22，这也是求弦长最常用的方法.
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长.
③利用弦长公式：设直线l：y=kx+b，与圆的两交点x1，y1，x2，y2，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：l=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k2⋅ΔA.
(4)与圆有关的范围最值问题
①形如u=y-bx-a型的最值问题，可转化为过点a，b和点x，y的直线的斜率的最值问题.
②形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.
③形如x-a2+y-b2型的最值问题，可转化为动点到定点a，b的距离的平方的最值问题
5.圆与圆的位置关系
两圆的位置关系
(1)设两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d
若两圆相外离，则d>R+r，公切线条数为4；若两圆相外切，则d=R+r，公切线条数为3若两圆相交R-r0，联立圆A：x2+y2+6x-4=0和圆B：x2+y2+6y-28=0相减得公共弦所在直线的方程：x-y+4=0由于圆A图B圆C都过相同的两点M，N，所以每两个圆的公共弦所在直线都是同一条直线，故D-6=-E=F+44
由圆心C-D2，-E2在直线x-y-4=0上，得：-D2+E2-4=0
联立(1)(2)解得：D=-1，E=7，F=-32，故所求圆C的方程：x2+y2-x+7y-32=0
九、阿波罗尼斯圆与米勒定理
1.阿波罗尼斯圆
背景展示：阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.
如图，设A，B为平面上相异两定点，P为平面上异于A，B一动点且PAPB=λ(λ>0且λ≠1)则P点轨迹为圆；特别的当λ=1，P轨迹为AB中垂线.
证明：设AB=2mm>0，PA=λPB.以AB中点为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，则A-m，0，Bm，0又设Cx，y，则由PA=λPB得x+m2+y2=λx-m2+y2，两边平方并化简整理得λ2-1x2-2mλ2+1x+λ2-1y2=m21-λ2，当λ=1时，x=0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ≠1时，x-λ2+1λ2-1m2+y2=4λ2m2λ2-12，轨迹为以点λ2+1λ2-1m，0为圆心，2λmλ2-1长为半径的圆.
例1.(2008.江苏卷，13题)满足条件AB=2，AC=2BC的△ABC面积的最大值是( )
解一：显然这又是一例“阿波罗圆”，建立直角坐标系，因为有c=1，λ=2，代入阿波罗圆公式得：x-32+y2=8.设圆心为M，显然CM⊥x轴时，△ABC面积最大，此时CM=22，∴S△ABmax=12⋅2⋅22=22.
解二：利用余弦定理和函数的最值问题处理
设AC=2BC=2x，所以：csC=3x2-422x2⇒-x4+24x2-1622x2，
则：S=12absinC=-x4+24x2-164，所以：当x2=12时，S△ABC的最大值为22.
解三：建立平面直角坐标系处理最值问题
以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A-1，0，B1，0设Cx，y，由AC=2BC得x+12+y2=2⋅x-12+y2，整理得：y2=-x2+6x-1=-x-32+8≤8，∴y≤22，则S△ABC=12×⋅2y≤22，所以S△ABC的最大值是22.
解四：下面我们先来看一个性质
性质1：r2=MB⋅MA证明：∵AC=λBC⇒AM-rr-BM=AM+rr+BM=λ⇒k=AMr=rBM⇒r2=AM⋅BM性质2：既然△ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P，Q，现在问P，Q这两点究竟有什么性质？
由于PAPB=CACB=2，∴CP为△ABC的内角平分线；同理，CQ为△ABC的外角平分线.这就是说P，Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯圆”在中国又被称为“内外圆”.因此，又有如下的轴上简洁解法：∵动点C到定点A-1，0和B1，0距离之比为2，则有x+1=2x-1，⇒x2+2x+1=2x2-2x+1⇒x2-6x+1=0⇒x=3±22，∴得x1=3-22为内分点，x2=3+22为外分点.圆半径r=12x2-x1=22，即为三角形高的最大值，即△ABC高的最大值是22.故△ABC的面积的最大值是22.
例2.若平面上两点A-2，0，B1，0，动点P满足BA-PB⋅PA+2PB=0，则△PAB面积的最大值为( )
解析：λ=2 x-λ2+1λ2-1c2+y2=2λcλ2-12 1+-22=-12 所以c=1--12=32
Smax=12⋅3⋅2λcλ2-1=12⋅3⋅2⋅2⋅323=3.
例3.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比λλ≠1为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯图，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xy中，A-2，0，B4，0，点P满足PAPB=12，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(ABC
A.C的方程为x+42+y2=16
B.当A，B，P三点不共线时，△ABP面积最大值为12
C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
D.在C上存在点M，使得MO=2MA
解析：对于A项，由阿氏圆可知：令λ=2，则x+λ2+1λ2-1c2+y2=2λcλ2-12，所以x+52+y2=16，因为我是以x=1为原点建立的直角坐标系，所以真正的原点为：x-1，故x-1+52+y2=16，及C的方程为x+42+y2=16，对于B项，PAPB=12=AOOB，由角平分线定理逆定理，故射线PO是∠APB的角平分线，设存在Mx0，y0满足MO=2MA⇒x02+y02=2x0+22+y02⇒x02+163x0+163+y02=0，又因为x02+8x0+y02=0，两者联立发现23x02-x0+23=0，无解故不存在M点！
例4.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题；平面内到两定点距离之比为常数kk>0，k≠1的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足PAPB=2，则PA2+PB2的最小值为( )
A.36-242
B.48-242
C.362
D.242
解析：由阿氏圆：x-32+y2=8，可以三角换元作，令P22csθ+3，22sinθ，由两点坐标公式的最小值为36-242.
例5.(多选)平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O0，0，A3，0，圆C：x-22+y2=r2r>0上有且仅有一个点P满足PA=2PO，则r可以为( )
A.1
B.2
C.3
D.5
解析：设Px，y，由PA=2PO，得x-32+y2=4x2+4y2⇒x+12+y2=4，又点P是圆C：x-22+y2=r2r>0上有且仅有的一点，所以两固相切.圆x+12+y2=4的圆心坐标为-1，0，半径为2，图C：x-22+y2=r2r>0的圆心坐标为2，0，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r+2=3⇒r=1，当两圆内切时，r-2=3⇒r=5
例6.已知点P是圆O：x2+y2=1上任意一点，A-5，0，Bb，0b≠-5，若PAPB=λ，(λ为定值)，则λb=( )
解析：r=λ(b--5λ2-1=1⇒λ2-1=bλ+5λ，(1)
又因为：PAPB=ACBC=λ⇒-1--5b--1=λ(2)
由(1)(2)可得λ=5 b=-15，所以：λb=-1
例7.在平面直角坐标系中，圆x2+y2=1交x轴于A，B两点，且点A在B的左侧，若直线x+3y+m=0上存在点P，使得PA=2PB则m的取值范围( )
解析：P点轨迹方程：x-532+y2=169，P在直线上又在圆上，故直线与圆相交，所以由点到直线的距离公式得：d=83+m2≤43⇒m∈-133，1
例8.已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，AB=AC=AD=3，BC=23，点E为CD中点，点F为BE中点，若点M，N是空间中的两动点，且MBMF=NBNF=2，MN=2，则AM⋅AN=( )
A.3
B.4
C.6
D.8
解析：由于MBMF=NBNF=2可知M，N在阿波罗尼斯圆上，那么我们求出阿氏圆方程：
∵BF=32∴B-34，0，F34，0∴x-53⋅342+y2=1，又因为MN=2，由极化恒等式：得
AM⋅AN=AO2-MO2=52-12=4
例9.在平面上给定相异两点AB，点P满足PAPB=λ，则当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=32，AB为椭圆的长轴端点，CD为椭圆的短轴端点，动点P满足PAPB=3，若△PAB的面积的最大值为3，则△PCD面积的最小值为___________
解析：依题意A-a，0，Ba，0，PA=3PB，设Px，y，则x+a2+y2=3x-a2+y2，化简得x-54a2+y2=34a2，故点P的轨迹是圆心为5a4，0，半径r=3a4的圆.所以S△PABmax=12⋅2a⋅3a4=3，所以a=2，又e=ca=32，a2=b2+c2，所以b=1，所以S△PCDmin=12⋅2b⋅5a4-3a4=b⋅a2=1.
例10.著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是图，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xy中，已知A-1，0，B2，0，动点C满足CACB=12，直线l：mx-y+m+1=0，则ABC
A.动点C的轨迹方程为x+22+y2=4
B.直线l与动点C的轨乐一定相交
C.若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且PQ=22，则m=-1
D.动点C到直线l距离的最大值为1+2
例11.在平面直角坐标系中，三点A-1，0，B1，0，C0，7动点P满足PA=2PB，则ABD
A.点P的轨迹方程为x-32+y2=8
B.△PAB面积最大时PA=26
C.∠PAB最大时，PA=26
D.P到直线AC距离最小值为425
2.米勒定理
已知点M，N是∠AOB的边OA上的两个定点，点P是边OB上的一动点，则当且仅当三角形MPN的外接圆与边OB相切于点P时，∠MPN最大.
证明：如图，设P'是边OB上不同于点P的任意一点，连结P'M，P'N，NP'交圆于点C，因为∠MP'N是圆外角，∠MPN是圆周角，易证∠MP'N